範疇 (数学)のソースを表示

[[数学]]において、'''範疇'''（はんちゅう）とは[[位相空間]]の[[部分集合]]を 2 通りに分類する方法のことである。'''カテゴリー'''と呼ぶことも多いが、同様にカテゴリーと呼ばれる[[圏 (数学)|圏]]とは全く異なるものである。

== 定義 ==
''X'' を位相空間とし、''A'' をその部分集合とする。

''A'' の[[閉包]]の[[内部]]が空であるとき、''A'' は'''疎'''であるという。''A'' が可算個の疎な集合の和集合で表せるとき ''A'' は'''第 1 類'''であるといい、そうでないとき ''A'' は'''第 2 類'''であるという。第 1 類の集合を'''やせた'''集合ともいう。

第 1 類の集合の部分集合は第 1 類であり、可算個の第 1 類の集合の和集合は第 1 類である。

== ベールの範疇定理 ==
完備距離空間の空でない開部分集合は第 2 類である。これを'''ベールの範疇定理'''と呼ぶ。この定理は特に[[関数解析]]などで有用である。

この定理は、次のように言い換えることもできる：
* 完備距離空間において、内点をもたない閉集合の可算個の和集合は内点をもたない。
* 完備距離空間において、[[稠密集合|稠密]]な開集合の可算個の共通部分は稠密である。

== ベール空間 ==
'''ベール空間'''とは、空でない任意の開部分集合が第 2 類であるような位相空間のことである。

ベールの範疇定理は、完備距離空間がベール空間であることを意味している。[[局所コンパクト]]な[[ハウスドルフ空間]]もベール空間である。

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