立方数のソースを表示

'''立方数'''（りっぽうすう、cubic number）とは、ある[[自然数]]の三乗（立方）にあたる自然数である。例えば125は5<sup>3</sup>であるので立方数である。最小の立方数は1であり、小さい順に列記すると
:[[1]], [[8]], [[27]], [[64]], [[125]], [[216]], [[343]], [[512]], [[729]], [[1000]], [[1331]], [[1728]], [[2197]], [[2744]], [[3375]], [[4096]], [[4913]], [[5832]], [[6859]], [[8000]],[[9261]],[[10648]],[[12167]],[[13824]],[[15625]] …（{{OEIS|A578}}）

個数が立方数である点を縦、横、高さの三方向に等間隔に並べることで[[正六面体]]（立方体）の形を作れることから、「六面数」と呼ばれることもある。例えば216個の点は縦、横、高さの一辺にそれぞれ6個ずつ並べることで正六面体の形を作ることができる。

== 立方数の性質 ==
1から''n'' 番目の立方数 ''N''=''n''<sup>3</sup> までの[[和]]は、
:<math>\sum_{k=1}^n k^3=1+8+27+...+N={n^2 (n+1)^2 \over 4}=\left\{ {n (n+1) \over 2} \right\}^2</math>
となる。
つまり''n''番目の[[三角数]]の二乗に等しい。したがって、次の等式が成り立つ。
:<math>\sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + ... + n )^2</math>
これは、1から''n''番目までの立方数の和が、1から''n''までの自然数の和の二乗に等しいことを意味している。

1を除く全ての立方数は、2つの[[平方数]]の差として表される。
:<math>n^3={\sum_{k=1}^n k^3} - \sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left\{ {n(n+1) \over 2} \right\}^2 - \left\{ {n(n-1) \over 2} \right\}^2 \quad n \geqq 2</math>

立方数の[[逆数]]和は[[収束]]し、次のように表される。
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \frac{2\pi^2}{7} \log 2 + \frac{16}{7} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \log (\sin x) dx</math>
この値は 1.202056903159594… であり、[[アペリーの定数]]とよばれる。

すべての自然数は、9個以下の立方数の和として表される（[[ウェアリングの問題]]）。このうち丁度9個使用するものは、[[23]]と[[239]]だけである。

2通りの方法で、2つの立方数の和として表される最小の自然数は、1729= 12<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> = 10<sup>3</sup> + 9<sup>3</sup> である。（参考:[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]）

立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。（→[[フェルマーの最終定理]]）

<!--連続する立方数の和が立方数になるのは、3<sup>3</sup>+4<sup>3</sup>+5<sup>3</sup>=6<sup>3</sup> の時だけである。-->
<!--10^3+11^3+12^3+13^3=20^3などの例もある。３，４，５，６と連続しているという特質はあるが-->
[[フィボナッチ数列]]に現れる立方数は、1と8のみといわれている。

[[SI接頭辞]]の[[キロ|k]]、[[メガ|M]]、[[ギガ|G]]などはそれぞれ 10<sup>3</sup>, 10<sup>6</sup>, 10<sup>9</sup> であり、立方数である。

== 関連項目 ==
* [[立方根]]
* [[図形数]]
* [[平方数]]
* [[三角数]]
* [[累乗]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=CubicNumber|title=CubicNumber}}

{{デフォルトソート:りつほうすう}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:図形数]]
[[Category:数学に関する記事]]