線積分のソースを表示

[[数学]]における'''線積分'''（せんせきぶん、<span lang="en"><em>path integral</em>, line integral</span>）は、曲線に沿って評価された[[函数]]の値についての[[積分]]の総称。[[ベクトル解析]]や[[複素解析]]において重要な役割を演じる。閉曲線に沿う線積分を特に'''閉路積分'''あるいは'''周回積分'''（しゅうかいせきぶん、<em lang="en">contour integral</em>）と呼ぶ。

線積分の対象となる函数は、[[スカラー場]]や[[ベクトル場]]などとして与えられ、線積分の値はそういった場の考えている曲線上での値に曲線上のあるスカラー函数（ふつうは[[弧長]]、あるいはベクトル場については曲線上の微分ベクトルとの[[点乗積]]）による重み付けをしたものを「足し合わせた」ものとなる。この重み付けこそが、単に[[区間 (数学)|区間]]上で定義される積分と線積分とを分ける重要な点である。

物理学における多くの単純な公式が、線積分で書くことによって自然に、連続的に変化させた場合についても一般化することができるようになる。例えば、力学的な[[仕事 (物理学)|仕事]]を表す式 ''W'' = '''F''' · '''s''' から曲線 ''C'' に沿っての仕事を表す式 ''W'' = ∫<sub>''C''</sub> '''F''' · d'''s''' が得られ、例えば電場や重力場において運動する物体の成す仕事が計算できる。

== 弧長変数と線素 ==
{{seealso|弧長}}
''n'' 次元実多様体 ''M'' の領域 &Omega; を考える。局所的には &Omega; &sub; '''R'''<sup>''n''</sup> と考えることができる。&Omega; 内の[[滑らかな曲線]] &gamma;: ''I'' &rarr; &Omega; が '''r''' = &gamma;(''t'') = (&gamma;<sub>1</sub>(''t''), &gamma;<sub>2</sub>(''t''), ..., &gamma;<sub>''n''</sub>(''t'')) で与えられているとき、''s'' = ''s''(''t'') が &gamma; の'''弧長変数'''であるとは、区間 ''I'' = [''a'', ''b''] 上の各点 ''t''<sub>0</sub> に対して
: <math>s(t_0) = \int_{a}^{a + t_0} \left|\frac{d\gamma}{dt}\right|dt 
  = \int_{a}^{a + t_0} \sqrt{
  \left(\frac{d\gamma_1}{dt}\right)^{\!\!2} +
  \left(\frac{d\gamma_2}{dt}\right)^{\!\!2} + \cdots +
  \left(\frac{d\gamma_n}{dt}\right)^{\!\!2}
  }\,dt
</math>
あるいは同じことだが
: <math>\frac{ds}{dt} = \left|\frac{d\gamma}{dt}\right|</math>
が成り立つことをいう。これはパラメータ ''t'' の取り方に依らず定まり、記号的に
: <math>ds = |d\mathbf{r}| = |d\gamma|</math>
と記される。この ''ds'' を &gamma; の'''線素'''（せんそ、<span lang="en">line element</span>）と呼ぶ。曲線が区分的に滑らかなら、微分可能な区間の和にわけて同じく弧長を定義することができる。

== 場の線積分 ==
定性的には、ベクトル解析における線積分は、与えられた[[場]]の与えられた曲線に沿っての全体的な効果を計るものと考えることができる。より正確に言えば、スカラー場上の線積分は、特定の曲線によって曲げられた場の下にある領域の面積と解釈できる。これは ''z'' = ''f''(''x'',''y'') で定義される曲面と ''xy''-平面上の曲線 ''C'' を使って視覚的に見ることができて、''f'' の線積分は曲線 ''C'' の真上にある曲面上の点で切り取るときにできる「カーテン」の面積になる。

=== スカラー場に対する線積分 ===
==== スカラー場上の線積分の定義 ====
[[スカラー場]] ''f'': ''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' の[[区分的に滑らかな函数|区分的に滑らか]]な[[曲線]] ''C'' ⊂  ''U'' に沿った'''線積分'''は
:<math>\int_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt</math>
で定義される。ただし、'''r''': &#x5b;''a'',&thinsp;''b''&#x5d; → ''C'' は、'''r'''(''a'') と '''r'''(''b'') が与えられた曲線 ''C'' の両端点となるような、''C'' の勝手な[[全単射]][[媒介変数|媒介表示]]とする。

このとき、函数 ''f'' を'''被積分函数'''、曲線 ''C'' を'''積分領域'''あるいは'''積分路'''とよび、また記号 ''ds'' は直観的には弧長の無限小成分としての'''線素'''と解釈できる。スカラー場の曲線 ''C'' に沿った線積分は、''C'' の媒介表示  '''r''' の取り方に依らない。

==== スカラー場の線積分の導出 ====
上記の如く ''f'', ''C'' を定め、''C'' の媒介表示 '''r''' を取れば、スカラー場の線積分は[[リーマン和]]として構成することができる。[[区間 (数学)|区間]] &#x5b;''a'',&thinsp;''b''&#x5d; を長さ Δ''t'' = (''b'' − ''a'')/''n'' の ''n''-個の小区間 &#x5b;''t''<sub>''i''&minus;1</sub>,&thinsp;''t''<sub>''i''</sub>&#x5d; に分割し、曲線 ''C'' 上に各小区間に対応する標本点 '''r'''(''t''<sub>''i''</sub>) をとる。標本点の集合 {'''r'''(''t''<sub>''i''</sub>) : 1 ≤ i ≤ n} に対して、標本点 '''r'''(''t''<sub>''i-1''</sub>) と '''r'''(''t''<sub>''i''</sub>) とを各々線分で結んでできる[[折線]]によって曲線 ''C'' を近似することができる。各標本点の間を結ぶ線分の長さを Δ''s''<sub>''i''</sub> と書くことにすれば、積 ''f''('''r'''(''t''<sub>''i''</sub>))Δ''s''<sub>''i''</sub> は、高さと幅が ''f''('''r'''(''t''<sub>''i''</sub>)) と Δ''s''<sub>''i''</sub> で与えられる矩形の符号付面積に対応する。それらの総和を取って、分割の各小区間の長さを 0 に近づける極限
:<math>I = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\mathbf{r}(t_i))\Delta s_i</math>
を考えるとき、曲線上の分点間の距離は
:<math>\Delta s_i = |\mathbf{r}(t_i+\Delta t)-\mathbf{r}(t_i)|=|\mathbf{r}'(t_i)|\Delta t</math>
と書けるから、これを代入して得られる
:<math>I = \lim_{\Delta t\to 0} \sum_{i=1}^n f(\mathbf{r}(t_i))|\mathbf{r}'(t_i)|\Delta t</math>
は、積分
:<math>I = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.</math>
に対応するリーマン和である。基本的にこの積分は、''x'' = ''u''(''t'') および ''y'' = ''v''(''t'') となる制約条件下でスカラー函数 ''z'' = ''f''(''x'', ''y'') の下にある領域の面積になっている。

=== ベクトル場に対する線積分 ===
==== ベクトル場の線積分の定義 ====
[[ベクトル場]] '''F''': ''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> の '''r''' の向きへの[[区分的に滑らかな曲線]] ''C'' ⊂ ''U'' に沿った線積分は
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt</math>
と定義される。ただし、"·" は[[点乗積]]で '''r''': &#x5b;''a'',&thinsp;''b''&#x5d; → ''C'' は '''r'''(''a'') と '''r'''(''b'') が曲線 ''C'' の両端点となる、''C'' の[[全単射]][[媒介変数|媒介表示]]とする。

従ってスカラー場の線積分は、各ベクトルが常に積分路に接するようなベクトル場の線積分に一致する。

ベクトル場の線積分は、絶対値に関しては媒介変数 '''r''' の取り方に依らないが、[[向き]]に関しては依存する。特に、媒介変数の向きを逆にすれば、線積分の符号が変わる。

==== ベクトル場の線積分の導出 ====
[[Image:Line-Integral.gif|300px|thumb|right|ベクトル場内の曲線に沿った粒子の軌跡。下に表示されているのは、曲線に沿って粒子が動いたときに粒子が出会う場のベクトルである。それらのベクトルと軌跡の各点における曲線の接ベクトルとの点乗積の和を取ったものが、求める線積分になる。]]

ベクトル場の線積分も、スカラー場の線積分の場合とよく似た方法で導かれる。ベクトル場 '''F''', 曲線 ''C'', 媒介表示 '''r'''(''t'') は上記の如くとして、[[リーマン和]]を構成しよう。区間 &#x5b;''a'',&thinsp;''b''&#x5d; を長さ Δ''t'' = (''b'' − ''a'')/''n'' の ''n''-個の小区間に分割し、''i''-番目の小区間から標本点 ''t''<sub>''i''</sub> を取って、曲線上の分点 '''r'''(''t''<sub>''i''</sub>) を考えるのだが、ここでは分点間の距離を足し合わせるのではなくて、分点間の[[変位ベクトル]] Δ'''s'''<sub>''i''</sub> を足し合わせなければならない。前と同じく、'''F''' を放射曲線上の各点で評価して、それと曲線 ''C'' の各小片での '''F''' の[[無限小]]寄与を与える変位ベクトルとの点乗積をとったもの全て和の、分割のサイズを 0 にする極限
:<math>I = \lim_{\Delta t\to 0} \sum_{i=1}^n \mathbf{F}(\mathbf{r}(t_i)) \cdot \Delta\mathbf{s}_i</math>
を考える。曲線上の隣り合う分点の間の変位ベクトルは
:<math>\Delta\mathbf{s}_i = \mathbf{r}(t_i+\Delta t)-\mathbf{r}(t_i)=\mathbf{r}'(t_i)\Delta t</math>
と書けるから、代入してリーマン和
:<math>I = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \mathbf{F}(\mathbf{r}(t_i)) \cdot \mathbf{r}'(t_i)\Delta t</math>
が得られ、これにより上記の線積分が定まる。

=== 経路独立な線積分 ===
{{Main|勾配定理}}
ベクトル場 '''F''' が[[保存場]]、すなわち何らかのスカラー場 ''G'' の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]として
:<math>\nabla G = \mathbf{F}</math>
と書けるとき、''G'' と '''r'''(''t'') との[[写像の合成|合成]]の導函数
:<math>\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math>
は、'''F''' の '''r'''(''t'') 上の線積分の被積分函数である。従って、積分路 ''C'' が与えられれば
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a))</math>
が成り立つ。言い換えれば、'''F''' の '''C''' 上の積分は、点 '''r'''(''b'') および '''r'''(''a'') 上の ''G'' の値のみに依存し、それらを結ぶ積分路の取り方に依らない。

このことから、保存ベクトル場の線積分は'''経路独立''' {{lang|en|(''path independent'')}} であるといわれる。

=== 応用 ===
この線積分は物理学でよく用いられる。たとえば、ベクトル場 '''F''' で表される力場の内側で曲線 ''C'' に沿って運動する粒子の成す仕事は '''F''' の ''C'' 上の線積分で表される。

== 複素線積分 ==
線積分は[[複素解析]]における基本的な道具である。''U'' をガウス平面 '''C''' の[[開集合]]、 γ: &#x5b;''a'',&thinsp;''b''&#x5d; → ''U'' を[[有限長曲線]]とすると、函数 ''f'': ''U'' → '''C''' の線積分
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz</math>
は、区間 &#x5b;''a'',&thinsp;''b''&#x5d; の ''a'' = ''t''<sub>0</sub> &lt; ''t''<sub>1</sub> &lt; … &lt;  ''t''<sub>''n''</sub> = ''b'' への細分を考えて得られるリーマン和
:<math>\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}))</math>
の、小区間の幅を 0 に近づける極限として定義される。

&gamma; が[[連続的微分可能]]な曲線ならば、この線積分の値は実変数函数の積分
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz
=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt</math>
として評価することができる。弧長に関する線積分も同様に
: <math>\int_{\gamma} f(z)|dz| = 
  \int f(\gamma(t))\left|\frac{d\gamma}{dt}\right| dt
</math>
と定義できる。&gamma; が閉曲線（つまり、始点と終点が一致する）ならば、''f'' の &gamma; に沿った線積分を表すのに 
:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz</math>
という記号がよく用いられる。

複素函数の線積分を計算する方法はいろいろある。例えば、複素函数を実部と虚部に分けて考えれば、二つの実数値線積分を計算する問題に帰着できるし、[[コーシーの積分公式]]を用いて計算する方法もある。後者は複素線積分の被積分函数が、その積分路を含む領域内で[[解析函数|解析的]]かつ[[特異点 (複素解析)|特異点]]を含まないならば、その線積分の値は単に 0 になることを言うもので、これは[[コーシーの積分定理]]からの帰結である。[[留数定理]]により、実函数（実変数実数値函数）の積分を計算するために、しばしばガウス平面内の周回積分が用いられる。

=== 複素線積分の例 ===
複素函数 ''f''(''z'') = 1/''z'' と閉路 ''C'' として 0 を中心とする[[単位円]]を考える。''C'' 上で ''z'' は ''e''<sup>''it''</sup> (''t'' &isin; &#x5b;0,&thinsp;2π&#x5d;) と媒介変数表示できるから、代入して
:<math>\oint_C f(z)\,dz = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi}\,dt = 2\pi i</math>
を得る。ここで任意の複素数 ''z'' が（その[[絶対値]]を ''r'' として）''re''<sup>''it''</sup> と書けるという事実を用いた。単位円上では ''r'' = 1 は固定であるから、残る変数は ''t'' で表される偏角のみである。上記の積分は[[コーシーの積分公式]]を用いても同じ計算結果が得られる。

=== 複素線積分とベクトル場の積分との関係 ===
ガウス平面 '''C''' を実二次の空間 '''R'''<sup>2</sup> と見なせば、二次元ベクトル場の線積分は、対応する複素函数の共軛の線積分の実部に対応する。すなわち、'''r'''(''t'') = ''x''(''t'')'''i''' + ''y''(''t'')'''j''' および ''f''(''z'') = ''u''(''z'') + ''iv''(''z'') と置くと
:<math>\int_C \overline{f(z)}\,dz = \int_C (u-iv)\,dz = \int_C (u\mathbf{i}+v\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r} - i\int_C (v\mathbf{i}-u\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r},</math>
なる関係式が、右辺の二つの積分がともに存在することから言える。ただし ''C'' の媒介変数表示 ''z''(''t'') は '''r'''(''t'') と同じ向きを持つようにとる。同じことだが、微分形式として見れば ''f''(''z'')''dz'' は
: <math>f(z)dz = (u(x,y)dx - v(x,y)dy) + i(v(x,y)dx + u(x,y)dy)</math>
と書くことができて、これと共軛複素積分
: <math>f(z)d\bar{z} (=\overline{f(z)}dz)= (u(x,y)dx + v(x,y)dy) + i(v(x,y)dx - u(x,y)dy)</math>
をあわせて考えれば、ベクトル場としての線積分と面積分を考えることができる。

複素正則函数が[[コーシー＝リーマンの微分方程式]]を満たすことから、[[正則函数]]の共軛に対応するベクトル場の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]は 0 になる。これはどちらの種類の線積分でもそれが 0 になるときの[[ストークスの定理]]と関連がある。すなわち、[[ガウス＝グリーンの定理]]を適用すれば複素関数の面積分は、その領域の境界上の線積分に帰着されるため、複素関数の積分では線積分が本質的である。特に正則関数 ''f'' の単純閉曲線 &gamma; 上の閉路積分に関する[[コーシーの定理]]
: <math>\oint_\gamma f(z)dz = 0</math>
は、&gamma; を境界 &part;''D'' とする領域 ''D'' でのグリーンの定理にコーシー・リーマンの関係式を代入することに対応する。

== 関連項目 ==
* [[弧長]]
* [[グリーンの定理]]
* [[ストークスの定理]]
* [[周回積分法]]（留数と複素積分を用いて実積分等を計算する方法）
* [[面積分]]
* [[体積分]]
* [[発散定理]]
* [[ナッハビンの定理]]
* [[汎函数積分]]

== 外部リンク ==
* [[Khan Academy]] [http://www.khanacademy.org/video/introduction-to-the-line-integral?playlist=Calculus Lesson 1] [http://www.khanacademy.org/video/line-integral-example-1?playlist=Calculus Lesson 2]
* {{PlanetMath|urlname=LineIntegral|title=Path integral}}
* [http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/traveling/line-integrals/body.htm A pictoral explanation of the path integral]
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ContourIntegralMod.html Contour Integrals Module by John H. Mathews]
* [http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_introduction Line integral of a vector field - Interactive]

{{DEFAULTSORT:せんせきふん}}
[[Category:複素解析]]
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:数学に関する記事]]