線分のソースを表示

[[file:Segment definition.svg|thumb|250px|right|線分の幾何学的な定義]]
[[幾何学]]における'''線分'''（せんぶん、{{lang-en-short|''Line segment''}}）とは2つの点に挟まれた[[直線]]の部分であり、それら端点の間にあるどの点も含む。

通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を[[閉集合|閉]]線分、含まないものを[[開集合|開]]線分とすることもある。

線分の例として、[[三角形]]や[[四角形]]の[[辺]]が挙げられる。もっと一般に、端点がある1つの[[多角形]]の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには[[対角線]]である。端点が[[円 (数学)|円周]]のような1つの[[曲線]]上に載っているとき、その線分はその曲線の[[弦 (数学)|弦]]と呼ばれる。

== 定義 ==
''V'' を '''R''' または '''C''' 上の[[ベクトル空間]]とし、''L'' を ''V'' の[[部分集合]]とする。''L'' がある適当な[[ベクトル]] '''u''', '''v''' &isin; ''V'' を選べば

:<math> L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}</math>

とパラメータ付けできるとき、''L'' は線分（閉線分）であるという。あるいは[[同値|同じこと]]だが「線分は2点の[[凸包]]である」と定義してもよい。

この時、ベクトル '''u''', '''u''' + '''v''' は ''L'' の'''端点''' {{lang|en|(end point)}} と呼ばれる。

線分が「開」か「閉」かの区別を要することもある。このとき、'''閉線分'''の定義は上述のもの、'''開線分'''は ''V'' の部分集合 ''L'' は '''u''', '''v''' &isin; ''V'' を選んで

:<math> L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in(0,1)\}</math>

とパラメータ付けできる。片方の端点のみ開いた半開線分は、閉じた方の端点を '''u''' &isin; ''V'' 、開いた方を '''v''' &isin; ''V'' として

:<math> L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1)\}</math>

となる。

== 性質 ==
* 線分は[[連結空間|連結]]で[[空集合|空]]ではない[[集合]]である。
* ''V'' が[[位相線型空間]]の時、閉線分は ''V'' の[[閉集合]]である。しかし、開線分が ''V'' の[[開集合]]となるのは、''V'' が一次元[[同値|であるときであり、かつそのときに限る]]。
* もっと一般に、線分の概念は {{仮リンク|順序幾何学|en|Ordered geometry}} の枠組みで定義することができる。

== 関連項目 ==
*[[区間 (数学)]]
*[[直線]]

== 参考文献 ==
*David Hilbert: ''The Foundations of Geometry''. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4（邦訳{{cite book|和書|title=幾何学基礎論|year=1969|publisher=清水弘文堂書房}}）

== 外部リンク ==
{{commons|Line segment|Line segment}}
<!--{{Wiktionarypar|line segment}}-->
*[http://planetmath.org/encyclopedia/LineSegment.html Line Segment at [[PlanetMath]]]
*[http://www.mathopenref.com/linesegment.html Definition of line segment] With interactive animation
*[http://www.mathopenref.com/constcopysegment.html Copying a line segment with compass and straightedge] 
*[http://www.mathopenref.com/constdividesegment.html Dividing a line segment into N equal parts with compass and straightedge] Animated demonstration
----
{{planetmath|id=5783|title=Line segment}}
{{DEFAULTSORT:せんふん}}
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