空集合のソースを表示

'''空集合'''（くうしゅうごう、{{lang-en-short|empty set}}）は、元を一切持たない集合の事である。通常は記号 &empty; または <math>\emptyset</math> で表す。記号 &empty; は、[[ブルバキ]]創立メンバーのひとりである[[アンドレ・ヴェイユ]]が[[1939年]]の著作<ref>日本語訳は[[#ブルバキ1984|ブルバキ(1984)]]。</ref>で[[ノルウェー語]]のアルファベット [[&Oslash;]] を空集合の記号として用いたのが起源という<ref>[http://jeff560.tripod.com/set.html Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic] の2010-09-01版（2010-10-29閲覧）に、彼の自伝にそう記してある旨の記述が見られる。[[#ヴェイユ2004b|ヴェイユ(2004b)]]、36頁によると以下の通りである。
{{Quotation|我々が提案した記号はかなり一般的に受け入れられた．ずっと後になって，その当時の討論で発案したおかげで，娘のニコレットから尊敬の眼差しを受けることになった．ニコレットが学校で空集合の記号&oslash;を教わってきたとき，その記号を決めたのは私だと教えてやったのである．&oslash;はノルウェー語のアルファベットの一文字だが，ブルバキでノルウェー語を知っていたのは私だけだった．|アンドレ・ヴェイユ|[[#ヴェイユ2004b|ヴェイユ(2004b)]]、36頁}}</ref>。表記に[[ギリシャ文字]]の [[Φ]] で代用することも多く「ファイ」と読まれることもあるが本来はΦとは無関係である。{{要出典範囲|date=2010年10月|タイプライターにおいて0（ゼロ）の上から/（スラッシュ）を重ね打ちしたものが起源との説もある。}}

== 概要 ==
[[集合]]とは、[[素朴集合論|素朴]]には一定の決まりに従って[[数学]]的対象を集めた集まりのことであるが、[[集合論]]の議論をする上で「何も含まない集まり」「何も集めていない集まり」を集合の一種と考えた方が自然である。この何も含まない集合 {} が空集合である。例えば「4で割り切れる[[奇数]]の集合」、「[[身長]]が10[[メートル]]以上ある[[ヒト]]の集合」、「[[日本]]が統治する[[アメリカ合衆国の州]]の集合」は全て同じ空集合である。集合を袋にたとえる場合に、空集合は空の袋に相当する。

== 性質 ==
* 全ての集合は空集合を[[部分集合]]として含む。つまり、任意の集合を ''A'' とすると、&empty; ⊆ ''A''
* どんなものであれ、空集合に元として含まれることはない。 
* 空集合の部分集合は空集合自身のみである。
* 空集合の元の数は0である。つまり、|&empty;| = 0
* どんな集合 ''A'' についても、''A'' と空集合 &empty; の[[和集合]]は ''A'' に等しく、''A'' と &empty; の[[積集合]]は &empty; に等しい。すなわち、
: A ∪ &empty; = A, A ∩ &empty; = &empty;
これらは[[実数]] ''a'' と 0 の[[加法|和]]と[[乗法|積]]についての
: ''a'' + 0 = ''a'', ''a'' × 0 = 0
に対応している。

== 空集合の文字コード ==
記号 ∅ は、[[Unicode]]ではU+2205、[[JIS X 0213]]では1-2-39のコードが定められていて、[[ラテン文字]]の [[Ø]] や[[直径]]を表す記号 ⌀ とは区別されている。[[HyperText Markup Language|HTML]]における[[実体参照]]では &amp;empty; と記述する。[[ASCII]] や [[ISO/IEC 8859|ISO 8859]] ではこの記号は定義されていない。<math>\emptyset</math> という文字の[[活字]]が無い場合もあるので、組版の都合上、見た目が似ている[[ギリシャ文字]]の[[Φ]]で代用する習慣もある。

{| class="wikitable" style="text-align: center"
!記号!![[Unicode]]!![[JIS X 0213]]!![[文字参照]]!!名称
{{CharCode|8709|2205|1-2-39|空集合|empty}}
|}

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
*{{Citebook|和書|author=アンドレ・ヴェイユ|others=[[稲葉延子]]訳|year=1994|month=5|title=アンドレ・ヴェイユ自伝　ある数学者の修業時代|publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]]|isbn=4-431-70659-3|ref=ヴェイユ1994}}
**{{Citebook|和書|author=アンドレ・ヴェイユ|others=[[稲葉延子]]訳|year=2004|month=5|title=アンドレ・ヴェイユ自伝　ある数学者の修業時代|volume=上|edition=増補新版|sereis=シュプリンガー数学クラブ 第12巻 |publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|isbn=4-431-7|ref=ヴェイユ2004a}}
**{{Citebook|和書|author=アンドレ・ヴェイユ|others=[[稲葉延子]]訳|year=2004|month=5|title=アンドレ・ヴェイユ自伝　ある数学者の修業時代|volume=下|edition=増補新版|sereis=シュプリンガー数学クラブ 第13巻 |publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|isbn=4-431-71110-4|ref=ヴェイユ2004b}}
**{{Cite book|和書|author=アンドレ・ヴェイユ|others=[[稲葉延子]]訳|year=2004|month=5|title=アンドレ・ヴェイユ自伝　ある数学者の修業時代|series=シュプリンガー数学クラブ12|volume=上|edition=増補新版|publisher=[[丸善出版]]|isbn=978-4-621-06390-3|url=http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621063903.html|ref=ヴェイユ2004c}}
**{{Cite book|和書|author=アンドレ・ヴェイユ|others=[[稲葉延子]]訳|year=2004|month=5|title=アンドレ・ヴェイユ自伝　ある数学者の修業時代|series=シュプリンガー数学クラブ13|volume=下|edition=増補新版|publisher=[[丸善出版]]|isbn=978-4-621-06393-4|url=http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621063934.html|ref=ヴェイユ2004d}}
*{{Cite book|和書|author=ブルバキ|others=[[前原昭二]] 訳|origyear=1968|year=1984|month=10|title=集合論　要約|series=ブルバキ数学原論 第4巻|publisher=東京図書|isbn=4-489-00101-0|ref=ブルバキ1984}} - 原タイトル：''Fascicules de Résultats.''

== 関連項目 ==
* [[空関数]]
* [[形而上学的ニヒリズム]]
* [[単集合]]

{{集合論}}
{{DEFAULTSORT:くうしゆうこう}}
[[Category:集合論]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:無]]
[[Category:数学に関する記事]]