行列のソースを表示

{{otheruseslist|数学において、要素が縦横に並んだもの|朝鮮人の名前の習慣|人名#朝鮮半島の人の名前|順番待ちで並んでいる行列|待ち行列理論|その他|待ち行列}}
[[数学]]の[[線型代数学]]周辺分野における'''行列'''（ぎょうれつ、{{lang-en-short|''matrix''}}）は、数や記号や式などを「行」と「列」に沿って矩形状に配列したものである。並べられた個々のものはその行列の「要素」または「成分」と呼ぶ。同じサイズ（あるいは型）の行列は[[行列の加法|加法と減法]]が成分ごとの計算によって与えられる。[[行列の乗法]]の計算はもっと複雑で、二つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない。

行列の応用として顕著なものは[[一次変換]]の表現である。一次変換は{{nowrap|''f''(''x'') {{=}} 4''x''}} のような[[一次函数]]の一般化で、例えば三次元空間におけるベクトルの[[回転変換|回転]]などは一次変換であり、''R'' が[[回転行列]]で '''v''' が空間の点の[[位置ベクトル|位置]]を表す[[列ベクトル]]（一列しかない行列）のとき、積 ''R'''''v''' は回転後の点の位置を表す列ベクトルになる。また二つの行列の積は、二つの一次変換の[[写像の合成|合成]]を表現するものとなる。行列の別な応用としては、[[線型方程式系|連立一次方程式]]の解法におけるものである。行列が[[正方行列]]であるならば、そのいくつかの性質は、[[行列式]]を計算することによって演繹することができる。例えば、正方行列が[[正則行列|正則]]であるための必要十分条件は、その行列式の値が非零となることである。[[固有値|固有値や固有ベクトル]]は一次変換の幾何学に対する洞察を与える。

行列の応用は科学的な分野の大半に及び、特に[[物理学]]において行列は、電気回路、光学、[[量子力学]]などの研究に利用される。[[コンピュータ・グラフィックス]]では三次元画像の二次元スクリーンへの投影や realistic-seeming motion を作るのに行列が用いられる。{{仮リンク|行列微分学|en|Matrix calculus}}は、古典的な[[解析学]]における[[微分]]や[[指数函数]]の概念を高次元へ一般化するものである。

主要な[[数値解析]]の分野は、行列計算の効果的なアルゴリズムの開発を扱っており、主題は何百年にもわたって今日では研究領域も広がっている。[[行列の分解]]は、理論的にも実用的にも計算を単純化するもので、アルゴリズムは[[正方行列]]や[[対角行列]]などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、[[有限要素法]]やそのほかの計が効率的に処理される。惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。函数の[[テイラー級数]]に対して作用する[[微分]]の表現行列は、無限次行列の簡単な例である。

== 歴史 ==
[[線型方程式]]の解法における応用に関して、行列は長い歴史を持つ。紀元前300年から紀元200年の間に書かれた中国の書物『[[九章算術]]』は[[線型方程式系|連立方程式]]の解法に行列を用いた最初の例であるといわれ<ref>{{Harvard citations | last1=Shen | last2=Crossley | last3=Lun | year=1999|nb=yes}} cited by {{Harvard citations | last1=Bretscher | year=2005|nb=yes|loc=p. 1}}</ref>、それには[[行列式]]の概念が、日本の[[関孝和|関]]が1683年に{{Citation needed|date=September 2010}}、ドイツの[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]が1693年にそれぞれ独立に著すよりも実に1000年以上も前に扱われていた。[[ガブリエル・クラメール|クラメル]]が[[クラメルの公式|有名な公式]]を生み出すのは1750年のことである。

行列論の初期においては、行列よりも行列式のほうに非常に重きが置かれており、行列式から離れて現代的な行列の概念と同種のものが浮き彫りにされるのは1858年、[[アーサー・ケイリー|ケイリー]]の歴史的論文 ''Memoir on the theory of matrices''（「行列論回想」）においてである<ref>{{Harvard citations | last1=Cayley  | year=1889|nb=yes|loc=vol. II, p. 475–496}}</ref><ref>{{Harvard citations | editor1-last=Dieudonné| year=1978|loc=Vol. 1, Ch. III, p. 96|nb=yes}}</ref>。用語 "matrix"（ラテン語で「生み出すもの」の意味の語 "womb" に由来）<ref>{{Citation |url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/matrix|title=Merriam–Webster dictionary|accessdate=April 20th 2009 |publisher=[[Merriam–Webster]]}}</ref>は[[ジェームス・ジョセフ・シルベスター|シルベスター]]が導入した。シルベスターは行列を、（今日[[小行列式]]と呼ばれる）もとの行列から一部の行や列を取り除いて得られる小行列の行列式として、たくさんの行列式を生じるものとして理解していた<ref>[[オックスフォード英語大辞典|OED]]によれば、数学用語としての "matrix" の最初の用例は J. J. Sylvester in London, Edinb. & Dublin Philos. Mag. 37 (1850), p. 369:  "We ‥commence‥ with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants by fixing upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the squares corresponding to which may be termed determinants of the pth order.</ref>。1851年の論文でシルベスターは
{{quotation|I have in previous papers defined a "Matrix" as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent. （以前の論文で、項を矩形状に並べた配列として定義した "Matrix" は、そのうちで異なる行列式の体系を生み出す共通の親としての母体である。）}}
と説明している<ref>The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, [http://books.google.com/books?id=5GQPlxWrDiEC&pg=PA247&dq=sylvester+matrix+womb&hl=en&ei=uJakTaytCoOv8gPa5cG5Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CE8Q6AEwBw#v=onepage&q&f=false Paper 37], p. 247</ref>。
行列式の研究はいくつかの流れから生じてきたものである<ref>{{Harvard citations | last1=Knobloch | year=1994 |nb=yes}}</ref>。[[数論]]的な問題はガウスが[[二次形式]]（つまり、''x''<sup>2</sup> + ''xy'' − 2''y''<sup>2</sup> のような数式）の係数と三次元の[[線型写像]]を行列に結び付けたことに始まり、[[フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン|アイゼンシュタイン]]がこれらの概念をさらに進めて、現代的な用語でいえば[[行列の積]]が[[非可換]]であることなどを指摘した。[[オーギュスタン・ルイ・コーシー|コーシー]]は行列 '''A''' = (''a''<sub>''ij''</sub>) の行列式として、[[多項式]] 
:<math>a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)</math>
（ここで &prod; は条件を満たす項の[[総乗]]を表す）の冪 ''a''{{su|b=''j''|p=''k''}} を ''a''<sub>''jk''</sub> で置き換えたものという定義を採用し、それを用いて行列式についての一般的な主張を証明した最初の人である。コーシーは1829年に、対象行列の[[固有値]]が全て実数であることも示している<ref>{{Harvard citations | last1=Hawkins | year=1975 |nb=yes}}</ref>。[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコビ]]は、幾何学的変換の局所的あるいは無限小のレベルでの挙動を記述することができる[[函数行列|函数行列式]]（後にシルベスターが「ヤコビ行列式」と呼んだ）の研究を行った。[[レオポルト・クロネッカー|クロネッカー]]の ''Vorlesungen über die Theorie der Determinanten''<ref>{{Harvard citations | last1=Kronecker | editor1-last=Hensel |year=1897|nb=yes}}</ref> と[[カール・ワイエルシュトラス|ワイエルシュトラス]]の ''Zur Determinantentheorie''<ref>{{Harvard citations | last1=Weierstrass | year=1915 |volume=3|loc=pp. 271–286|nb=yes}}</ref> はともに1903年に出版された。前者は、それまでのコーシーの用いた公式のような具体的な手法とは反対に、行列式を[[公理論|公理的]]に扱ったものである。これを以って、行列式の概念がきっちりと確立されたと見なされている。

多くの定理は、初めて確立されたときには小さいサイズの行列に限った主張として示された。例えば[[ケーリー＝ハミルトンの定理]]は、ケイリーが先述の回想録において 2 &times; 2 行列に対して示し、[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン|ハミルトン]]が 4 &times; 4 行列に対して証明して、その後の1898年に[[フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス|フロベニウス]]が[[双線型形式]]についての研究の過程で任意次元に拡張した。また、19世紀の終わりに、（[[ガウスの消去法]]として今日知られるものを特別の場合として含む）[[ガウス＝ジョルダン消去法]]を[[ヴィルヘルム・ヨルダン|ジョルダン]]が確立し、20世紀の初頭には行列は線型代数学の中心的役割を果たすようになった<ref>{{Harvard citations | last1=Bôcher | year=2004|nb=yes}}</ref>。前世紀の[[超複素数系]]の分類にも行列の利用が部分的に貢献した。

[[ヴェルナー・ハイゼンベルク|ハイゼンベルグ]]、[[マックス・ボルン|ボルン]]、[[パスクアル・ヨルダン|ジョルダン]]らによる[[行列力学]]の創始は、行または列の数が無限であるような行列の研究へ繋がるものであった<ref>{{Harvard citations | last1=Mehra | last2=Rechenberg | year=1987|nb=yes}}</ref>。後に[[ジョン・フォン・ノイマン|フォン・ノイマン]]は、（大体無限次元の[[ユークリッド空間]]にあたる）[[ヒルベルト空間]]上の[[線型作用素]]などの[[函数解析学]]的な概念をさらに推し進めることにより、[[量子力学の数学的基礎]]を提示した。

== 素朴な定義 ==
=== 記法 ===
'''行列'''は要素 (element) を縦（列、column）と横（行、row）に矩形上に書き並べて、大きな[[パーレン|丸括弧]]（あるいは[[ブラケット|角括弧]]）で括った形に書かれる、例えば
:<math>\begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}</math>
のようなものである。この行列には二つの'''行'''と三つの'''列'''がある。行列自身は、ふつうはアルファベットの大文字（しばしば太字、あるいは下線、二重下線を伴う）で表し、その要素は対応する小文字に二つの添字を付けたもので表す（略式的に行列を表す大文字に添字を付けたものを用いることもある）。つまり一般の ''m'' 行 ''n'' 列の行列を
: <math>A=\mathbf{A}=\underline{A}=\underline{\underline{A}}=\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
  a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}= (a_{ij})_{1\le i\le m\atop 1\le j\le n}</math>
のように書く。

=== 成分 ===
{{main|行列要素}}
書き並べられた要素は行列の成分 (entry, component) と呼ばれる。成分が取り得る値は（さまざまな対象を想定できるが）大抵の場合はある[[体 (数学)|体]]または[[可換環]] ''K'' の元であり、このとき ''K'' 上の行列 (matrix over ''K'') という。特に、''K'' が[[実数]]全体の成す体 '''R''' であるとき実行列と呼び、[[複素数]]全体の成す体 '''C''' のとき複素行列と呼ぶ。

一つの成分を特定するには、二つの添字が必要である。行列の ''i''-行目、''j''-列目の成分を特に行列の (''i'', ''j'')-成分と呼ぶ。例えば上記行列 ''A'' の (1,2)-成分は ''a''<sub>12</sub> である。行列の (''i'', ''j'')-成分はふつう ''a''<sub>''ij''</sub> のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間に[[コンマ]]を入れることもある。例えば 1-行 11-列目の成分を ''a''<sub>1,11</sub> と書いてよい。また略式的には、行列 ''A'' の (''i'', ''j'')-成分を指定するのに ''A''<sub>''ij''</sub> という記法を用いることがある。この場合、例えば積（後述）''AB'' の (''i'', ''j'')-成分を (AB)<sub>''ij''</sub> と指定したりできるので、これで記述の簡素化を図れる場合もある。

行列の各々の行および列はそれぞれ'''行ベクトル'''および'''列ベクトル'''として言及されることもある。例えば行列
: <math>A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}</math>
に対して、({{su|p=''a''<sub>11</sub>|b=''a''<sub>21</sub>}}), ({{su|p=''a''<sub>12</sub>|b=''a''<sub>22</sub>}}) その列ベクトル、(''a''<sub>11</sub>&emsp;''a''<sub>12</sub>), (''a''<sub>21</sub>&emsp;''a''<sub>22</sub>) はその行ベクトルである。

=== 型 ===
行列に含まれる行の数が ''m''、列の数が ''n'' である時に、その行列を ''m'' 行 ''n'' 列行列や ''m''×''n'' 行列、''mn'' 行列などと呼ぶ。行列を構成する行の数と列の数を合わせて'''型''' (''type'') あるいは'''サイズ'''という。したがって''m'' 行 ''n'' 列行列のことを (''m'', ''n'') 型行列などと呼ぶこともある。''K'' 上の ''m'' &times; ''n'' 行列の全体は ''K''<sup>''m''&times;''n''</sup>, ''K''<sup>''m'',''n''</sup> や Mat(''m'',''n''; ''K''), '''M'''<sub>''m''&times;''n''</sub>(''K'') などで表される。

== 厳密な定義 ==
行列は二重に添字づけられた[[族 (数学)|族]]であり、きちんと言えば、添字の各対 (''i'', ''j'') に成分 ''a''<sub>''ij''</sub> を割り当てる写像
: <math>A\colon \{1,\ldots, m\} \times \{1,\dots, n\} \to K; \quad (i,j) \mapsto a_{ij}</math>
である。例えば添字の対 (1,2) には写像の値として ''a''<sub>12</sub> が割り当てられる。即ち、値 ''a''<sub>''ij''</sub> は行列の ''i''-行 ''j''-列成分であり、''m'' および ''n'' はそれぞれ行および列の数を意味する。写像としての行列の定義と行列が表す線型写像とを混同してはならない。

''K'' に成分を持つ ''m'' &times; ''n'' 行列の全体は、したがって[[配置集合]]
: <math>\text{map}(\{1,\ldots, m\} \times \{1,\ldots, n\}, K) = K^{\{1,\ldots, m\}\times\{1,\ldots n\}}</math>
であり、省略形として ''K''<sup>''m''&times;''n''</sup>（あるいはやや稀だが <sup>''m''</sup>''K''<sup>''n''</sup>）や M(''m''&times;''n''; ''K'') などと書くことの一つの根拠になる。

行の数と列の数が一致するような行列は[[正方行列]]と呼ばれる。

唯一つの列を持つ行列は列ベクトル、ただ一つの行を持つ行列は行ベクトルと呼ばれる。''K''<sup>''n''</sup> のベクトルは、文脈によって行ベクトル空間 ''K''<sup>1&times;''n''</sup> または列ベクトル空間 ''K''<sup>''n''&times;1</sup> の元を表すのにも用いられる。

== 行列の演算 ==
=== 行列の和 ===
二つの行列は、それが同じ型を持つならば互いに加えることができる、異なる型の行列に対しては和は定義されない。''m'' 行 ''n'' 列の行列同士の和を、成分ごとの和
:<math>A + B: = (a_ {ij} + b_ {ij})_{i= 1,\ldots, m,\atop j = 1,\ldots, n}</math>
で定める。

例えば
:<math>\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
-7 & 8
\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
3 & -4
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
5 + 1 & 6 + (-2) \\
-7 + 3 & 8 + (-4)
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
6 & 4 \\
-4 & 4 \\
\end{pmatrix}</math>
である。

線型代数学において成分はふつう（[[実数]]や[[複素数]]の全体のような）[[体 (数学)|体]]であり、この場合の行列の加法は、[[結合法則|結合的]]かつ[[交換法則|可換]]であり、また[[加法単位元|単位元]]として[[零行列]]
: <math>0=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}</math>
を持つ。一般に、これらの三性質を満たす代数系に成分を持つ（同じ型の）行列の全体は、やはりこれらの性質を満たす。

=== スカラー倍 ===
行列の各成分に一つのスカラーを掛けることにより、任意の行列のスカラー倍
: <math>\lambda A := (\lambda a_{ij})_{i=1,\ldots, m,\atop j=1,\ldots, n}</math>
が定義される。例えば、
: <math>5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}</math>
である。

スカラー乗法が意味を持つためには、スカラー &lambda; と行列の成分が同じ[[環 (数学)|環]] (''K'', +, &middot;, 0) からとった元であるべきであり、このとき ''m'' &times; ''n'' 行列の全体 ''K''<sup>''m''&times;''n''</sup> は、左 ''K''-[[環上の加群|加群]]（''K'' が体ならば[[ベクトル空間]]）になる。ベクトル空間（あるいは[[自由加群]]）としての ''K''<sup>''m''&times;''n''</sup> は ''mn'' 次元数ベクトル空間 ''K''<sup>''mn''</sup> と同型である。

=== 行列の積 ===
[[file:Matrix multiplication diagram.svg|thumb|right|行列の積の模式図]]
{{main|行列の乗法}}
行列の積を初めて定義したのは[[アーサー・ケーリー|ケイリー]]である。行列の積は狭い意味での[[二項演算]]（即ち、台とする集合 ''X'' に対して ''X'' &times; ''X'' &rarr; ''X'' なる写像を定めるもの）ではない。''l'' × ''m'' 行列 ''A'' と ''m'' × ''n'' 行列 ''B'' の積は ''l'' × ''n'' 行列となり、''C'' = ''AB'' の (''i'', ''j'') 成分 ''c''<sub>''ij''</sub> は、
:<math>c_{ij} = \sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}</math>
で与えられる。

例えば、
:<math>
\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 & 5 \cdot 2 + 6 \cdot 4 \\
7 \cdot 1 + 8 \cdot 3 & 7 \cdot 2 + 8 \cdot 4 \\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
23 & 34 \\
31 & 46
\end{pmatrix}
</math>
である。

; 行列の積は[[交換法則|可換]]でない
: 即ち一般には<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  B \cdot A \neq A \cdot B
</math></div>となることが両辺が定義される場合 (''l'' = ''n'') であっても起こり得る。さらに ''m'' = ''n''(= ''l'') のとき、つまり両辺が正方行列同士の積であれば両辺とも定義されるが、その場合でも一般には両者は異なる。
; 行列の積は[[結合法則|結合的]]である
: 即ち、乗法が定義される限りにおいて<div style="margin: 1ex 2em"><math>
  (A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)
</math></div>が成り立つ。
; 行列の乗法は加法の上に[[分配法則|分配的]]である
: 即ち、各項における加法と乗法が定義される限りにおいて<div style"margin: 1ex 2em;"><math>
  (A + B)\cdot C = A\cdot C + B\cdot C
</math></div>および<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  A\cdot (B + C) = A\cdot B + A\cdot C
</math></div>が成り立つ。

正方行列に関して行列の乗法は特別な役割を持つ。環 ''R'' 上の正方行列全体 ''R''<sup>''n''&times;''n''</sup> は行列の加法と乗法に関して、ふたたび環を成すのである。環 ''R'' が単位的（つまり単位元 1 を持つ）ならば、単位行列
: <math>E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix}</math>
は行列の積に関する単位元となり、環 ''R''<sup>''n''&times;''n''</sup> もまた単位的となる。しかし、''n'' &gt; 1 のとき、この環は（基礎環 ''R'' が可換環であっても）可換環でない。

行列が[[区分行列]]に分解されるとき、そのような行列の積は、それらのブロックが適当なサイズならば、ブロック成分ごとに積を計算することができる。例えば
: <math>\begin{align} \left(\begin{array}{cc|cc} a & b & 0 & 0\\ c & d & 0 & 0\\\hline x & y & 1 & 0\\ z & w & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c|c} n & 0\\ m & 0\\\hline q & 1\\ p & 0 \end{array}\right) &= \begin{pmatrix} A & 0\\ X & E_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} N & 0\\ Q & \left(\begin{smallmatrix}1 \\ 0\end{smallmatrix}\right) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} AN + 0 & 0 + 0\\ XN + E_2Q & 0 + E_2\left(\begin{smallmatrix}1 \\ 0\end{smallmatrix}\right) \end{pmatrix}\end{align}</math>
である。ここで ''E''<sub>2</sub> は二次の単位行列、右辺の 0 は全ての成分が 0<sub>''R''</sub>（基礎環 ''R'' の[[加法単位元|零元]]）であるような適当なサイズの行列である。

=== 行列の転置 ===
{{main|転置行列}}
''m'' &times; ''n'' 行列 ''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>) の'''転置'''とは ''n'' &times; ''m'' 行列 <sup>''t''</sup>''A'' = (''a''<sub>''ji''</sub>), 即ち
: <math>A = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \iff {}^tA = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}</math>
である。これはもとの行列の各列を各行に持つ行列であり、主対角成分 ''a''<sub>11</sub>, ''a''<sub>22</sub>, … に関して折り返したものになっている。

転置行列は以下の計算規則に従う：
: <math>\begin{align} {}^t(A + B) &=  {}^tA + {}^tB \\ {}^t(cA) &= c\,{}^tA \\ {}^t({}^tA) &= A \\ {}^t(AB) &= {}^tB\,{}^tA \\ {}^t(A^{-1}) &= ({}^tA)^{-1}.\end{align}</math>

=== その他の演算 ===
''v'' と ''w'' を ''n'' &times; 1 の列ベクトルとすると、''v'' と ''w'' との間に行列の積は定義されないが、<sup>''t''</sub>''v''&thinsp;''w'' および ''v''&thinsp;<sup>''t''</sub>''w'' は行列の積として定義することができる。前者は 1 &times; 1 行列であり、これをスカラーと解釈すれば、''v'' と ''w'' との標準内積 &lang;''v'', ''w''&rang; に他ならない。いっぽう後者は、[[行列の階数|階数]] 1 の ''n'' &times; ''n'' 行列で、''v'' と ''w'' との'''二項積''' (dyadic product) ''vw'' あるいは[[直積 (ベクトル)|テンソル積]] ''v'' &otimes; ''w'' と呼ばれる。

可換環 ''K'' 上の ''m'' &times; ''n'' 行列の全体 ''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>(''K'') は加法とスカラー倍について ''K''-加群を成すばかりでなく、その上の[[三項演算]]
: <math>M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\to M_{m\times n}(K);\quad (X,Y,Z)\mapsto \{X,Y,Z\} := X\,{}^tY\,Z</math>
を定義することができる。これと同様の方法で得られる三重線型な[[三項系]]（三項積）の一般論は、[[ジョルダン環]]あるいは[[リー環]]の理論とかかわりを持つ<ref>http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/2010TKR.pdf </ref>。

''K''-加群としての ''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>(''K'') はまた、行列の積 <sup>''t''</sup>AB の[[蹟 (線型代数学)|トレース]]
: <math>\langle A, B \rangle = \text{trace}({}^tAB) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij}b_{ij}</math>
を[[内積]]に持つ。''K'' = '''R''' のとき、これは[[ユークリッドノルム]]を導き、''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>('''R''') は ''mn''-次元[[ユークリッド空間]] ''K''<sup>''mn''</sup> になる。この内積空間において、[[対称行列]]全体の成す部分空間と[[歪対称行列]]全体の成す部分空間とは互いに直交する。即ち、''A'' が対称, ''B'' が歪対称ならば &lang;''A'', ''B''&rang; = 0 が成り立つ。同様に ''K'' = '''C''' の場合には、''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>('''C''') は
: <math>\langle A, B\rangle = \text{trace} ({}^t\bar{A}B) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \bar{a}_ {ij}b_ {ij}</math>
（ただし、上付きのバーは複素共軛）を[[エルミート内積]]として複素[[ユニタリ空間]]を成す（この内積を{{仮リンク|ヒルベルト・シュミット内積|en|Hilbert–Schmidt operator}}と呼ぶ）。この内積は[[フロベニウスノルム]]を導き、''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>('''C''') は[[バナッハ空間]]となる。

== 行列の分解 ==
行列を2つあるいは3つの行列の積に[[因数分解]]するには以下の方法が知られている。
*[[LU分解]] - 正方行列Aを下三角行列と上三角行列の積に分解。 A = LU
*[[コレスキー分解]] - [[行列の定値性|正値]]対称行列(またはエルミート行列)Aを下三角行列と上三角行列の積に分解。 A = U<sup>*</sup>U
*[[QR分解]] - (m,n)行列を直交行列(またはユニタリ行列)Qと上三角行列Rに分解 A = QR
*[[固有値分解]] - 
*[[特異値分解]] - (m,n)行列を直交行列(またはユニタリ行列)U,Vと対角行列Dに分解 A = UDV<sup>*</sup>

== さまざまな行列 ==
行列サイズによる分類
*[[正方行列]]

行列成分が特別な形の行列
*[[零行列]]
*[[対角行列]]
*[[三角行列]]
*[[ハンケル行列]]

[[作用素]]による作用を受けた行列
*[[転置行列]]
*[[随伴行列]]

対称性がある行列
*[[対称行列]]
*[[エルミート行列]]

群を構成する行列
*単位元 - [[単位行列]]
*逆元 - [[正則行列]] - [[逆行列]]
*[[直交行列]] - [[直交群]]
*[[回転行列]] - [[特殊直交群]]
*[[ユニタリ行列]] - [[ユニタリ群]]

== 線型写像 ==
{{Main|一次変換|変換行列}}
[[File:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|2 &times; 2 行列は、単位正方形を平行四辺形に変形することに対応する。]]
行列とその乗法は、これを'''一次変換'''（つまり'''線型写像'''）と関連付けるとき、その本質的な特徴が浮き彫りになる<cite id=linear_maps>''m'' &times; ''n'' 行列 ''A'' から線型写像 '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> が各ベクトル '''x''' &isin; '''R'''<sup>''n''</sup> を行列としての積 '''Ax''' &isin; '''R'''<sup>''m''</sup> へ写すものとして定まる。逆に、各線型写像 ''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> を生じる ''m'' &times; ''n'' 行列 ''A'' は一意的に決まる。陽に書けば、''A'' の {{nowrap|(''i'', ''j'')}}-成分は、''f''('''e'''<sub>''j''</sub>) の第 ''i''-成分である。ただし {{nowrap begin}}'''e'''<sub>''j''</sub> = (0, …, 0, 1, 0, …, 0){{nowrap end}} は第 ''j''-成分だけが 1 で他が全部 0 の[[単位ベクトル]]である</cite>。このとき、行列 ''A'' は線型写像 ''f'' を表現すると言い、''A'' を ''f'' の'''変換行列'''または'''表現行列'''と呼ぶ。

例えば 2 × 2 行列
:<math>A = \begin{pmatrix} a & c\\b & d \end{pmatrix}</math>
は、[[単位正方形]]を {{nowrap|(0, 0)}}, {{nowrap|(''a'', ''b'')}}, {{nowrap|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}}, {{nowrap|(''c'', ''d'')}} を頂点とする[[平行四辺形]]に写すものと見做すことができる。この平行四辺形は、単位正方形の頂点を成す四つの（列）ベクトル ({{su|p=0|b=0}}), ({{su|p=1|b=0}}), ({{su|p=1|b=1}}), ({{su|p=0|b=1}}) の各々に ''A'' を掛けることによって得られる。

この行列と線型写像との間の[[全単射|一対一対応]]のもとで、行列の乗法は[[写像の合成]]に対応する<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.2 }}</ref>: 上記の ''A'' と ''f'' に加えて、''k'' &times; ''m'' 行列 ''B'' が別の線型写像 ''g'': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''k''</sup> を表現するものならば、合成 {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}} は行列の積 ''BA'' で表現される。実際、
:(''g'' ∘ ''f'')('''x''') = ''g''(''f''('''x''')) = ''g''(''A'''''x''') = ''B''(''A'''''x''') = (''BA'')'''x'''
である。最後の等号は行列の積の結合性による。

行列 ''A'' の[[行列の階数|階数]]は、この行列の列ベクトルの中で[[線型独立]]なものの最大個数であり、また
行ベクトルの中で線型独立なものの最大個数とも等しい<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition II.3.3 }}</ref>。あるいは ''A'' の表現する線型写像の[[像 (数学)|像]]の[[ハメル次元|次元]]と言っても同じである<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.1 }}</ref>。[[階数退化次数定理]]は、行列の[[核 (数学)|核]]に階数を加えると、その行列の列の数に等しいことを述べるものである<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem II.3.22 }}</ref>。

== 行列の抽象代数的側面と一般化 ==
行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。抽象代数学では行列の成分をもっと一般の[[体  (数学)|体 ]]や[[環 (数学)|環]]としたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。他の拡張として[[テンソル]]は、（行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して）数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである<ref>{{Harvard citations|last1 =  Coburn|year = 1955|nb = yes|loc=Ch. V}}</ref>。適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれる[[群 (数学)|群]]を成す。

=== より一般の成分を持つ行列 ===
しばしば実または[[複素数|複素]]成分の行列に焦点を当てることもある<cite id=more_general_entries>が、それ以外にももっと一般の種類の成分を持った行列を考えることができる</cite>。一般化の最初の段階として任意の[[体 (数学)|体]]（すなわち[[四則演算]]が自由にできる[[集合]]、例えば '''R''', '''C''' 以外に[[有理数]]体 '''Q''' や[[有限体]] '''F'''<sub>''q''</sub>など）を成分として考える。例えば[[符号理論]]では有限体上の行列を利用する。どの体で考えるとしても、[[固有値]]は多項式の根として考えることができて、それは行列の係数体の拡大体の中に存在する。たとえば、実行列の場合は固有値は複素数である。ある行列の成分をより大きな体の元と解釈しなおすことはできる（例えば実行列を全ての成分が実数であるような複素行列とみることができる）から、そのような十分大きな体の中で任意の正方行列についてその固有値全てから成る集合を考えることができる。あるいは最初から、複素数体 '''C''' のような[[代数閉体]]に成分を持つような行列のみを考えるものとすることもできる。

もっと一般に、抽象代数学では[[環 (数学)|環]]に成分を持つ行列というものが甚だ有用である<ref>{{Harvard citations|last1 =  Lang|year = 2002|nb = yes|loc=Chapter XIII}}</ref>。環は除法演算を持たない点において体よりも一般の概念である。この場合も、行列の加法と乗法はそのまままったく同じ物を使うことができる。''R'' 上の ''n''-次正方行列全体の成す集合 M(''n'', ''R'') は[[全行列環]]と呼ばれる環であり、左 ''R''-[[環上の加群|加群]] ''R''<sup>''n''</sup> の[[自己準同型環]]に同型である<ref>{{Harvard citations|last1 =  Lang|year = 2002|nb =yes|loc=XVII.1, p. 643}}</ref>。環 ''R'' が[[可換環]]、すなわちその乗法が[[交換法則|可換律]]を満たすならば、全行列環 M(''n'', ''R'') は（''n'' = 1 でない限り）非可換な ''R'' 上の単位的[[結合多元環]]となる。可換環 ''R'' 上の正方行列の[[行列式]]はライプニッツの公式を用いて定義することができて、可換環 ''R'' 上の正方行列が可逆であることの必要十分条件をその行列式が ''R'' の[[可逆元]]であることと述べることができる（これは零元でない任意の元が可逆元であった体の場合の一般化になっている）<ref>{{Harvard citations|last1 =  Lang|year = 2002|nb =yes|loc=Proposition XIII.4.16}}</ref>。[[超環]]上の行列は[[超行列]]と呼ばれる<ref>{{Harvard citations|last1 =  Reichl|year=2004|nb=yes|loc=Section L.2}}</ref>。

行列の成分が必ずしもすべて同じ環に属するというわけではない（し、すべてが全く別の環に成分を持つというわけでもない）。一つの特別な、しかしよく用いられる場合として、成分自体が行列となっているような行列と見なすこともできる[[区分行列]]が挙げられる。その成分は二次元的な行列である必要はないし、また通常の[[環 (数学)|環]]の元である必要もないが、その大きさに関しては適当な両立条件を満足するものでなければならない。

=== 線型写像との関係 ===
線型写像 '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> は既に述べたように ''m'' &times; ''n'' 行列と等価である。一般に有限[[ハメル次元|次元]][[ベクトル空間]]の間の線型写像 ''f'': ''V'' → ''W'' は（''V'' の次元を ''n'', ''W'' の次元を ''m'' として） ''V'' の[[基底]] '''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub> と ''W'' の基底 '''w'''<sub>1</sub>, …, '''w'''<sub>''m''</sub> を選べば
:<math>f(\mathbf{v}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j} \mathbf{w}_i\quad(j=1,\ldots,n)</math>
を満たす行列 ''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>) によって記述することができる。言い換えれば、
''A'' の第 ''j''-列は基底ベクトル '''v'''<sub>''j''</sub> の像を ''W'' の基底 {'''w'''<sub>''i''</sub>} に関して表したものになっている。従ってこのような関係は行列 ''A'' の成分から一意的に定まる。注意すべきは線型写像を表す行列は基底の取り方に依存することである。基底の取り方を変えれば別な行列が生じるが、それはもとの行列と[[行列の相似|同値]]になる<ref>{{Harvard citations | last1=Greub | year=1975 |nb=yes|loc=Section III.3}}</ref>。既に述べた具体的な概念の多くはこの方法を通して解釈しなおすことができる。例えば転置行列 ''A''<sup>⊤</sup> は ''A'' の定める線型写像の[[線型写像の転置|転置写像]]を、[[双対空間|双対基底]]に関して記述するものである。<ref>{{Harvard citations | last1=Greub | year=1975 |nb=yes|loc=Section III.3.13}}</ref>。

より一般に、''m'' × ''n'' 行列全体の成す集合は、勝手な単位的環 ''R'' に対して自由加群 ''R''<sup>''m''</sup> および ''R''<sup>''n''</sup> の間の ''R''-線型写像を表すのに利用することができる。''n'' = ''m'' のとき、そのような写像の合成を定義することができて、''n''-次正方行列全体の成す[[全行列環]]が、''R''<sup>''n''</sup> の[[自己準同型環]]を表現するものとして生じる。

=== 行列群 ===
{{Main|線型代数群}}
[[群 (数学)|群]]というのは集合と[[二項演算]]（つまり、任意の二つの対象を結合して第三の対象を作る操作）からなる数学的構造で、適当な条件を満たすものである。行列をその元とし、行列の積を群演算とするような群は、行列群または線型代数群と呼ばれる<ref group=nb>普通はさらに一般線型群の[[閉集合]]となることも要求する。</ref><ref>{{Harvard citations|last1 =  Baker|year = 2003|nb = yes|loc=Def. 1.30}}</ref>。群の任意の元は可逆であるから、最も一般の行列群は与えられたサイズの可逆行列全体の成す群 ''GL''<sub>''n''</sub> であり、[[一般線型群]]と呼ばれる。

行列の性質のうちで積と反転に関して保たれるものを用いると、さらに別の行列群を定義することもできる。例えば、与えられたサイズの行列式が 1 であるような行列の全体は、同じサイズの一般線型群に含まれる[[部分群]]となり、[[特殊線型群]] ''SL''<sub>''n''</sub> と呼ばれる<ref>{{Harvard citations|last1 =  Baker|year = 2003|nb = yes|loc=Theorem 1.2}}</ref>。また、条件
:''M''<sup>⊤</sup>''M'' = ''I''
で定まる[[直交行列]]の全体は[[直交群]] ''O''(''n'') を成す<ref>{{Harvard citations|last1 =  Artin|year = 1991|nb = yes|loc=Chapter 4.5}}</ref>。「直交」の名は、対応する '''R'''<sup>''n''</sup> の線型変換が、''M'' を掛ける操作で二つのベクトルの[[点乗積|内積]]を変えない
: ('''Mv''') &middot; ('''Mw''') = '''v''' &middot; '''w'''
という意味で角を保つことに由来する<ref>{{Harvard citations|last1 =  Artin|year = 1991|nb = yes|loc=Theorem 4.5.13}}</ref>。
任意の[[有限群]]は何らかの行列群[[同型]]である。なんとなれば[[対称群]]の[[正則表現 (数学)|正則表現]]を考えればよい<ref>{{Harvard citations | last1=Rowen| year=2008|loc=Example 19.2, p. 198|nb=yes}}</ref>。故に、[[表現論]]の意味で、一般の群を比較的よくわかっている行列群を用いて調べることができる。

=== 無限次行列 ===
行または列の数を無限にした行列と呼べるようなものも考えることができる<ref>See the item "Matrix" in {{Harvard citations | editor1-last=Itõ | year=1987 |nb=yes}}</ref>が、そのようなものを陽なかたちに書き記すことはできないので、行を添字付ける集合と列を添字付ける集合を用意して（添字集合は必ずしも自然数から成るものでなくてよい）、それらの各元に対して行列の成分が矛盾無く定義されるという方法で扱うことになる。このとき、和・差、スカラー倍、転置といった基本演算については問題なく定義されるが、行列の乗法に関してはその成分が無限和として与えられることになり、これは（適当な制約条件を抜きにしては）一般には定義されない。

''R'' を任意の単位的環とすれば、右 ''R''-加群としての <math>\textstyle M=\bigoplus_{i\in I}R</math> の自己準同型環は、''I'' &times; ''I'' で添字付けられ、各列の非零成分の数が有限個であるような'''列有限行列'''の環 CFM<sub>''I''</sub>(''R'') に同型である。これと対応するものとして、左 ''R''-加群としての ''M'' の自己準同型環を考えれば、同様に各行の非零成分の数が有限な'''行有限行列'''の環 RFM<sub>''I''</sub>(''R'') が得られる。

無限次元行列を線型写像を記述するのに用いるならば、次に述べるような理由から、その各列ベクトルが有限個の例外を除いて全ての成分が 0 となるものとならなければ無用である。''A'' が適当な基底に関して線型写像 ''f'': ''V'' → ''W'' を表現するものとすると、それは定義により、空間の任意のベクトルを基底ベクトルの（有限）[[線型結合]]として一意に表すことによって与えられるのであるから、従って（列）ベクトル ''v'' の成分 ''v''<sub>''i''</sub> で非零となるものは有限個に限られる。また、''A'' の各列は ''V'' の各基底ベクトルの ''f'' による像を ''W'' の基底に関して表したものとなっているから、これが意味を持つのはこれらの列ベクトルの非零成分が有限個である場合に限る。しかし一方で、''A'' の行に関しては何の制約もない。事実、''v'' の非零成分が有限個であるならば、積 ''Av'' はその各成分が見かけ上無限和の形で与えられるとしても、実際にはそれは非零の項が有限個しかないから、間違いなく決定することができる。さらに言えば、これは ''A'' の実質的に有限個の列の線型結合を成すことになり、また各列の非零成分は有限個だから結果として得られる和も非零成分が有限個になる。（通常は、行と列が同じ集合で添字付けられるような）与えられた型の二つの行列の積は矛盾無く定義できて、もとと同じ型を持ち、線型写像の合成に対応することも確認できる。

''R'' が[[ノルム環]]ならば、行または列に関する有限性条件を緩めることができる。すなわち、有限和の代わりに、そのノルムに関する[[絶対収斂級数]]を考えればよい。例えば、列和が絶対収斂列となるような行列の全体は環を成す。もちろん同様に、行和が絶対収斂列となるような行列の全体も環を成す。

この文脈では、収斂して[[連続写像|連続的]]な問題を生じ、適当な制約条件を満たすような無限次行列は[[ヒルベルト空間上の作用素]]を記述するものとして利用することができる。しかし、このようなやり方は行列としての陽な観点は曖昧になりがち<ref group=nb>"Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps." {{Harvard citations | last1=Halmos |year=1982 | loc=p. 23, Chapter 5|nb=yes}}</ref>であり、むしろその代わりに[[函数解析学]]の抽象的でより強力な手法が利用できる。

=== 空行列 ===
'''空行列'''は行または列（あるいはその両方）の数が 0 であるような行列をいう<ref>"Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero", [http://www.omatrix.com/manual/glossary.htm Glossary], O-Matrix v6 User Guide</ref><ref>"A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", [http://www.system.nada.kth.se/unix/software/matlab/Release_14.1/techdoc/matlab_prog/ch_dat29.html MATLAB Data Structures]</ref>。[[零ベクトル空間]]を含めて写像を考える場合に、空行列は役に立つ。例えば、''A'' が 3 &times; 0 行列で ''B'' が 0 &times; 3 行列ならば、積 ''AB'' は三次元空間 ''V'' からそれ自身への空写像に対応する 3 &times; 3 零行列である。空行列を表す記号というのは特に定まってはいないが、多くの[[計算機代数システム]]では空行列を作成したり空行列に関する計算をしたりすることができる。0 &times; 0 行列の行列式は 1 と定義される。これは行列式に関するライプニッツの公式（置換に関する和として表す公式）が[[空積]]となり、それは通常 1 であることによる。またこのことは、任意の有限次元空間における恒等変換（に対応する行列）の行列式が 1 であるという事実とも整合する。

== 成立しない計算 ==
実行してはならない行列計算を以下に示す。[[スタンフォード大学]]のStephen P. Boyd教授はこれらは行列に対する[[犯罪]]であるとしている。<ref>{{Cite web
  | author = Stephen P. Boyd 
  | title = Crimes against Matrices
  | work = 
  | publisher = 
  | date = 
  | url = http://see.stanford.edu/materials/lsoeldsee263/Additional2-matrix_crimes.pdf
  | format = pdf
  | doi = 
  | accessdate = 2013年3月2日}}
</ref>

* 異なる型の行列同士の和
:<math> \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} g & h \\ i & j \\ k & l \end{pmatrix} = \cdots </math>
* 正方行列<u>ではない</u>行列の逆行列
:<math>
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix}^{-1} = \cdots 
</math>
* 正方行列<u>ではない</u>行列の行列式
:<math> 
\det \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix} = \cdots 
</math>
* 正方行列<u>ではない</u>行列の固有値
:<math> \begin{align}
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \lambda \, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\

\end{align}</math>
* 正方行列<u>ではない</u>行列のトレース
:<math>
tr \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} = \cdots 
</math>

{{節stub}}

== 脚注 ==
{{Reflist|colwidth=30em}}
{{Reflist|group=nb|3}}

== 参考文献 ==
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* {{Citation | last1=Wolfram | first1=Stephen | author1-link=スティーブン・ウルフラム | title=The Mathematica Book | publisher=Wolfram Media | location=Champaign, Ill | edition=5th | isbn=978-1-57955-022-6 | year=2003}}

=== 物理学に関するもの ===
* {{Citation|last=Bohm|first=Arno|title=Quantum Mechanics: Foundations and Applications|publisher=Springer|year=2001|isbn=0-387-95330-2}}
* {{Citation|last=Burgess|first=Cliff|last2=Moore|first2=Guy|title=The Standard Model. A Primer|publisher=Cambridge University Press|year=2007|isbn=0-521-86036-9}}
*{{Citation|last=Guenther|first=Robert D.|title=Modern Optics|publisher=John Wiley|year=1990|isbn=0-471-60538-7}}
*{{Citation|last=Itzykson|first=Claude|last2=Zuber|first2=Jean-Bernard|title=Quantum Field Theory|publisher=McGraw–Hill|year=1980|isbn=0-07-032071-3}}
*{{Citation|last=Riley|first=K. F.|last2=Hobson|first2=M. P.|last3=Bence|first3=S. J.|title=Mathematical methods for physics and engineering|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=0-521-55506-X}}
*{{Citation|last=Schiff|first=Leonard I.|title=Quantum Mechanics|edition=3rd|publisher=McGraw–Hill|year=1968}}
*{{Citation|last=Weinberg|first=Steven|title=The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations|publisher=Cambridge University Press|year=1995|isbn=0-521-55001-7}}
* {{Citation|last=Wherrett|first=Brian S.|year=1987|title=Group Theory for Atoms, Molecules and Solids|publisher=Prentice–Hall International|isbn=0-13-365461-3}}
* {{Citation | last1=Zabrodin | first1=Anton | last2=Brezin | first2=Édouard | last3=Kazakov | first3=Vladimir | last4=Serban | first4=Didina | last5=Wiegmann | first5=Paul | title=Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry) | publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク|Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-1-4020-4530-1 | year=2006}}

=== 歴史に関するもの ===
* {{Citation | last1=Bôcher | first1=Maxime | author1-link=マキシム・ボッチャー | title=Introduction to higher algebra | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-49570-5 | year=2004}}, reprint of the 1907 original edition
* {{Citation | last1=Cayley | first1=Arthur | author1-link=アーサー・ケイリー | title=The collected mathematical papers of Arthur Cayley | url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 | publisher=[[ケンブリッジ大学出版|Cambridge University Press]] | year=1889 | volume=I (1841–1853) | pages=123–126}}
* {{Citation | editor1-last=Dieudonné | editor1-first=Jean | editor1-link=ジャン・デュドネ | title=Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 | publisher=Hermann | location=Paris | year=1978}}
* {{Citation | last1=Hawkins | first1=Thomas | title=Cauchy and the spectral theory of matrices | mr=0469635 | year=1975 | journal=[[Historia Mathematica]] | issn=0315-0860 | volume=2 | pages=1–29 | doi=10.1016/0315-0860(75)90032-4}}
* {{Citation | last1=Knobloch | first1=Eberhard | title=The intersection of history and mathematics | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Boston, Berlin | series=Sci. Networks Hist. Stud. | mr=1308079 | year=1994 | volume=15 | chapter=From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations | pages=51–66}}
* {{Citation | last1=Kronecker | first1=Leopold | author1-link=レオポルト・クロネッカー | editor1-last=Hensel | editor1-first=Kurt | editor1-link=クルト・ヘンゼル | title=Leopold Kronecker's Werke | url=http://name.umdl.umich.edu/AAS8260.0002.001 | publisher=Teubner | year=1897}}
* {{Citation | last1=Mehra | first1=J. | last2=Rechenberg | first2=Helmut | title=The Historical Development of Quantum Theory | publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク|Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=1st | isbn=978-0-387-96284-9 | year=1987}}
* {{Citation | last1=Shen | first1=Kangshen | last2=Crossley | first2=John N. | last3=Lun | first3=Anthony Wah-Cheung | title=Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary | publisher=[[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]] | edition=2nd | isbn=978-0-19-853936-0 | year=1999}}
* {{Citation | last1=Weierstrass | first1=Karl | author1-link=カール・ヴァイエルシュトラス | title=Collected works | url=http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0003.001 | year=1915 | volume=3}}

== 関連項目 ==
* [[線型代数学]]
* [[行列式]]
* [[線型写像]]
* [[固有値]]
* [[MATLAB]]
* [[R言語]]

== 外部リンク ==
* [http://www.jimmysie.com/maths/matrix.php Online Matrix Multiplication using AJAX]
* [http://www.jimmysie.com/maths/matrixinv.php Online Inverse Matrix Calculator using AJAX]
*[http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/vypocty/matreg.php?language=english Online Calculator - Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)]
; 歴史
*[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html MacTutor: Matrices and determinants]
*[http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages]
*[http://jeff560.tripod.com/matrices.html Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors]
; オンライン本
* {{Citation | last1=Kaw | first1=Autar K. | title=Introduction to Matrix Algebra | url=http://autarkaw.com/books/matrixalgebra/index.html | isbn=978-0-615-25126-4}}
* {{Citation | title= The Matrix Cookbook | url=http://matrixcookbook.com | accessdate=2008-12-10}}
* {{Citation | first1=M. | last1=Brookes | title=The Matrix Reference Manual | url=http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/intro.html | publisher=[[Imperial College]] | location=London|year=2005|accessdate=2008-12-10}}
; オンラインの行列計算器
* {{Citation  |title=SuperiorMath (Matrix Calculator)| url=http://www.webalice.it/simoalessia/SuperiorMath/matrix.html }}
* {{Citation  |title=Matrix Calculator (DotNumerics )| url=http://www.dotnumerics.com/MatrixCalculator/ }}
* {{Citation | last1=Xiao |first1=Gang |title= Matrix calculator| url=http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/matrix.en| accessdate=2008-12-10}}
* {{Citation  |title=Online matrix calculator| url=http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ | accessdate=2008-12-10}}
* {{Citation  |title=Online matrix calculator(ZK framework)| url=http://matrixcalc.info/MatrixZK/ | accessdate=2009-11-26}}
* {{Citation| title=MacAnova|url=http://www.stat.umn.edu/macanova/macanova.home.html|last1=Oehlert|first1=Gary W. |last2=Bingham|first2= Christopher |publisher=[[University of Minnesota]], School of Statistics|accessdate=2008-12-10}}, a freeware package for matrix algebra and statistics
* {{Citation  |title=Online matrix calculator| url=http://www.idomaths.com/matrix.php | accessdate=2009-12-14}}
*[http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/vypocty/matreg.php?language=english Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)]
*[http://oscience.info/math-formulas/matrix-formulas/ Matrix Formulas]

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[[Category:線型代数学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:行列|*]]

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