比例式のソースを表示

'''比例式'''（ひれいしき）とは、[[比]]あるいは[[連比]]に関する[[等式]]のことである。

''A'' に対する ''B'' の[[割合]]が、''X'' に対する ''Y'' の割合に等しいとき、
:<math>A:B=X:Y</math>

と書く。すなわち、ある比とある比が等しいとき、このように比と比を等号で結んだものが比例式である。

==定義==
''A'' : ''B'' = ''X'' : ''Y'' すなわち、二つの比 ''A'' : ''B'' と ''X'' : ''Y'' が等しいとは、''A'' に対する ''B'' の[[割合]]が、''X'' に対する ''Y'' の割合に等しいことであると定義すると、これはすなわち
:<math>{A\over B}={X\over Y}</math>

なる[[分数]]の等式が成り立つことである。これは
:<math>A:B=X:Y \iff {B\over A}={Y\over X}</math>

あるいは
:<math>A:B=X:Y \iff {A\over X}={B\over Y}</math>

と定義しても同じである。このように定義される比の等式 ''A'' : ''B'' = ''X'' : ''Y'' あるいは分数の等式 ''A'' / ''B'' = ''X'' / ''Y'' を'''比例式'''という。また、連比が等しいとは、

:<math>A_1:A_2:\cdots:A_n = X_1:X_2:\cdots:X_n
 \iff {A_1\over X_1}={A_2\over X_2}=\cdots={A_n\over X_n}
</math>
と定義され、比の場合と同様に等式

:<math>A_1:A_2:\cdots:A_n = X_1:X_2:\cdots:X_n</math>
または
:<math>{A_1\over X_1}={A_2\over X_2}=\cdots={A_n\over X_n}</math>

のことを'''比例式'''とよぶ。

==別の表示==
比例式
:<math>{A_1\over X_1}={A_2\over X_2}=\cdots={A_n\over X_n}</math>
の値を ''c'' とすると
:<math>{A_1\over X_1}= c,\ {A_2\over X_2}= c,\ldots,{A_n\over X_n} = c</math>
が成り立つから、これを[[線型方程式系|連立一次方程式]]
:<math>\left\{\begin{matrix}
 A_1 = cX_1, \\
 A_2 = cX_2, \\
 \vdots\quad \\
 A_n = cX_n.
\end{matrix}\right.</math>
の形に表示することができる。

==性質==
比例式には、次のような性質がある。

*<math>A:B=X:Y \iff B:A=Y:X.</math>

*外項の積と内項の積が等しい（分数式で考えた場合、たすきに掛けた積が等しい）。
*:<math>A:B=X:Y \iff AY=BX.</math>

==関連項目==
*[[比]]
*[[割合]]
*[[分数]]

{{デフォルトソート:ひれいしき}}

[[category:数式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:比]]