直線のソースを表示

[[File:1D line.svg|300px|thumb|right|直線（無限の長さは物理的に表示不能の為、上記では一部分を表示している）]]
[[画像:Empty.png|300px|thumb|right|直線の正確な表示（直線は太さを持たない[[図形]]である為、厳密に正しく表示した場合、視覚では確認不能となる）]]
[[画像:ABC Line 1.svg|300px|thumb|right|線分]] 
'''直線'''（ちょくせん、line）とは、太さを持たない[[幾何学]]的な対象である[[曲線]]の一種で、どこまでもまっすぐ無限に伸びて端点を持たない。まっすぐな線には直線の他に、有限の長さと両端を持つ'''[[線分]]'''（せんぶん、line segment、segment）と、一つの端点を始点として無限にまっすぐ伸びた'''半直線'''（はんちょくせん、ray、half-line）がある。

== 概要 ==
[[エウクレイデス|ユークリッド]]の[[ユークリッド幾何学|幾何学]]では、直線は本質的に[[無定義述語]]である。つまり、「直線とは何か」を直接定義せずに、ただある関係（[[公理]]・公準）を満たすものであるとして理論を展開していくのである。ユークリッド幾何学においては以下のようなことである：
#  二つの異なる点を与えれば、それを通る直線は一つに決まる。
#  一つの直線とその上にない一つの点が与えられたとき、与えられた点を通り与えられた直線に平行な直線を、ただ一つ引くことができる。
また、このような公理から例えば以下のようなことが導かれる：二つの異なる直線は高々一つの点を共有する。二つの異なる[[平面]]は、高々一つの直線を共有する。

通常は、直線や線分は向きを持たず、半直線は向きを持つものとして扱われる。たとえば、2 点 ''A'' と ''B'' を結ぶ線分を ''AB'' と書くと、''AB'' = ''BA'' である。一方で、向き付けられた直線、線分や向きを持たない半直線というものも考えることがある。たとえば線分の始点と終点を区別し、線分に向きを考えたものを'''有向線分'''と呼んで、有向線分としては ''AB'' &ne; ''BA'' と考える。

[[ユークリッド空間]]内の有向線分を、その位置のみの違いを除くことにより類別して、幾何学的[[ベクトル]]（いわゆる矢印ベクトル）の概念を考えることができる。逆にベクトルを用いてユークリッド空間やその中の線分・直線を定式化することもできるが、これについては後述する。

ユークリッド幾何学のように、無定義述語と公理によって構築される幾何学では、直線が「まっすぐ」であるなどのイメージは本質を持たない。曲がった空間の幾何学である[[非ユークリッド幾何学]]での直線（[[測地線]]）はユークリッド幾何学の中で見ると曲がって見えるのである。

== 1 次元アフィン空間 ==
[[アフィン空間]]（ベクトル）の理論を持ち出すと、次のようにして直線を定義することが出来る： [[ユークリッド空間]] ''E''<sup>''n''</sup> に対して、任意の一点 ''P'' と 0 でない一つの[[ベクトル]] '''a''' が与えられたとき、
:<math>L = \{P + \lambda \mathbf{a} \mid \lambda \in \mathbb{R}\}</math>
で表されるような[[集合]] ''L'' を直線という（これは一般のベクトル空間にも拡張できる）。この定義においては直線は向きを持つものとみなされる。'''a''' は直線の方向を決めるベクトルであり、''P'' は直線上の点になる。同じ直線を与える点とベクトルの組 ''P'', '''a''' は一通りではない。また、この定義で &lambda; の動く範囲を限定すると半直線
:<math>L_+=\{ P + \lambda \mathbf{a} \mid \lambda \in \mathbb{R} \ge 0 \}</math>
や線分を記述することができる。また同じことだが、原点を固定して点とその位置ベクトルとを同一視すると、ユークリッド空間の異なる 2 点 ''A''('''a'''), ''B''('''b''') &isin; ''E''<sup>''n''</sup> が与えられた時に、
:<math>L = \{(1 - \lambda)\mathbf{a} + \lambda \mathbf{b} \mid \lambda\in\mathbb{R}\}</math>
なる集合 ''L'' は、''A'', ''B'' を含む直線となる（向きを考慮するなら、方向ベクトルは '''b''' - '''a''' で、これは ''A'' から ''B'' へ向かって引かれる）。この定義で、&lambda; を 0 と 1 の間に限定すると ''A'' から ''B'' までを結ぶ（有向）線分
:<math>\overrightarrow{AB} = 
  \{(1 - \lambda)\mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} \mid 0 \le \lambda \le 1\}
</math>
が得られる。

== 座標 ==
直線上の点に[[実数]]を対応させることで[[数直線]]を考えることができる。具体的には、直線上に原点 ''O'' と単位点 ''E'' を指定し、任意の実数 ''x'' に対し、直線上にあり、一方の端点を原点とし、原点から単位点までを結ぶ有向線分との（向きまで込めた）線分[[比]]が ''x'' となるような線分の、原点ではない側の端点と ''x'' とを対応付けたもののことをいう。

しばしば、原点と単位点の距離の整数倍で数を目盛ったものを指す。数直線は向きを持った直線であり、原点から単位点の向きに矢印を記すことがある。また、数直線は、1 次元[[ユークリッド空間]] '''R''' に対する[[座標系]]と捉えることも出来る。

[[画像:Numberline.png|center|原点を 0、単位点を 1 として目盛りをつけた数直線]]

また、数直線を用いることで[[数]]の和や差が図として視覚的に与えることができるため、しばしば[[教育]]に用いられる。例えば、上の数直線では足し算（和）は右に進む、引き算（差）は左に進むことであり、
* 2 + 1 は目盛りの 2 から 1 目盛り右に進むから 3 である。
* 2 - 1 は目盛りの 2 から 1 目盛り左に進むから 1 である。

互いに直交する向き付けられた数直線によって[[ルネ・デカルト]]は絶対的な静止座標系を定義した。これは[[直交座標系]]と呼ばれる。

原点を固定し、原点を始点とする半直線を用いて[[極座標]]系が定義できる。このときの半直線は'''始線'''と呼ばれる。

== グラフとしての直線 ==
直交座標系を入れた 2 次元ユークリッド空間 ''E''<sup>2</sup> を考えている時には、直線は[[1次方程式]]の形で与えられる；
:<math>L=\{(x,y)\mid ax+by=c\}</math>
一般次元においても、[[線型方程式系]]のグラフとして直線を記述することができる。これは本質的にはベクトルによる記述と同等である。

== 線分の形式的取り扱い ==
幾何学的な線分は、ある 2 点の間を結んだ最短経路である。

形式的には、点[[集合]] ''V'' が与えられたとき、[[直積]]集合 ''V'' &times; ''V'' の元を'''有向線分''' とし、さらに[[同値関係]] ~ を 任意の ''a'', ''b'' &isin; ''V'' に対し (''a'', ''b'') ~ (''b'', ''a'') と定めたときの集合 ''E'' = ''V'' &times; ''V'' / ~ の元（同値類） [(''a'', ''b'')] (''a'', ''b'' &isin; ''V'', ''a'' &ne; ''b'') のこと（これをしばしば {''a'', ''b''} と記す）を ''a'' と ''b'' を結んだ線分と呼ぶ。

このように形式的に線分を定義すれば、[[グラフ理論]]などにおける[[辺]]も線分として考えられる。

== 関連項目 ==
{{wiktionary}}
* [[曲線]]
**[[放物線]]
* [[平面]]
* [[線型方程式#超平面|超平面]] - —直線や平面は超平面に含まれる
* [[一次関数]]
* [[極座標]]

{{DEFAULTSORT:ちよくせん}}
[[Category:幾何学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]

{{Link FA|pl}}