水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解のソースを表示

'''水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解'''（すいそげんしにおけるシュレーディンガーほうていしきのかい）は、[[陽子]]1個と[[電子]]1個が[[クーロン力]]により結合している状態に対して、[[シュレーディンガー方程式]]を解くことによって求めた[[電子]]の[[波動関数]]である。陽子の代わりに、一般的な価数の[[原子核]]に置き換えた1電子系[[多価イオン]]は'''水素様原子'''と呼ばれており、本項の手法がそのまま適用できる。

水素原子は最も単純な原子モデルであるため、水素原子を用いると[[波動関数]]や[[固有エネルギー]]、[[電子殻]]や[[化学結合]]など[[化学]]の基礎となる重要な要素の理論的背景の説明が比較的容易になる。このため、水素原子におけるシュレディンガー方程式は様々な教科書で取り上げられている<ref name=harashima>原島鮮「初等量子力学」裳華房</ref><ref name=shimizu>清水清孝「シュレーディンガー方程式の解き方教えます」共立出版</ref><ref name=kondoh>近藤保、真船文隆「量子化学」裳華房</ref>。

なお、[[微細構造 (原子物理学)|微細構造]]、[[超微細構造]]、[[ラムシフト]]などの効果は、電子-陽子間のクーロン相互作用に比べると極めて小さく、本項では取り扱わない。

== 極座標表示における水素原子に対するシュレーディンガー方程式 ==
時間に依存しない[[シュレーディンガー方程式]]は以下の式で与えられる。
{{Indent|<math>\widehat{\mathcal H}\psi=E\psi</math>　　(1.1)}}

[[水素]][[原子]]の[[ハミルトニアン]]は、&nabla;<sup>2</sup>を[[極座標]]における[[ラプラシアン]]

{{Indent|<math>\nabla^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}</math>　　(1.2)}}

とすると、次のようになる。

{{Indent|<math>\widehat{\mathcal H}=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+V(r)</math>　　(1.3)}}

ここで、[[ポテンシャル]]V(r)は点電荷のつくるスカラーポテンシャルを用いることにより以下の式となる。

{{Indent|<math>V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}</math>　　(1.4)}}

また、&mu;は[[換算質量]]であり、水素[[原子核]]の[[質量]]をM、[[電子]]の質量をm<sub>e</sub>とすると、

{{Indent|<math>\mu=\frac{Mm_e}{M+m_e}</math>　　(1.5)}}

であるが、M>>m<sub>e</sub>であるから&mu;=m<sub>e</sub>と近似でき、結局(1.3)式は

{{Indent|<math>\widehat{\mathcal H}=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\left\{
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}
\right\}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}</math>　　(1.6)}}

となる。よって、水素原子における[[シュレーディンガー方程式]]は、(1.1)式および及び(1.6)式より、

{{Indent|<math>\left[-\frac{\hbar^2}{2m_e}\left\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\right]\psi(r,\theta,\phi)=E\psi(r,\theta,\phi)</math>　　(1.7)}}

すなわち

{{Indent|<math>-\frac{\hbar^2}{2m_er^2}\left\{
\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\psi}{\partial\phi^2}
\right\}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\psi(r,\theta,\phi)=E\psi(r,\theta,\phi)</math>　　(1.8)}}

となる。

== 波動関数の導出 ==

=== 変数分離 ===

(1.8)式を解くために、&psi;(r,&theta;,&phi;)=R(r)Y(&theta;,&phi;)と書けると仮定して(1.8)式に代入すると次式を得る。Y(&theta;,&phi;)は[[球面調和関数]]という。

{{Indent|<math>-\frac{\hbar^2}{2m_er^2}\left\{
Y(\theta,\phi)\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{R(r)}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{R(r)}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\phi^2}
\right\}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}R(r)Y(\theta,\phi)=ER(r)Y(\theta,\phi)</math>　　(2.1)}}

両辺をR(r)Y(&theta;,&phi;)で割ると、

{{Indent|<math>-\frac{\hbar^2}{2m_er^2}\left\{
\frac{1}{R(r)}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{1}{Y(\theta,\phi)\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{Y(\theta,\phi)\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\phi^2}
\right\}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}=E</math>　　(2.2)}}

となり、さらに両辺に<math>-\frac{2m_er^2}{\hbar^2}</math>を掛けて整理すると、

{{Indent|<math>\frac{1}{R(r)}\left\{
\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{2m_er^2}{\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}+E\right)R(r)
\right\}=-\frac{1}{Y(\theta,\phi)}\left\{
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\phi^2}
\right\}</math>　　(2.3)}}

となる。左辺はrのみの関数、右辺は&theta;、&phi;のみの関数であるので、両辺が恒等的に等しくなるためには両辺が定数である必要がある。よって、
{{Indent|
<math>\frac{1}{R(r)}\left\{
\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{2m_er^2}{\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}+E\right)R(r)
\right\}=\beta</math>　　(2.4)

<math>-\frac{1}{Y(\theta,\phi)}\left\{
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\phi^2}
\right\}=\beta</math>　　(2.5)
}}
とおける。(2.4)式は動径方程式、(2.5)式は角度方程式と呼ばれる。また、(2.5)式の両辺に-Y(&theta;,&phi;)sin<sup>2</sup>&theta;を掛けて整理すると、

{{Indent|<math>\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{\partial^2 Y}{\partial\phi^2}+\left(\beta\sin^2\theta\right)Y(\theta,\phi)=0</math>　　(2.6)}}

となり、さらにY(&theta;,&phi;)=&Theta;(&theta;)&Phi;(&phi;)と書けると仮定して(2.6)式に代入し、

{{Indent|<math>\Phi(\phi)\sin\theta\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\Theta(\theta)\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}+\left(\beta\sin^2\theta\right)\Theta(\theta)\Phi(\phi)=0</math>　　(2.7)}}

両辺を&Theta;(&theta;)&Phi;(&phi;)で割って整理すると、

{{Indent|<math>\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\beta\sin^2\theta=-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}</math>　　(2.8)}}

となる。左辺は&theta;のみの関数、右辺は&phi;のみの関数であるので、
{{Indent|
<math>\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta}\right)+\beta\sin^2\theta=m^2</math>　　(2.9)

<math>-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}=m^2</math>　　(2.10)
}}
とおける。整理すると、水素原子のシュレディンガー方程式は変数分離の結果、下記3つの微分方程式(2.4, 2.9, 2.10)に帰着された。ただし、&psi;(r,&theta;,&phi;)=R(r)&Theta;(&theta;)&Phi;(&phi;)である。
{{Indent|
<math>\frac{1}{R(r)}\left\{
\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{2m_er^2}{\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}+E\right)R(r)
\right\}=\beta</math>　　(2.4)

<math>\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\beta\sin^2\theta=m^2</math>　　(2.9)

<math>-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}=m^2</math>　　(2.10)
}}

=== &Phi;(&phi;)を解く ===

(2.10)式を変形すると、

{{Indent|<math>\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}=-m^2\Phi(\phi)</math>　　(3.1)}}

であるので、その解はすぐに求まり、

{{Indent|<math>\Phi(\phi)=A\exp(\pm im\phi)</math>　　(3.2)}}

である（Aは定数）。また、波動関数はいたるところで連続であるので、&Phi;(&phi;+2&pi;)=&Phi;(&phi;)が境界条件となり、

{{Indent|<math>A\exp(\pm im\phi\pm 2im\pi)=A\exp(\pm im\phi)</math>　　(3.3)}}

すなわち

{{Indent|<math>\exp(\pm 2im\pi)=1</math>　　(3.4)}}

が必要である。(3.4)式は、[[オイラーの公式]]より、

{{Indent|<math>\cos(2m\pi)\pm i\sin(2m\pi)=1</math>　　(3.5)}}

と書けるので、m=0,&plusmn;1,&plusmn;2,… を得る。したがって、&Phi;(&phi;)は、

{{Indent|<math>\Phi(\phi)=A\exp(im\phi), m=0,\pm 1,\pm 2,\cdots</math>　　(3.6)}}

となる。このmを[[磁気量子数]]（軌道磁気量子数）といい、量子化軸方向の軌道の角運動量の成分を指定する。

==== 規格化 ====

{{Indent|<math>\int_{0}^{2\pi}|\Phi(\phi)|^2d\phi=1</math>}}

より、

{{Indent|<math>\int_{0}^{2\pi}|\Phi(\phi)|^2d\phi = |A|^2 \int_{0}^{2\pi} \exp(im\phi)\exp(-im\phi)d\phi = 1</math>}}

であるから、規格化因子Aは

{{Indent|<math>
\begin{array}{lcl}
A & = & \displaystyle (\int_{0}^{2\pi} \exp(im\phi)\exp(-im\phi)d\phi )^{-\frac{1}{2}}\\
  & = & \displaystyle (\int_{0}^{2\pi} d\phi )^{-\frac{1}{2}}\\
  & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\end{array}
</math>}}
となる。ただし、ここで A は正の実数にとった。

==== &Phi;(&phi;)の解 ====

{{Indent|<math>\Phi(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(im\phi), m=0,\pm 1,\pm 2,\cdots</math>　　(3.7)}}

=== &Theta;(&theta;)を解く ===

==== 変数変換 ====

まずは下記の(2.9)を変形するところから始める。

{{Indent|<math>\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta}\right)+\beta\sin^2\theta=m^2</math>　　(2.9)}}

両辺に<math>\frac{\Theta(\theta)}{\sin^2\theta}</math>を掛けてこれを変形すると、

{{Indent|<math>\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta}\right)+\left(\beta-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)\Theta(\theta)=0</math>　　(4.1)}}

と書ける。次に(4.1)をz=cos&theta;、&Theta;(&theta;)=P(z)として変数変換する。
{{Indent|<math>\begin{array}{lcl}
       \displaystyle \frac{d\Theta(\theta)}{d\theta} & = & \displaystyle \frac{dP(z)}{d\theta}\\
                                       & = & \displaystyle \frac{dz}{d\theta}\frac{dP(z)}{dz}\\
                                       & = & \displaystyle -\sin\theta\frac{dP(z)}{dz}\\
        \end{array}
</math>}}
であるから、式変形すると
{{Indent|
<math>\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(-\sin^2\theta\frac{dP(z)}{dz}\right)+\left(\beta-\frac{m^2}{1-\cos^2\theta}\right)P(z)=0</math>　　

<math>-\frac{1}{\sin\theta}\frac{dz}{d\theta}\frac{d}{dz}\left\{(1-z^2)\frac{dP(z)}{dz}\right\}+\left(\beta-\frac{m^2}{1-z^2}\right)P(z)=0</math>

<math>\frac{d}{dz}\left\{(1-z^2)\frac{dP(z)}{dz}\right\}+\left(\beta-\frac{m^2}{1-z^2}\right)P(z)=0</math>　　(4.2)
}}
を得る。

==== ルジャンドルの陪関数をあてはめる ====

(4.2)式において &beta;=l(l+1) とおく。

{{Indent|<math>\frac{d}{dz}\left\{(1-z^2)\frac{dP(z)}{dz}\right\}+\left\{l(l+1)-\frac{m^2}{1-z^2}\right\}P(z)=0</math>　　(4.3)}}

lを[[方位量子数|軌道角運動量量子数]]（方位量子数）と呼び、全軌道角運動量を指定する。この(4.3)式の解P(z)は[[ルジャンドル陪関数]]と呼ばれ、極座標で微分方程式を解く際によく現れる形の関数である。次に、磁気量子数 m=0 とおく。<!--天下り式でない書き方に改訂したい-->

{{Indent|<math>\frac{d}{dz}\left\{(1-z^2)\frac{dP(z)}{dz}\right\}+l(l+1)P(z)=0</math>　　(4.4)}}

この(4.4)式の形は[[ルジャンドルの微分方程式]]として知られており、l=0,1,2...のときその解は[[ルジャンドルの多項式]](下記の式4.5)となる。

{{Indent|<math>P_{l}(z) = \frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^{l}}{dz^{l}}(z^2-1)^l</math>　　(4.5)}}

また、[[ルジャンドル陪関数]]は

{{Indent|<math>P_{l}^{m}(z) = (1-z^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{m}P_{l}(z)}{dz^{m}}</math>　　(4.6)}}

となることが知られている。よって、&Theta;(&theta;)=P(z)より、

{{Indent|<math>\Theta(\theta) = A P^{m}_{l}(z)</math>　　(4.7)}}

である（Aは規格化因子）。

==== 規格化 ====

[[ルジャンドル陪関数]]は下記の関係を満たすことが知られている。

{{Indent|<math>
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(z) P_{l}^{m}(z) dz & = & \displaystyle \int_{0}^{\pi} P_{l}^{m}(\cos\theta) P_{l}^{m}(\cos\theta) \sin\theta d\theta\\
   & = & \displaystyle \frac{2}{2l+1} \frac{(l+|m|)!}{(l-|m|)!}\\ 
\end{array}
</math>}}

よって、

{{Indent|<math>\int \Theta(\theta)\Theta(\theta)\sin(\theta)d\theta = 1</math>}}

とするためには、

{{Indent|<math>
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \Theta(\theta) & = & \displaystyle A P^{m}_{l}(z)\\
               & = & \displaystyle \sqrt{l+\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P^{m}_{l}(z)\\
\end{array}
</math>}}
となることが解の条件である。

==== 方位角部分の解 ====

規格化因子を求めると、解は下記のようになる。

{{Indent|<math>\Theta(\theta) = (-1)^{\frac{m+|m|}{2}}\sqrt{l+\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P^{m}_{l}(\cos\theta)
</math>　　(4.8)　}}

ただし、
{{Indent|
<math> P_n^m(x) = (1-x^2)^{\frac{|m|}{2}} \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}} P_n(x)</math>     ([[ルジャンドル陪関数]])

<math>P_{n}(x) = \frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^2-1)^n</math>([[ルジャンドル多項式]])
}}
である。

=== R(r)を解く ===
==== 変数変換と式変形 ====

最後に、動径方向の関数R(r)を解く。式(2.4)を下記のような流れで変形する。

{{Indent|<math>\frac{1}{R(r)}\left\{
\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{2m_er^2}{\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}+E\right)R(r)
\right\}=\beta</math>　　(2.4)}}

&beta;を&beta;=l(l+1)で置き換えて移項すると、

{{Indent|<math>\frac{1}{R(r)}\left\{
\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{2m_er^2}{\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}+E\right)R(r)
\right\}-l(l+1) = 0</math>　　(5.1)}}

両辺に<math>R(r)</math>を掛けて、

{{Indent|<math>\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\left\{\frac{2m_er^2}{\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}+E\right)-l(l+1)\right\}R(r) = 0</math>　　(5.2)}}

ここで、<math>r=\frac{4\pi\epsilon_0n\hbar^2\rho}{2m_ee^2}</math>（ここでnは[[主量子数]]と呼ばれる）として変数変換する。[[ボーア半径]]a<sub>0</sub>を用いれば、<math>r=\frac{n\rho}{2}a_0</math>と書ける。
式(5.2)の微分の項は

{{Indent|<math>\begin{array}{lcl}
       \displaystyle \frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR(r)}{dr}\right) & = & \displaystyle 2r \frac{dR(r)}{dr} + r^2 \frac{d^2R(r)}{dr^2}\\
             & = & \displaystyle 2r \frac{d\rho}{dr} \frac{dR}{d\rho} + r^2 \frac{d\rho}{dr}\frac{d}{d\rho}\frac{d\rho}{dr}\frac{dR}{d\rho}\\
\end{array}</math>}}

であるから、

{{Indent|<math>
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR(r)}{dr}\right) & = & \displaystyle 2r\frac{2m_ee^2}{4\pi\epsilon_0n\hbar^2}\frac{dR}{d\rho}+r^2\left(\frac{2m_ee^2}{4\pi\epsilon_0n\hbar^2}\right)\frac{d}{d\rho}\left(\frac{2m_ee^2}{4\pi\epsilon_0n\hbar^2}\right)\frac{dR}{d\rho}\\
 & = & \displaystyle 2 \frac{4\pi\epsilon_0n\hbar^2\rho}{2m_ee^2} \frac{2m_ee^2}{4\pi\epsilon_0n\hbar^2}\frac{dR}{d\rho}+ \left(\frac{4\pi\epsilon_0n\hbar^2\rho}{2m_ee^2}\right)^2\left(\frac{2m_ee^2}{4\pi\epsilon_0n\hbar^2}\right)^2\frac{d}{d\rho}\frac{dR}{d\rho}\\
 & = & \displaystyle 2 \rho \frac{dR}{d\rho}+ \rho^2\frac{d^2R}{d\rho^2}\\

\end{array}
</math>   (5.3)}}

式(5.3)を(5.2)に代入して

{{Indent|<math>2\rho\frac{dR}{d\rho}+ \rho^2\frac{d^2R}{d\rho^2}+ \left\{\frac{2m_er^2}{\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}+E\right)-l(l+1)\right\}R = 0</math>　　(5.4)}}

ここで、<math>E=-\frac{m_ee^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2n^2}</math>として変数変換する。[[ハートリー]]E<sub>h</sub>を用いれば、<math>E=-\frac{E_h}{2n^2}</math>と書ける。

{{Indent|<math>2\rho\frac{dR}{d\rho}+ \rho^2\frac{d^2R}{d\rho^2}+ \left\{\frac{2m_e}{\hbar^2}\left(\frac{4\pi\epsilon_0n\hbar^2\rho}{2m_ee^2}\right)\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}-\frac{2m_e}{\hbar^2}\left(\frac{4\pi\epsilon_0n\hbar^2\rho}{2m_ee^2}\right)^2\frac{m_ee^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2n^2}-l(l+1)\right\}R = 0</math>　　(5.5)}}

(5.5)を整理して、

{{Indent|<math>2\rho\frac{dR}{d\rho}+ \rho^2\frac{d^2R}{d\rho^2} + \left\{n\rho - \frac{\rho^2}{4}-l(l+1)\right\}R=0</math>　　(5.6)}}

式(5.6)の両辺を<math>\rho^2</math>で割って

{{Indent|<math>\frac{d^2R}{d\rho^2} + \frac{2}{\rho}\frac{dR}{d\rho} + \left\{\frac{n}{\rho} - \frac{1}{4}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0</math>　　(5.7)}}

==== ラゲールの陪多項式（ラゲール陪関数）をあてはめる ====

式(5.7)の解R(&rho;)がラゲールの陪多項式（ラゲール陪関数）を用いて書けることを示す。

{{Indent|<math>\frac{d^2R}{d\rho^2} + \frac{2}{\rho}\frac{dR}{d\rho} + \left\{\frac{n}{\rho} - \frac{1}{4}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0</math>　　(5.7)}}

両辺に<math>\rho^2</math>をかけて、

{{Indent|<math>\rho^2\frac{d^2R}{d\rho^2} + 2\rho\frac{dR}{d\rho} + \left\{n\rho - \frac{\rho^2}{4}-l(l+1)\right\}R=0</math>　　(6.1)}}

&rho;が十分小さいところでは

{{Indent|<math>\rho^2\frac{d^2R}{d\rho^2} + 2\rho\frac{dR}{d\rho} -l(l+1)R=0</math>　　(6.2)}}

この形の方程式は[[オイラーの微分方程式]]の解法に準ずる方法で解ける。その解は

{{Indent|<math>R(\rho)=\rho^l</math>　　(6.3)}}

の形で書ける。また、&rho;が十分大きいところにおいて(5.7)は

{{Indent|<math>\frac{d^2R}{d\rho^2} - \frac{1}{4}R=0</math>　　(6.4)}}

となるので、<math>R(\rho)=\exp(\alpha\rho)</math>とおいて(6.4)に代入すると
{{Indent|
<math>\alpha^2 \exp(\alpha \rho) - \frac{1}{4} \exp(\alpha \rho)=0</math>

<math>\exp(\alpha \rho) \left( \alpha^2 - \frac{1}{4} \right)=0</math>

<math>\alpha = \pm \frac{1}{2}</math>
}}
となる。<math>\alpha>0</math>では発散する不適切な解となるので、

{{Indent|<math>R(\rho)=\exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)</math>　　(6.5)}}

である。こうして、&rho;が小さいところでは<math>R(\rho)=\rho^l</math>、大きいところでは<math>R(\rho)=\exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)</math>となることがわかった。<math>\rho</math>が十分に小さい場合・大きい場合のどちらにもあてはまらない場合、

{{Indent|<math>R(\rho) = u(\rho)</math>　　(6.6)}}

と書き、解R(&rho;)をこれら3つの場合(式6.3, 6.5, 6.6)の積として下記のように表せると仮定する。

{{Indent|<math>R(\rho) = \rho^l u(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)</math>　　(6.7)}}

この(6.7)を(5.7)に代入すると、

{{Indent|<math>\frac{d^2}{d\rho^2}\left\{ \rho^l u(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)\right\}+ \frac{2}{\rho}\frac{d}{d\rho}\left\{ \rho^l u(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)\right\} + \left\{\frac{n}{\rho} - \frac{1}{4}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\} \rho^l u(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)=0</math>　　(6.8)}}

を得る。3つの関数の積の微分は

<math>\begin{array}{lcl}
\displaystyle (fgh)^{\prime} & = & \displaystyle f^{\prime}gh + fg^{\prime}h + fgh^{\prime}\\
\displaystyle (fgh)^{\prime\prime} & = & \displaystyle (f^{\prime\prime}gh + fg^{\prime\prime}h + fgh^{\prime\prime})\\
& + & \displaystyle 2(f^{\prime}g^{\prime}h + fg^{\prime}h^{\prime} + f^{\prime}gh^{\prime})\\
\end{array}
</math>

であるから、

<math>\begin{array}{lcl}
\displaystyle \frac{d}{d\rho}\left\{\rho^l u(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)\right\} & = & \displaystyle l\rho^{l-1}u(\rho)\exp\left(-\frac{\rho}{2}\right) + \rho^l\frac{du(\rho)}{d\rho} \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)  - \frac{1}{2}\rho^l u(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right) \\
\displaystyle \frac{d^2}{d\rho^2}\left\{\rho^l u(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)\right\} & = & \displaystyle l(l-1)\rho^{l-2} u(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right) + \rho^l\frac{d^2u(\rho)}{d\rho^2}\exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)+\frac{1}{4}\rho^lu(\rho)\exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)\\
         & + & \displaystyle 2 \left\{ l\rho^{l-1}\frac{du(\rho)}{d\rho}\exp\left(-\frac{\rho}{2}\right) - \frac{1}{2}\rho^{l}\frac{du(\rho)}{d\rho}\exp\left(-\frac{\rho}{2}\right) - \frac{1}{2}l\rho^{l-1}u(\rho)\exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)\right\}
\end{array}
</math>　　(6.9)

(6.9)を(6.8)に代入すると、すべての項に<math>\exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)</math>が掛かっていることがわかる。よって各項を<math>\exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)</math>で割ると

{{Indent|<math>
\begin{array}{lcl}
 & & \displaystyle l(l-1)\rho^{l-2} u(\rho) + \rho^l\frac{d^2u(\rho)}{d\rho^2} + \frac{1}{4}\rho^lu(\rho)\\
         & + & \displaystyle 2 \left\{ l\rho^{l-1}\frac{du(\rho)}{d\rho} - \frac{1}{2}\rho^{l}\frac{du(\rho)}{d\rho} - \frac{1}{2}l\rho^{l-1}u(\rho)\right\} \\
 & + & \displaystyle \frac{2}{\rho}\left\{ l\rho^{l-1}u(\rho) + \rho^l\frac{du(\rho)}{d\rho} - \frac{1}{2}\rho^l u(\rho) \right\}\\
 & + & \displaystyle \left\{\frac{n}{\rho} - \frac{1}{4}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\} \rho^l u(\rho)\\ 
 & = & \displaystyle 0\\
\end{array}
</math>　　(6.10)}}

これを整理して、

{{Indent|<math>
\rho^l\frac{d^2u(\rho)}{d\rho^2}+\left\{2\rho^{l-1}(l+1)-\rho^l\right\}\frac{du(\rho)}{d\rho}+(n-l-1)\rho^{l-1}u(\rho) = 0
</math>　　(6.11)}}

(6.11)の両辺を<math>\rho^{l-1}</math>で割ると、

{{Indent|<math>
\rho\frac{d^2u(\rho)}{d\rho^2}+(2l+2-\rho)\frac{du(\rho)}{d\rho}+(n-l-1)u(\rho) = 0
</math>　　(6.12)}}

こうして得た式(6.12)は下記の式(6.13)に示した[[ラゲールの陪方程式]]（ラゲール陪関数）の形になっている。

{{Indent|<math>
\rho\frac{d^2u(\rho)}{d\rho^2}+(m+1-\rho)\frac{du(\rho)}{d\rho}+(k-m)u(\rho) = 0
</math>　　(6.13)}}

ラゲールの陪方程式の解<math>u(\rho)</math>は[[ラゲールの陪多項式]]（ラゲール陪関数）と呼ばれる形の定数倍になることが知られている。ラゲールの陪多項式（ラゲール陪関数）<math>L^m_k(\rho)</math>は下記のように定義される。

{{Indent|<math>
\begin{array}{lcl}
\displaystyle L^m_k(\rho) & = & \displaystyle \frac{d^m}{d\rho^m}L_k(\rho)\\
\displaystyle L_k(\rho)   & = & \displaystyle \exp(\rho)\frac{d^k}{d\rho^k}\{\exp(-\rho)\rho^k\}
\end{array}
</math>}}

よって式(6.13)の解は

{{Indent|<math>u(\rho) = cL^{2l+1}_{n+l}(\rho)</math>　　(6.14)}}

となる。これを式(6.7)に代入して

{{Indent|<math>R(\rho) = c\rho^l L^{2l+1}_{n+l}(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)</math>　　(6.15)}}

を得る。

==== 規格化 ====

[[ラゲールの陪多項式]]（ラゲール陪関数）は下記の直交性を満たすことが知られている。
{{Indent|
<math>
\int_{0}^{\infty} z^m \exp(-z) L_{k}^{n}(z) L_{k}^{m}(z) dz = \frac{k!}{(k-m)!} \delta_{nm}
</math>　　(7.1)

<math>
\int_{0}^{\infty} z^{m+1} \exp(-z) \{ L_{k}^{m}(z) \}^2 dz = (2k+1-m) \frac{k!}{(k-m)!}
</math>　　(7.2)
}}
よって、

{{Indent|<math>R(\rho) = c\rho^l L^{2l+1}_{n+l}(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)</math>　　(6.15)}}

および

{{Indent|<math>\int_{0}^{\infty} |R(r)|^2 r^2 dr = 1</math>　　(7.3)}}

より

{{Indent|<math>
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \int_{0}^{\infty} |R(r)|^2 r^2 dr & = & \displaystyle \left(\frac{na_0}{2}\right)^3 \int_{0}^{\infty} R(\rho)^2 \rho^2 d\rho\\ 
& = & \displaystyle \left(\frac{na_0}{2}\right)^3 c^2 \int_{0}^{\infty} \rho^{2l+2} \{L^{2l+1}_{n+l}(\rho)\}^2 \exp\left(-\rho\right) d\rho\\
 & = & \displaystyle 1\\
\end{array}
</math>　　(7.4)}}

(7.2)および(7.4)より、

{{Indent|<math>
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \left(\frac{na_0}{2}\right)^3 c^2 \int_{0}^{\infty} \rho^{2l+2} \{L^{2l+1}_{n+l}(\rho)\}^2 \exp\left(-\rho\right) d\rho & = & \displaystyle \left(\frac{na_0}{2}\right)^3 c^2 (2n) \frac{(n+l)!}{(n-l-1)!}\\ 
& = & \displaystyle 1\\
\end{array}
</math>　　(7.5)}}

式(7.5)を規格化定数ｃについて解くと、

{{Indent|<math>c = \left(\frac{2}{na_0}\right)^{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}}</math>　　(7.6)}}

==== 動径部分の解 ====

解は下記のようになる。

{{Indent|<math>R(r) = -\left(\frac{2}{na_0}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}}\exp\left(-\frac{r}{na_0}\right) r^l L^{2l+1}_{n+l} \left(\frac{2r}{na_0}\right)</math>　　(7.7)}}

ただし、:<math>L^{s}_{t}(x)</math>は[[ラゲールの陪多項式]]

{{Indent|<math>L^{s}_{t}(x) = \frac{d^s}{dx^s}\left(\exp(x)\frac{d^t}{dx^t}x^t\exp(-x)\right)</math>}}

である。

=== 解 ===

&psi;(r,&theta;,&phi;)=R(r)&Theta;(&theta;)&Phi;(&phi;) として変数分離した関数のそれぞれの解は
{{Indent|<math>\Phi(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(im\phi)</math>　　(3.6)}}

{{Indent|<math>\Theta(\theta) = (-1)^{\frac{m+|m|}{2}}\sqrt{l+\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P^{m}_{l}(\cos\theta)</math>　　(4.8)}}

{{Indent|<math>R(r) = -\left(\frac{2}{na_0}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}}\exp\left(-\frac{r}{na_0}\right) r^l L^{2l+1}_{n+l} \left(\frac{2r}{na_0}\right)</math>　　(7.7)}}

であるから、水素原子の波動関数&psi;(r,&theta;,&phi;)は下記のようになる。

{{Indent|<math>\psi(r,\theta,\phi) = -\left(\frac{2}{na_0}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}}\exp\left(-\frac{r}{na_0}\right) r^l L^{2l+1}_{n+l} \left(\frac{2r}{na_0}\right)(-1)^{\frac{m+|m|}{2}}\sqrt{l+\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P^{m}_{l}(\cos\theta)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(im\phi)</math>}}

整理して、

{{Indent|<math>\psi(r,\theta,\phi) = -(-1)^{\frac{m+|m|}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{2}{na_0}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\left(l+\frac{1}{2}\right)\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\left\{r^l\exp\left(-\frac{r}{na_0}\right) L^{2l+1}_{n+l} \left(\frac{2r}{na_0}\right)\right\} P^{m}_{l}(\cos\theta)\exp(im\phi)</math>}}

を得る。

== 解と電子配置との関係 ==
(7.7)式から、<math>n=1</math>の場合は、<math>l=0</math>しか許されないことがわかるが、これは<math>(n-l-1)=0</math>とならなければならないためである。ちなみに、<math>(n-l-1)</math>は、動径方向の波動関数の節の数を表している。
また、(4.8)式から、<math>l=0</math>ならば、<math>m=0</math>とならなければならない。
この電子状態を[[s軌道]]（'''1s軌道'''）と呼ぶ。

また、<math>n=2</math>の場合には、同様に(7.7)式から、<math>l=1</math>か<math>l=0</math>でなければならないことがわかる。
<math>l=1</math>のとき、(4.8)式から、<math>m=1</math> , <math>m=0</math> , <math>m=-1</math>のいずれかとなる。
この電子状態を[[p軌道]]（'''2p軌道'''）という。

なお、<math>l=0</math>ならば<math>l=m=0</math>となり、この電子状態を'''2s軌道'''という。

さらに、<math>n=3</math>のとき、<math>l=2</math> , <math>l=1</math> , <math>l=0</math>のいずれかとなるが、

特に、<math>l=2</math>のとき、<math>m=2</math> , <math>m=1</math> , <math>m=0</math> , <math>m=-1</math> , <math>m=-2</math>のいずれかとなり、この電子状態を[[d軌道]]（'''3d軌道'''）という。

一般に、<math>n=k(k=1, 2, 3\cdots)</math>のとき、1個のs軌道、3個のp軌道、5個のd軌道、7個の[[f軌道]]…の<math>k</math>種類の[[電子軌道]]があり、全部で<math>k^2</math>個の電子状態がある。

水素原子において、s軌道,p軌道,d軌道,f軌道…の[[エネルギー準位]]は[[縮退]]している。これはエネルギー固有値が、
<math>
E=-\frac{E_h}{2n^2}
</math>
となり、lやmに依存しないためである。なお、水素原子に[[磁場]]をかけると、これらのエネルギー準位は、スピン部分を無視して考えた場合、磁気量子数mの違いにより分裂する(→[[ゼーマン効果]])。電場をかけた場合も、[[シュタルク効果]]によって分裂する。このとき、異なるlの軌道同士の線形結合をとった[[混成軌道]]がハミルトニアンの固有状態となる。

水素原子の波動関数のl=0～3における角因子は以下のようになる。ここで<math>\Phi(\phi)</math>の指数関数の虚数部分はオイラーの公式により一対の<math>\Phi(\phi)</math>関数の一次結合で書き換えられる。
{| class="wikitable" style="text-align:left; white-space:nowrap; background-color:#ffffff;"
|+ 
! <math>l</math> || <math>m</math> || <math>\Phi(\phi)</math> || <math>\Theta(\theta)</math> ||  || <math>\Theta(\theta)\Phi(\phi)</math>（極座標） || <math>\Theta(\theta)\Phi(\phi)</math>（直交座標） || 記号
|-
| 0 || 0 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math> ||  || <math>\frac{1}{2\sqrt{\pi}}</math> || <math>\frac{1}{2\sqrt{\pi}}</math> || <math>\mbox{s} \,</math>
|-
| 1 || 0 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> || <math>\sqrt{\frac{3}{2}}\cos\theta</math> ||  || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\cos\theta</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\frac{z}{r}</math> || <math>\mbox{p}_{z} \,</math>
|-
| 1 || +1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(i\phi)</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\sin\theta\cos\phi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\frac{x}{r}</math> || <math>\mbox{p}_{x} \,</math>
|-
| 1 || -1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-i\phi)</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\sin\theta\sin\phi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\frac{y}{r}</math> || <math>\mbox{p}_{y} \,</math>
|-
| 2 || 0 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{2}}(3\cos^2\theta-1)</math> ||  || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}}(3\cos^2\theta-1)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\frac{2z^2-x^2-y^2}{r^2}</math> || <math>\mbox{d}_{3z^2-r^2}</math>
|-
| 2 || +1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(i\phi)</math> || <math>\frac{\sqrt{15}}{2}\sin\theta\cos\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\sin\theta\cos\theta\cos\phi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\frac{zx}{r^2}</math> || <math>\mbox{d}_{zx} \,</math>
|-
| 2 || -1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-i\phi)</math> || <math>\frac{\sqrt{15}}{2}\sin\theta\cos\theta</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\sin\theta\cos\theta\sin\phi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\frac{yz}{r^2}</math> || <math>\mbox{d}_{yz} \,</math>
|-
| 2 || +2 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(2i\phi)</math> || <math>\frac{\sqrt{15}}{4}\sin^2\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\sin^2\theta\cos2\phi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\frac{x^2-y^2}{r^2}</math> || <math>\mbox{d}_{x^2-y^2}</math>
|-
| 2 || -2 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-2i\phi)</math> || <math>\frac{\sqrt{15}}{4}\sin^2\theta</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\sin^2\theta\sin2\phi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi}}\frac{xy}{r^2}</math> || <math>\mbox{d}_{xy} \,</math>
|-
| 3 || 0 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{7}{2}}(5\cos^3\theta-3\cos\theta)</math> ||  || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi}}(5\cos^3\theta-3\cos\theta)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi}}\frac{z(2z^2-3x^2-3y^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{z(5z^2-3r^2)}</math>
|-
| 3 || +1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(i\phi)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2}}(5\cos^2\theta-1)\sin\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi}}(5\cos^2\theta-1)\sin\theta\cos\phi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi}}\frac{x(5z^2-r^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{x(5z^2-r^2)}</math>
|-
| 3 || -1 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-i\phi)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2}}(5\cos^2\theta-1)\sin\theta</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi}}(5\cos^2\theta-1)\sin\theta\sin\phi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi}}\frac{y(5z^2-r^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{y(5z^2-r^2)}</math>
|-
| 3 || +2 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(2i\phi)</math> || <math>\frac{\sqrt{105}}{4}\cos\theta\sin^2\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{\pi}}\cos\theta\sin^2\theta\cos2\phi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{\pi}}\frac{z(x^2-y^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{z(x^2-y^2)}</math>
|-
| 3 || -2 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-2i\phi)</math> || <math>\frac{\sqrt{105}}{4}\cos\theta\sin^2\theta</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{\pi}}\cos\theta\sin^2\theta\sin2\phi</math> || <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{105}{\pi}}\frac{xyz}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{xyz} \,</math>
|-
| 3 || +3 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(3i\phi)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2}}\sin^3\theta</math> || rowspan="2" | <math>\Bigg\{</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi}}\sin^3\theta\cos3\phi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi}}\frac{x(x^2-3y^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{x(x^2-3y^2)}</math>
|-
| 3 || -3 || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-3i\phi)</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2}}\sin^3\theta</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi}}\sin^3\theta\sin3\phi</math> || <math>\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi}}\frac{y(3x^2-y^2)}{r^3}</math> || <math>\mbox{f}_{y(3x^2-y^2)}</math>
|}

[[原子番号]]Zの水素様原子の動径関数は以下のようになる。
{{Indent|
<math>R_{1s} = 2\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\exp(-Zr/a_0)</math>

<math>R_{2s} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)\exp(-Zr/2a_0)</math><br />
<math>R_{2p} = \frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Zr}{a_0}\exp(-Zr/2a_0)</math>

<math>R_{3s} = \frac{2}{81\sqrt{3}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(27-\frac{18Zr}{a_0}+\frac{2Z^2r^2}{a_0^2}\right)\exp(-Zr/3a_0)</math><br />
<math>R_{3p} = \frac{4}{81\sqrt{6}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(6-\frac{Zr}{a_0}\right)\frac{Zr}{a_0}\exp(-Zr/3a_0)</math><br />
<math>R_{3d} = \frac{4}{81\sqrt{30}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Z^2r^2}{a_0^2}\exp(-Zr/3a_0)</math>

<math>R_{4s} = \frac{1}{768}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(192-\frac{144Zr}{a_0}+\frac{24Z^2r^2}{a_0^2}-\frac{Z^3r^3}{a_0^3}\right)\exp(-Zr/4a_0)</math><br />
<math>R_{4p} = \frac{1}{256\sqrt{15}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(80-\frac{20Zr}{a_0}+\frac{Z^2r^2}{a_0^2}\right)\frac{Zr}{a_0}\exp(-Zr/4a_0)</math><br />
<math>R_{4d} = \frac{1}{768\sqrt{5}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(12-\frac{Zr}{a_0}\right)\frac{Z^2r^2}{a_0^2}\exp(-Zr/4a_0)</math><br />
<math>R_{4f} = \frac{1}{768\sqrt{35}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Z^3r^3}{a_0^3}\exp(-Zr/4a_0)</math>
}}
{|
|-
| [[ファイル:R-1s-orbital.png|200px]] ||  ||  || 
|-
| 1s軌道の動径関数 ||  ||  || 
|-
| [[ファイル:R-2s-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R-2p-orbital.png|200px]] ||  || 
|-
| 2s軌道の動径関数 || 2p軌道の動径関数 ||  || 
|-
| [[ファイル:R-3s-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R-3p-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R-3d-orbital.png|200px]] || 
|-
| 3s軌道の動径関数 || 3p軌道の動径関数 || 3d軌道の動径関数 || 
|-
| [[ファイル:R-4s-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R-4p-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R-4d-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R-4f-orbital.png|200px]]
|-
| 4s軌道の動径関数 || 4p軌道の動径関数 || 4d軌道の動径関数 || 4f軌道の動径関数
|}

動径関数を2乗しrの2乗を掛けた動径分布は、核の中心からのある距離における電子の存在確率に相当する。
{|
|-
| [[ファイル:R2r2-1s-orbital.png|200px]] ||  ||  || 
|-
| 1s軌道の動径分布 ||  ||  || 
|-
| [[ファイル:R2r2-2s-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R2r2-2p-orbital.png|200px]] ||  || 
|-
| 2s軌道の動径分布 || 2p軌道の動径分布 ||  || 
|-
| [[ファイル:R2r2-3s-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R2r2-3p-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R2r2-3d-orbital.png|200px]] || 
|-
| 3s軌道の動径分布 || 3p軌道の動径分布 || 3d軌道の動径分布 || 
|-
| [[ファイル:R2r2-4s-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R2r2-4p-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R2r2-4d-orbital.png|200px]] || [[ファイル:R2r2-4f-orbital.png|200px]]
|-
| 4s軌道の動径分布 || 4p軌道の動径分布 || 4d軌道の動径分布 || 4f軌道の動径分布
|}


詳しくは[[電子配置]]の項を参照のこと。

== 参考文献 ==
{{脚注ヘルプ}}
<div class="references-small"><references /></div>

== 関連項目 ==
* [[シュレーディンガー方程式]]
* [[球面調和関数]]
* [[ラゲールの陪多項式]]
* [[水素原子]]

== 外部リンク ==
* [http://keisan.casio.jp/exec/system/1176445657 水素原子の電子分布の計算]

[[Category:計算化学]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:水素|しゆれていんかほうていしきのかい]]
{{DEFAULTSORT:すいそけんしにおけるしゆれていんかほうていしきのかい}} 
{{physics-stub}}
{{chem-stub}}