楕円曲線のソースを表示

[[Image:EllipticCurveCatalog.svg|right|thumb|392px|楕円曲線のカタログ、示されている領域は [−3,3]<sup>2</sup> である（a = 0 と b = 0 に対しては、函数は滑らかでないので、楕円曲線ではない）。]]

数学では、'''楕円曲線'''(elliptic curve) とは{{仮リンク|非特異多様体|label=非特異|en|Nonsingular variety}}(smooth)で、[[射影多様体|射影的]]な[[種数]] 1 の[[代数曲線]]を言う。楕円曲線の上では、特別な点 O が存在する。実際、楕円曲線は[[アーベル多様体]]である。つまり、（必然的に[[可換]][[群 (数学)|群]]であるという点から、）代数的に定義された積があり、O は恒等元として不動である。楕円曲線は O を特定せずに楕円曲線と呼ぶこともある。
<!--[[Image:EllipticCurveCatalog.svg|right|thumb|392px|A catalog of elliptic curves. Region shown is [−3,3]<sup>2</sup> (For ''a'' = 0 and ''b'' = 0 the function is not smooth and therefore not an elliptic curve.)]]
{{Group theory sidebar |Algebraic}}

In [[mathematics]], an '''elliptic curve''' ('''EC''') is a [[Nonsingular variety|smooth]], [[Projective variety|projective]] [[algebraic curve]] of [[Genus of an algebraic curve|genus]] one, on which there is a specified point ''O''. An elliptic curve is in fact an [[abelian variety]] – that is, it has a multiplication defined algebraically, with respect to which it is a (necessarily [[commutative]]) [[group (mathematics)|group]] – and ''O'' serves as the identity element. Often the curve itself, without ''O'' specified, is called an elliptic curve.-->

全ての楕円曲線は、次の形の式により定義された平面代数曲線として書くことができる。<ref>楕円曲線は、代数幾何学的には、<math>\mathbb{P}^2</math> の中の 3次の[[代数曲線|平面代数曲線]]として見ることもできる。このことは[[リーマン面]]として見ることもできるし、恒等元に対応する O をもつ[[種数]] 1 の曲線ともみることができ、1次元の[[アーベル多様体]]と見ることもできる。</ref>
:<math>y^2 = x^3 + ax + b\ .</math>
この式は{{仮リンク|曲線の特異点|label=非特異|en|Singular point of a curve}}(non-singular)である。つまり、グラフが{{仮リンク|尖点|en|cusp (singularity)}}(cusps)を持ったり、自分自身と交叉したりはしない。（{{仮リンク|係数体|en|coefficient field}}(coefficient field)の[[標数]]が 2 や 3 のとき、上の式は全ての{{仮リンク|平面三次曲線|label=三次曲線|en|cubic plane curve}}(cubic curves)を構成するには、一般的とはとても言えない（詳細な定義は[[#一般の体上の楕円曲線|以下]]を参照）。点 O は実際、[[射影平面]]の「[[無限遠点]]」である。
<!--Any elliptic curve can be written as a plane algebraic curve defined by an equation of the form:

:<math>y^2 = x^3 + ax + b</math>

which is [[Singular point of a curve|non-singular]]; that is, its graph has no [[cusp (singularity)|cusps]] or self-intersections. (When the [[characteristic (algebra)|characteristic]] of the [[coefficient field]] is equal to 2 or 3, the above equation is not quite general enough to comprise all non-singular [[cubic plane curve|cubic curves]]; see [[#Elliptic curves over a general field|below]] for a more precise definition.) The point ''O'' is actually the "[[point at infinity]]" in the [[projective plane]].-->

P が重根を持たない次数 3 の多項式として、y<sup>2</sup> = P(x) とすると、種数 1 の非特異平面曲線を得るので、これが楕円曲線である。P が次数 4 で{{仮リンク|重根を持たない多項式|label=重根を持たない|en|Square-free polynomial}}(square-free)とすると、これも種数 1 の平面曲線となるが、しかし、恒等元を自然に選び出すことができない。さらに一般的には、種数 1 の代数曲線は、例えば、3-次元射影空間へ埋め込まれた 2つの[[二次曲面]]の交叉は楕円曲線となり、少なくとも 1 点は恒等元として作用する[[有理点]]を持つことが帰結される。
<!--If ''y''<sup>2</sup> = ''P''(''x''), where ''P'' is any polynomial of degree three in ''x'' with no repeated roots, then we obtain a nonsingular plane curve of [[genus (mathematics)|genus]] one, which is thus an elliptic curve. If ''P'' has degree four and is [[Square-free polynomial|square-free]] this equation again describes a plane curve of genus one; however, it has no natural choice of identity element. More generally, any algebraic curve of genus one, for example from the intersection of two [[quadric|quadric surfaces]] embedded in three-dimensional projective space, is called an elliptic curve, provided that it has at least one [[rational point]] to act as the identity.-->

[[楕円函数]]論を使い、[[複素数]]上で定義された楕円曲線は[[トーラス]]の{{仮リンク|複素射影平面|en|complex projective plane}}(complex projective plane)へ埋め込むことへ対応することを示すことができる。トーラスもアーベル群で、実際この対応は{{仮リンク|群同型|en|group isomorphism}}(group isomorphism)でもある。

楕円曲線は、[[数論]]で特に重要で、現在研究されている主要な分野に寄与している。例えば、[[アンドリュー・ワイルズ]](Andrew Wiles)により（[[リチャード・テイラー (数学者)|リチャード・テイラー]](Richard Taylor)の支援を得て）証明された[[フェルマーの最終定理]]で使われた。楕円曲線は、[[楕円暗号]](ECC) や[[素因数分解]]への応用が見つかっている。

楕円曲線(elliptic curve)は、[[楕円]](ellipse)では'''ない'''。｢楕円｣ということばの由来については[[楕円積分]]、[[楕円函数]]を参照。トポロジーとして、複素楕円曲線は[[トーラス]]である。
<!--Using the theory of [[elliptic function]]s, it can be shown that elliptic curves defined over the [[complex number]]s correspond to embeddings of the [[torus]] into the [[complex projective plane]]. The torus is also an abelian group, and in fact this correspondence is also a [[group isomorphism]].

Elliptic curves are especially important in [[number theory]], and constitute a major area of current research; for example, they were used in the proof, by [[Andrew Wiles]] (assisted by [[Richard Taylor (mathematician)|Richard Taylor]]), of [[Fermat's Last Theorem]]. They also find applications in [[elliptic curve cryptography]] (ECC) and [[integer factorization]].

An elliptic curve is ''not'' an [[ellipse]]: see [[elliptic integral]] for the origin of the term.  Topologically, a complex elliptic curve is a [[torus]].-->

このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。

:１）　1-次元の[[アーベル多様体]]
:２）　3次の[[代数曲線|平面代数曲線]]で、[[有理点]]を持つもの
:３）　複素数を加法群とみて、二重周期を持つ格子で割った商空間（複素数体上のみ、[[#複素数上の楕円曲線|複素数上の楕円曲線]]）

== 整数点 ==
楕円曲線上には整数点は有限個しか存在しない。一般に種数が1以上の代数曲線には整数点は有限個しか存在しない。これは{{仮リンク|アクセル・トゥエ|en|Axel Thue}}が[[ディオファントス近似]]に関する定理から特別の場合について証明し、[[カール・ジーゲル|ジーゲル]]が一般の場合について証明した。しかし、これらの定理は計算可能性を備えていない。[[アラン・ベイカー|ベイカー]](Alan Baker)は[[超越数]]論の方法をつかい、種数1の代数曲線には有限個の整数点しか存在せず、それらは計算可能であることを示した<ref>Baker, 1990, 第4章およびSilvermann, 1986, 第9章/1992, 第5章</ref>。

==実数上の楕円曲線==
[[Image:ECClines-3.svg|frame|right|曲線 y<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> − x と y<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> − x + 1 のグラフ]]
楕円曲線の形式的な定義には、テクニックカルな面で[[代数幾何学]]の背景を必要としている。高度な[[代数学|代数]]と[[幾何学|幾何]]を使って、楕円曲線の様子を記述することが始めて可能となる。

この脈絡では、楕円曲線とは次の方程式により定義される[[平面曲線]]である。
:<math>y^2 = x^3 + ax + b</math>
ここに a と b は実数である。このタイプの方程式のことを、'''[[楕円曲線|ヴァイエルシュトラス方程式]]'''(Weierstrass equation)という。
<!--==Elliptic curves over the real numbers==
[[Image:ECClines-3.svg|frame|right|Graphs of curves ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' and ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' + 1]]
Although the formal definition of an elliptic curve is fairly technical and requires some background in [[algebraic geometry]], it is possible to describe  some features of elliptic curves over the [[real number]]s using only high school [[algebra]] and [[geometry]].

In this context, an elliptic curve is a [[plane curve]] defined by an equation of the form

:<math>y^2 = x^3 + ax + b</math>

where ''a'' and ''b'' are real numbers. This type of equation is called a '''[[Weierstrass equation]]'''.-->

楕円曲線の定義は、曲線が{{仮リンク|非特異|en|non-singular}}(non-singular)であることも要求される。幾何学的には、このことは曲線のグラフが{{仮リンク|尖点|en|cusp (singularity)}}(cusps)を持たず、自己交叉せず、孤立点でもないことを意味する。代数的には、非特異とは[[判別式]]
: <math>\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)</math>
を計算することを意味する。曲線が非特異であることと、判別式が 0 でないこととは同値である。（因子 −16 はここでは不適切に思えるが、さらに進むと楕円曲線の研究では便利なことが分かる。）

非特異楕円曲線の（実数の）グラフは、判別式が正であれば、'''2つ'''の曲線の成分を持ち、負であれば、'''一つ'''の曲線の成分しか持たない。例えば、右図の中に示されているように、図中の左は判別式が 64 であり、図中の右は 判別式が −368 である。
<!--The definition of elliptic curve also requires that the curve be [[non-singular]]. Geometrically, this means that the graph has no [[cusp (singularity)|cusps]], self-intersections, or isolated points. Algebraically, this involves calculating the [[discriminant]]

: <math>\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)</math>

The curve is non-singular if and only if the discriminant is not equal to zero. (Although the factor −16 seems irrelevant here, it turns out to be convenient in a more advanced study of elliptic curves.)

The (real) graph of a non-singular curve has ''two'' components if its discriminant is positive, and ''one'' component if it is negative. For example, in the graphs shown in figure to the right, the discriminant in the first case is 64, and in the second case is −368.-->

==群法則==
「無限遠点」を加えることにより、楕円曲線の射影的なバージョンを得る。P と Q を曲線上の 2つの点とすると、一意に 3番目の点を P と Q を通る直線と曲線の交わった点として取ることができる。直線が曲線に一点で接しているときは、接点を二重に数えればよい。直線が y-軸に平行であれば、3番目の点を「無限遠点」と定義すればよい。よって、これらの条件のちょうど一つが楕円曲線上の任意の点のペアに対して成り立つ。
<!--==The group law==
By adding a "point at infinity", we obtain the projective version of this curve. If ''P'' and ''Q'' are two points on the curve, then we can uniquely describe a third point which is the intersection of the curve with the line through ''P'' and ''Q''. If the line is tangent to the curve at a point, then that point is counted twice; and if the line is parallel to the ''y''-axis, we define the third point as the point "at infinity". Exactly one of these conditions then holds for any pair of points on an elliptic curve.-->

<div class="center">
[[Image:ECClines.svg]]
</div>

よって、[[群 (数学)|群作用素]] + を次の性質を持つ曲線上へ導入することができる。無限遠点を 0 と考え、P, Q, R で交わる直線がある場合は、P + Q + R = 0 と群の中で定義する。このことにより、楕円曲線を[[アーベル群]]の中へ、従って、[[アーベル多様体]]の中へ埋め込むことを確認することができる。
<!--It is then possible to introduce a [[group (mathematics)|group operation]], ''+'', on the curve with the following properties: we consider the point at infinity to be 0, the identity of the group; and if a straight line intersects the curve at the points ''P'', ''Q'' and ''R'', then we require that ''P'' + ''Q'' + ''R'' = 0 in the group. One can check that this turns the curve into an [[abelian group]], and thus into an [[abelian variety]].-->

楕円曲線を E で表し、曲線 E が定義された体を K とする（つまり、曲線 E の定義方程式の係数が K に属する）とすると、E の [[K-有理点]]とは、無限遠点を含む、K に全ての座標が属するような E の点を言う。K-有理点の集合を E(K) で表す。多項式の性質より、P が E(K) に属すると  &minus;P も E(K) に属し、P, Q, R の内、2つが E(K) に属すと残る一つも E(K) に属すことが示されるので、E(K) も群をなす。加えて、K が L の部分群であれば、E(K) も E(L) の[[部分群]]である。
<!--Let ''K'' be a field over which the curve is defined (i.e., the coefficients of the defining equation or equations of the curve are in ''K'') and denote the curve by ''E''. Then the ''K''-[[rational point]]s of ''E'' are the points on ''E'' whose coordinates all lie in ''K'', including the point at infinity. The set of ''K''-rational points is denoted by ''E''(''K''). It, too, forms a group, because properties of polynomial equations show that if ''P' is in ''E''(''K''), then &minus;''P'' is also in ''E''(''K''), and if two of ''P'', ''Q'', and ''R'' are in ''E''(''K''), then so is the third. Additionally, if ''K'' is a subfield of ''L'', then ''E''(''K'') is a [[subgroup]] of ''E''(''L'').-->

上記の群は幾何学的にと同じように、代数的に記述することができる。体 K 上の（体 K の基礎となっている[[標数]]は 2 でも 3 でもないことを前提とする）楕円曲線 y<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> − px − q と曲線上の点 P = (x<sub>P</sub>, y<sub>P</sub>) と点 Q = (x<sub>Q</sub>, y<sub>Q</sub>) は、最初に x<sub>P</sub> ≠ x<sub>Q</sub> であることを前提とする。s を P と Q を含む直線の傾きとする。すなわち、
:<math>s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}</math>
とする。K は体であるから、s がうまく定義でき、R = P + Q = (x<sub>R</sub>, −y<sub>R</sub>) を
:<math>\begin{align}
  x_R &= s^2 - x_P - x_Q \\
  y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}</math>
により定義できる。
<!--The above group can be described algebraically as well as geometrically. Given the curve ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''px'' − ''q'' over the field ''K'' (whose [[Prime subfield|characteristic]] we assume to be neither 2 nor 3), and points ''P'' = (''x<sub>P</sub>'', ''y<sub>P</sub>'') and ''Q'' = (''x<sub>Q</sub>'', ''y<sub>Q</sub>'') on the curve, assume first that ''x<sub>P</sub>'' ≠ ''x<sub>Q</sub>''. Let ''s'' be the slope of the line containing ''P'' and ''Q''; i.e.,

:<math>s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}</math>

Since ''K'' is a field, ''s'' is well-defined. Then we can define ''R'' = ''P'' + ''Q'' = (''x<sub>R</sub>'', ''−y<sub>R</sub>'') by

:<math>\begin{align}
  x_R &= s^2 - x_P - xQ \\
  y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}</math>-->

x<sub>P</sub> = x<sub>Q</sub> （上の第三と第四の種類）とすると、2つの選択がある。y<sub>P</sub> = −y<sub>Q</sub> の場合、この場合は y<sub>P</sub> = y<sub>Q</sub> = 0 を含んでいるが、和は点の 0 として定義される。このように、曲線上の各々の逆は、x-軸と交わることを反映していることで見つけられる。y<sub>P</sub> = y<sub>Q</sub> ≠ 0 （二番目の種類）であれば、R = P + P = 2P = (x<sub>R</sub>, −y<sub>R</sub>) は、次の関係により与えられる。
[[File:EllipticGroup.gif|right|楕円曲線の群法則]]
:<math>\begin{align}
    s &= \frac{3{x_P}^2 - p}{2y_P}\\
  x_R &= s^2 - 2x_P\\
  y_R &= y_P + s(x_R - x_P)\ .
\end{align}</math>
<!--If ''x<sub>P</sub>'' = ''x<sub>Q</sub>'' (third and fourth panes above), then there are two options: if ''y<sub>P</sub>'' = −''y<sub>Q</sub>'', including the case where ''y<sub>P</sub>'' = ''y<sub>Q</sub>'' = 0, then the sum is defined as 0; thus, the inverse of each point on the curve is found by reflecting it across the ''x''-axis. If ''y<sub>P</sub>'' = ''y<sub>Q</sub>'' ≠ 0 (second pane), then ''R'' = ''P'' + ''P'' = 2''P'' = (''x''<sub>''R''</sub>, ''−y''<sub>''R''</sub>) is given by

:<math>\begin{align}
    s &= \frac{3{x_P}^2 - p}{2y_P}\\
  x_R &= s^2 - 2x_P\\
  y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}</math>-->

===結合律===

結合律を除く全ての群法則は、直ちに群作用の幾何学的定義から導くことができる。このアニメーションは幾何学的な結合法則を示している。

任意の 6本の直線の 3つの値が 0 であることに注意すると、9個の点全ての位置は、0 と a, b, c の位置と楕円曲線によって決定される。9本の直線の中心点は、a と b&nbsp;+&nbsp;c を通る直線上と、a&nbsp;+&nbsp;b と c を通る直線上にある。加法の結合律は、格子の中心点を楕円曲線が通るという事実と同値である。この事実より、 −(a&nbsp;+&nbsp;(b&nbsp;+&nbsp;c)) と −((a&nbsp;+&nbsp;b)&nbsp;+&nbsp;c) が従う。

楕円曲線と点 0 はこのアニメーションの中では不動であることに対し、一方、a, b c は互いに独立して動く。
<!--===Associativity===

[[File:EllipticGroup.gif|right|EllipticGroup]]
All of the group laws except associativity follow immediately from the geometrical definition of the group operation.  This animation illustrates geometrically the associativity law.

Notice that the sum of the three values on any of the six lines is zero.  The location of all nine points is determined by the elliptic curve together with the locations of zero, ''a'', ''b'' and ''c''.  The central point of the nine lies on the line through ''a'' and ''b&nbsp;+&nbsp;c'', and also on the line through ''a&nbsp;+&nbsp;b'' and ''c''.  Associativity of the addition law is equivalent to the fact that the curve passes through the central point in the grid.  From this fact,  the equality of −(''a''&nbsp;+&nbsp;(''b''&nbsp;+&nbsp;''c'')) and −((''a''&nbsp;+&nbsp;''b'')&nbsp;+&nbsp;''c'') follows.

The elliptic curve and the point zero are fixed in this animation while ''a'', ''b'' and ''c'' move independently of each other.-->

==複素数上の楕円曲線==
[[Image:Lattice torsion points.svg|right|thumb|300px|複素数上の楕円曲線は、複素平面を格子 Λ で割ることで得られる。この格子 Λ は、2つの基本周期 ω<sub>1</sub> と ω<sub>2</sub> によってはられる。4-トーションは、格子 Λ を含む格子 1/4 Λ に対応している。]]
楕円曲線の{{仮リンク|複素射影平面|en|complex projective plane}}(complex projective plane)の中の[[トーラス]]の埋め込みとしての定式化は、[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数]]の不思議な性質から自然に導かれる。これらの函数と函数の第一微分は、公式
:<math>\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3</math>
により関係付けられている。

ここに、g<sub>2</sub> と g<sub>3</sub> は定数であり、<math>\wp(z)</math> はヴァイエルシュトラスの楕円函数で、<math>\wp'(z)</math> はその微分である。（[[複素数]]上の）楕円函数の形の中でこの公式は明らかであろう。ヴァイエルシュトラスの楕円函数は二重周期函数である。つまり、{{仮リンク|基本周期のペア|en|fundamental pair of periods}}(fundamental pair of periods)の観点から周期的であり、本質的には、ヴァイエルシュトラス函数は、自然に、トーラス T = '''C'''/Λ の上で定義される。このトーラスは、写像
:<math>z \mapsto [1 :\wp(z) : \wp'(z)]</math>
により、複素射影平面の中に埋め込まれる。

この写像は[[群同型]]であり、トーラスの自然な群構造を射影平面へ写す。この写像は、[[リーマン面]]にも同型であり、従って、位相的には、楕円曲線が与えられるとトーラスのように見える。格子 Λ が、非零な複素数 c による掛け算により、格子 cΛ へ写されると、対応する曲線は同型となる。楕円曲線の同型類は[[j-不変量]]により特定される。
<!--==Elliptic curves over the complex numbers==
[[Image:Lattice torsion points.svg|right|thumb|300px|An elliptic curve over the complex numbers is obtained as a quotient of the complex plane by a lattice Λ, here spanned by two fundamental periods ω<sub>1</sub> and ω<sub>2</sub>. The four-torsion is also shown, corresponding to the lattice 1/4 Λ containing Λ.]]
The formulation of elliptic curves as the embedding of a [[torus]] in the [[complex projective plane]] follows naturally from a curious property of [[Weierstrass's elliptic functions]].  These functions and their first derivative are related by the formula

:<math>\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3</math>

Here, ''g''<sub>2</sub> and ''g''<sub>3</sub> are constants; <math>\wp(z)</math> is the Weierstrass elliptic function and <math>\wp'(z)</math> its derivative. It should be clear that this relation is in the form of an elliptic curve (over the [[complex number]]s). The Weierstrass functions are doubly periodic; that is, they are periodic with respect to a [[fundamental pair of periods|lattice]] Λ; in essence, the Weierstrass functions are naturally defined on a torus  ''T'' = '''C'''/Λ. This torus may be embedded in the complex projective plane by means of the map

:<math>z \mapsto [1 :\wp(z) : \wp'(z)]</math>

This map is a [[group isomorphism]], carrying the natural group structure of the torus into the projective plane. It is also an isomorphism of [[Riemann surface]]s, so topologically, a given elliptic curve looks like a torus.  If the lattice Λ is related by multiplication by a non-zero complex number ''c'' to a lattice ''c''Λ, then the corresponding curves are isomorphic. Isomorphism classes of elliptic curves are specified by the [[j-invariant]].-->

同型類は同じ方法で理解することができる。定数 g<sub>2</sub> と g<sub>3</sub> は、[[j-不変量]]と呼ばれ、トーラスの構造である格子により一意に決定される。しかしながら、複素数は、実係数多項式の[[分解体]](splitting field)を形成し、楕円曲線は
:<math>y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)</math>
と書くことができる。

以上のことから、
:<math>g_2 = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3} (\lambda^2 - \lambda + 1)</math>
であり、
:<math>g_3 = \frac{1}{27} (\lambda + 1)(2\lambda^2 - 5\lambda + 2)</math>
であることが分かり、この{{仮リンク|モジュラ判別式|en|modular discriminant}}(modular discriminant)は
:<math>\Delta = g_2^3 - 27g_3^2 = \lambda^2(\lambda - 1)^2</math>
である。

ここに λ は{{仮リンク|モジュララムダ函数|en|modular lambda function}}(modular lambda function)と呼ばれることもある。

注意すべきは、{{仮リンク|統一定理|en|uniformization theorem}}(uniformization theorem)は、種数 1 の全ての[[コンパクト空間|コンパクト]]なリーマン面は、トーラスとして実現することができることを意味していることである。
<!--The isomorphism classes can be understood in a simpler way as well. The constants ''g''<sub>2</sub> and ''g''<sub>3</sub>, called the [[j-invariant|modular invariant]]s, are uniquely determined by the lattice, that is, by the structure of the torus. However, the complex numbers form the [[splitting field]] for polynomials with real coefficients, and so the elliptic curve may be written as
:<math>y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)</math>

One finds that
:<math>g_2 = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3} (\lambda^2 - \lambda + 1)</math>

and
:<math>g_3 = \frac{1}{27} (\lambda + 1)(2\lambda^2 - 5\lambda + 2)</math>

so that the [[modular discriminant]] is
:<math>\Delta = g_2^3 - 27g_3^2 = \lambda^2(\lambda - 1)^2</math>

Here, λ is sometimes called the [[modular lambda function]].

Note that the [[uniformization theorem]] implies that every [[Compact space|compact]] Riemann surface of genus one can be represented as a torus.-->

このことは、楕円曲線上の{{仮リンク|捩れ部分群|label=捩れ点|en|torsion subgroup}}(torsion points)を容易に理解することができる。格子 Λ が基本周期 ω<sub>1</sub> と ω<sub>2</sub> ではられると、n-捩れ点は、0 から n-1 までの整数 a と b に対し、次の形の（同型類の）点である。
:<math> \frac{a}{n} \omega_1 + \frac{b}{n} \omega_2\ .</math>

複素数上に、どの楕円曲線も 9個の[[変曲点]](inflection point)を持っている。これらの点の 2つを通るどの直線も、3つ目の変曲点を通る。9つの点と 12の直線はこのようにして{{仮リンク|ヘッセ構成|en|Hesse configuration}}(Hesse configuration)を形造る。
<!--This also allows an easy understanding of the [[torsion subgroup|torsion points]] on an elliptic curve: if the lattice Λ is spanned by the fundamental periods ω<sub>1</sub> and ω<sub>2</sub>, then the ''n''-torsion points are the (equivalence classes of) points of the form
:<math> \frac{a}{n} \omega_1 + \frac{b}{n} \omega_2</math>

for ''a'' and ''b'' integers in the range from 0 to ''n''−1.

Over the complex numbers, every elliptic curve has nine [[inflection point]]s. Every line through two of these points also passes through a third inflection point; the nine points and 12 lines formed in this way form a realization of the [[Hesse configuration]].-->

== 有理数上の楕円曲線 ==
有理数体上で定義された曲線 E は実数の体の上でも定義できるので、接線と割線の方法(the tangent and secant method)による（実座標での点の）加法は、E へ適用することが可能である。有理座標を持つ P と Q を結ぶ直線（の方程式）は有理係数を持つので、有理数を係数とする点 P と Q の和は、再び有理数となることを明らかに示している。このようにして、E の有理点の集合は E の実数の点の部分群を形成する。この群として、楕円曲線はアーベル群となっている。すなわち、P + Q = Q + P となっている。
<!--== Elliptic curves over the rational numbers==
A curve ''E'' defined over the field of rational numbers is also defined over the field of real numbers, therefore the law of addition (of points with real coordinates) by the tangent and secant method can be applied to ''E''. The explicit formulae show that the sum of two points ''P'' and ''Q'' with rational coordinates has again rational coordinates, since the line joining ''P'' and ''Q'' has rational coefficients.この部分はフランス語で書きこまれている--ここからIl en est de même pour le symétrique par rapport à l'axe des abscisses d'un point à coordonnées rationnelles.まで This way, one shows that the set of rational points of ''E'' forms a subgroup of the group of real points of ''E''. As this group, it is an [[abelian group]], that is, ''P'' + ''Q'' = ''Q'' + ''P''.-->
===有理点の構造===
最も重要な結果は、'''有限個'''の点から出発する接線と割線の方法(the method of tangents and secants)により構成することができるということである。より詳しくは、<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem 4.1}}</ref> [[モーデルの定理|モーデル・ヴェイユの定理]]は、群 E('''Q''') が{{仮リンク|有限生成群|label=有限生成|en|finitely generated group}}(finitely generated)アーベル群であることを言っている。従って、[[有限生成アーベル群の基本定理]]により、これは '''Z''' のコピーと有限巡回群の有限の直和である。
<!--===The structure of rational points===
The most important result is that all points can be constructed by the method of tangents and secants starting with a ''finite'' number of points. More precisely<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem 4.1}}</ref> the [[Mordell&ndash;Weil theorem]] states that the group ''E''('''Q''') is a [[finitely generated group|finitely generated]] (abelian) group. By the [[fundamental theorem of finitely generated abelian groups]] it is therefore a finite direct sum of copies of '''Z''' and finite cyclic groups.-->

定理の証明<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=pp. 199–205}}</ref>は、2つの部分からなっていて、一つ目は、任意の整数 m&nbsp;>&nbsp;1 に対し、商群 E('''Q''')/mE('''Q''') は有限であること（弱いモーデル・ヴェイユの定理）、二つ目は、有理点 E('''Q''') の上では[[高さ函数]] h を h(P<sub>0</sub>) = 0 により定義し、（無限遠点 P<sub>0</sub> とは同じではない）P が有理数の横軸(abscissa) x = {{frac|p|q}}（p と q は[[互いに素]]）を持つときは、{{math|h(P) {{=}} log max(&#124;''p''&#124;, &#124;''q''&#124;)}} で定義することである。 この高さ函数 h は、h(mP) が m の平方根のような増加度を持つという性質がある。さらに、E 上に任意の定数より小さな高さを持つ点は有限個しか存在しない。
<!--The proof of that theorem<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=pp. 199–205}}</ref> rests on two ingredients: first, one shows that for any integer ''m''&nbsp;>&nbsp;1, the quotient group ''E''('''Q''')/''mE''('''Q''') is finite (weak Mordell–Weil theorem). Second, introducing a [[height function]] ''h'' on the rational points ''E''('''Q''') defined by ''h''(''P''<sub>0</sub>) = 0 and {{math|''h''(''P'') {{=}} log max(&#124;''p''&#124;, &#124;''q''&#124;)}} if ''P'' (unequal to the point at infinity ''P''<sub>0</sub>) has as abscissa the rational number ''x'' = {{frac|''p''|''q''}} (with [[coprime]] ''p'' and ''q''). This height function ''h'' has the property that ''h''(''mP'') grows roughly like the square of ''m''. Moreover, only finitely many rational points with height smaller than any constant exist on ''E''.-->

定理の証明は[[無限降下法]](infinite descent)の変形の一種となり<ref>See also J. W. S. Cassels, [[Mordell]]'s Finite Basis Theorem Revisited, ''Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'' 100, 3–41 and the comment of A. Weil on the genesis of his work: A. Weil, ''Collected Papers'', vol. 1, 520–521.</ref>、E への[[ユークリッドの互除法]](Euclidean algorithm)の繰り返しの適用となっている。P ∈ E('''Q''') を曲線の有理点とし、P を 2P<sub>1</sub> + Q<sub>1</sub> と書くことにする。ここに Q<sub>1</sub> は E('''Q''')/2E('''Q''') の P の固定された代表元である。すると P<sub>1</sub> の高さは、P の高さの一つのおよそ {{frac|1|4}} となる（より一般的には、任意の m > 1 である m を 2 の替わりとすると、{{frac|1|m<sup>2</sup>}} により {{frac|1|4}} となる）。同じように P<sub>1</sub> を P<sub>1</sub> = 2P<sub>2</sub> + Q<sub>2</sub> とすると、P<sub>2</sub> = 2P<sub>3</sub> + Q<sub>3</sub> などとなり、最終的には P は、点 Q<sub>i</sub> と、前に選択したある定数により上界が決めれている高さの点の整数係数の線型結合となる。弱い形のモーデル・ヴェイユの定理と高さ函数 P の第二の性質は、このようにして、きめられた点の有限個の点の整数係数の線型結合として表される。

今まで、E('''Q''')/mE('''Q''') の代表元を決定する一般的なプロセスが知られていなかったので、定理が[[数論の有効な結果|有効]]である（計算可能である）とは言えなかったのである。
<!--The proof of the theorem is thus a variant of the method of [[infinite descent]]<ref>See also J. W. S. Cassels, [[Mordell]]'s Finite Basis Theorem Revisited, ''Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'' 100, 3–41 and the comment of A. Weil on the genesis of his work: A. Weil, ''Collected Papers'', vol. 1, 520–521.</ref> and relies on the repeated application of [[Euclidean algorithm|Euclidean division]]s on ''E'': let ''P'' ∈ ''E''('''Q''') be a rational point on the curve, writing ''P'' as the sum 2''P''<sub>1</sub> + ''Q''<sub>1</sub> where ''Q''<sub>1</sub> is a fixed representant of ''P'' in ''E''('''Q''')/2''E''('''Q'''), the height of ''P''<sub>1</sub> is about {{frac|1|4}} of the one of ''P'' (more generally, replacing 2 by any ''m'' > 1, and {{frac|1|4}} by {{frac|1|''m''<sup>2</sup>}}). Redoing the same with ''P''<sub>1</sub>, that is to say ''P''<sub>1</sub> = 2''P''<sub>2</sub> + ''Q''<sub>2</sub>, then ''P''<sub>2</sub> = 2''P''<sub>3</sub> + ''Q''<sub>3</sub>, etc. finally expresses ''P'' as an integral linear combination of points ''Q<sub>i</sub>'' and of points whose height is bounded by a fixed constant chosen in advance: by the weak Mordell–Weil theorem and the second property of the height function ''P'' is thus expressed as an integral linear combination of a finite number of fixed points.

So far, the theorem is not effective since there is no known general procedure for determining the representants of ''E''('''Q''')/''mE''('''Q''').-->

E('''Q''') の{{仮リンク|アーベル多様体のランク|label=ランク|en|Rank of an abelian group}}、つまり、E('''Q''') の中の '''Z''' のコピーの数、同じことであるが無限位数の独立な点の個数を、E の'''ランク'''と呼ぶ。[[バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想]]は、このランクの決定に関係している。この予想は、ランクが比較的小さな例について知られているだけで、ランクを大きくすることができるという予想でもある。知られている限りの最大のランクを持つ楕円曲線は、
:y<sup>2</sup> + xy + y = x<sup>3</sup> − x<sup>2</sup> + {{gaps|31|368|015|812|338|065|133|318|565|292|206|590|792|820|353|345}}x + {{gaps|302|038|802|698|566|087|335|643|188|429|543|498|624|522|041|683|874|493|555|186|062|568|159|847}}
である。

この楕円曲線はランク 19 であり、2009年に{{仮リンク|ノーム・エルキース|en|Noam Elkies}}(Noam Elkies)により発見された。<ref>{{cite web|url=http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/rankhist.html|title=History of elliptic curves rank records|last=Dujella|first=Andrej|accessdate=13 May 2014}}</ref> 曲線のランクは少なくとも 28 であることは知られているが、正確なランクは知られていない。

E('''Q''') の{{仮リンク|捩れ部分群|en|torsion subgroup}}(torsion subgroup)を持つ群に対し、次のことが知られている。<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem 7.5}}</ref> E('''Q''') の捩れ部分群は次の 15 個の群のうちの一つである（{{仮リンク|メーザーの捩れ定理|en|Mazur's torsion theorem}}(Mazur's torsion theorem)を参照）
: N = 1, 2, …, 10, 12 に対しては、'''Z'''/N'''Z'''　あるいは、
: N = 1, 2, 3, 4 に対しては、'''Z'''/2'''Z''' × '''Z'''/2''N'''''Z'''　。

全ての場合の例が知られている。さらに、'''Q''' 上で定義されモーデル・ヴェイユ群が同じ捩れ群を持つ楕円曲線は、パラメトライズされた族となる。<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Remark 7.8 in Ch. VIII}}</ref>
<!--The [[Rank of an abelian group|rank]] of ''E''('''Q'''), that is the number of copies of '''Z''' in ''E''('''Q''') or, equivalently, the number of independent points of infinite order, is called the ''rank'' of ''E''. The [[Birch and Swinnerton-Dyer conjecture]] is concerned with determining the rank. One conjectures that it can be arbitrarily large, even if only examples with relatively small rank are known. The elliptic curve with biggest exactly known rank is
:''y''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y'' = ''x''<sup>3</sup> − ''x''<sup>2</sup> + {{gaps|31|368|015|812|338|065|133|318|565|292|206|590|792|820|353|345}}''x'' + {{gaps|302|038|802|698|566|087|335|643|188|429|543|498|624|522|041|683|874|493|555|186|062|568|159|847}}

It has rank 19, found by [[Noam Elkies]] in 2009.<ref>{{cite web|url=http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/rankhist.html|title=History of elliptic curves rank records|last=Dujella|first=Andrej|accessdate=13 May 2014}}</ref> Curves of rank at least 28 are known, but their rank is not exactly known.

As for the groups constituting the [[torsion subgroup]] of ''E''('''Q'''), the following is known<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem 7.5}}</ref> the torsion subgroup of ''E''('''Q''') is one of the 15 following groups (a theorem due to [[Barry Mazur]]): '''Z'''/''N'''''Z''' for ''N'' = 1, 2, …, 10, or 12, or '''Z'''/2'''Z''' × '''Z'''/2''N'''''Z''' with ''N'' = 1, 2, 3, 4. Examples for every case are known. Moreover, elliptic curves whose Mordell&ndash;Weil groups over '''Q''' have the same torsion groups belong to a parametrized family.<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Remark 7.8 in Ch. VIII}}</ref>-->

===バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想===
{{Main|バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想}}
'''バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想'''(BSD)は、[[クレイ研究所]]の[[ミレニアム懸賞問題]]の一つである。予想は、問題を楕円曲線により定義される解析的で数論的な対象に依拠して記述している。
<!--===The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture===
{{Main|Birch and Swinnerton-Dyer conjecture}}
The ''Birch and Swinnerton-Dyer conjecture'' (BSD) is one of the [[Millennium problem]]s of the [[Clay Mathematics Institute]]. The conjecture relies on analytic and arithmetic objects defined by the elliptic curve in question.-->

解析側での重要な側面は、複素変数函数である '''Q''' 上の E の[[ハッセ・ヴェイユのゼータ函数]] L である。この函数は[[リーマンゼータ函数]]や[[ディリクレのL-函数]]の変形である。L は全ての[[素数]] p について一つの要素を持つ[[オイラー積]]として定義される。

整数係数 a<sub>i</sub> で、
:<math>y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6</math>
の最小多項式与えられる '''Q''' 上の曲線 E に対する modulo p でのリダクションは、[[有限体]] '''F'''<sub>p</sub> 上の楕円曲線を定義する（有限個の素数 p を除く、有限個の素数 p ではリダクションされた曲線は[[特異点 (数学)|特異点]]を持ち、従って、楕円を形成しない。そのような場合を p では E は{{仮リンク|悪いリダクション|en|bad reduction}}(bad reduction)であるという。）
<!--At the analytic side, an important ingredient is a function of a complex variable, ''L'', the [[Hasse–Weil zeta function]] of ''E'' over '''Q'''. This function is a variant of the [[Riemann zeta function]] and [[Dirichlet L-function]]s. It is defined as an [[Euler product]], with one factor for every [[prime number]] ''p''.

For a curve ''E'' over '''Q''' given by a minimal equation
:<math>y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6</math>

with integral coefficients ''a<sub>i</sub>'', reducing the coefficients [[Modular arithmetic|modulo]] ''p'' defines an elliptic curve over the [[finite field]] '''F'''<sub>''p''</sub> (except for a finite number of primes ''p'', where the reduced curve has a [[Mathematical singularity|singularity]] and thus fails to be elliptic, in which case ''E'' is said to be of [[bad reduction]] at ''p'').-->

有限体 '''F'''<sub>p</sub> 上の楕円曲線のゼータ函数は、ある意味で、有限な[[体の拡大]] '''F'''<sub>p</sub> の中の E の点の数の情報を集める[[母函数]](generating function) '''F'''<sub>p<sup>n</sup></sub> である。この母函数は、
:<math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \exp \left(\sum \mathrm{card} \left[E({\mathbf F}_{p^n})\right]\frac{T^n}{n}\right)</math>
で与えられる。<ref>定義は形式的で、定数項を持たないこの[[べき級数]]の指数は通常の指数である。</ref>
<!--The zeta function of an elliptic curve over a finite field '''F'''<sub>''p''</sub> is, in some sense, a [[generating function]] assembling the information of the number of points of ''E'' with values in the finite [[field extension]]s of '''F'''<sub>''p''</sub>, '''F'''<sub>''p<sup>n</sup>''</sub>. It is given,<ref>The definition is formal, the exponential of this [[power series]] without constant term denotes the usual development.</ref>
:<math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \exp \left(\sum \mathrm{card} \left[E({\mathbf F}_{p^n})\right]\frac{T^n}{n}\right)</math>-->

指数の右肩に乗っている和は、[[対数]]の展開に似ていて、実際、そのように定義されるゼータ函数は[[有理函数]]
:<math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \frac{1 - a_pT + pT^2}{(1 - T)(1 - pT)}</math>
である。

よって、'''Q''' 上の E のハッセ・ヴェイユのゼータ函数は、全ての素数 p についてのこれらの情報を互いに集めることにより定義される。すなわち、
:<math>L(E(\mathbf{Q}), s) = \prod_p \left(1 - a_p p^{-s} + \varepsilon(p)p^{1 - 2s}\right)^{-1}</math>
と定義される。ここに、E が p で良いリダクションを持つ場合は、ε(p) = 1 であり、そうでない場合は 0 である(良いリダクションを持たない場合は、a<sub>p</sub> が上記とは異なる定義となる）。
<!--The interior sum of the exponential resembles the development of the [[logarithm]] and, in fact, the so-defined zeta function is a [[rational function]]:
:<math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \frac{1 - a_pT + pT^2}{(1 - T)(1 - pT)}</math>

The Hasse–Weil zeta function of ''E'' over '''Q''' is then defined by collecting this information together, for all primes ''p''. It is defined by
:<math>L(E(\mathbf{Q}), s) = \prod_p \left(1 - a_p p^{-s} + \varepsilon(p)p^{1 - 2s}\right)^{-1}</math>

where ε(''p'') = 1 if ''E'' has good reduction at ''p'' and 0 otherwise (in which case ''a<sub>p</sub>'' is defined differently than above).-->

この積は Re(s) > 3/2 でのみ[[絶対収束]]する。ハッセの予想はこの L-函数は全複素平面へ[[解析接続]]され、任意の s に対して、L(E, s) から L(E, 2 − s) への[[函数等式]]を満たすのではないかと言う予想であった。1999年、この予想は、[[谷山志村予想]]の証明の結果であることがしめされた。谷山志村予想は、'''Q''' 上の全ての楕円曲線は[[モジュラ曲線]]であるいう予想であり、このことは、楕円曲線の L-函数は解析接続が知られている[[モジュラ形式]]のL-函数であることを意味する。

このことにより、任意の複素数 s での L(E, s) の値についていうことができる。バーチ・スウィナトン＝ダイヤー予想は s = 1 での曲線のL-函数の振る舞いへ曲線の数論を関連付ける。さらに詳しくは、s = 1 でのL-函数の位数は、E のランクに等しく、楕円曲線に関連するいくつかの量を表すこの点での L(E, s) ローラン級数の[[主要項]]であることを予想している。
<!--This product [[absolute convergence|converges]] for Re(''s'') > 3/2 only. Hasse's conjecture affirms that the ''L''-function admits an [[analytic continuation]] to the whole complex plane and satisfies a [[functional equation]] relating, for any ''s'', ''L''(''E'', ''s'') to ''L''(''E'', 2 − ''s''). In 1999 this was shown to be a consequence of the proof of the Shimura–Taniyama–Weil conjecture, which asserts that every elliptic curve over ''Q'' is a [[modular curve]], which implies that its ''L''-function is the ''L''-function of a [[modular form]] whose analytic continuation is known.

One can therefore speak about the values of ''L''(''E'', ''s'') at any complex number ''s''. The Birch-Swinnerton-Dyer conjecture relates the arithmetic of the curve to the behavior of its ''L''-function at ''s'' = 1. More precisely, it affirms that the order of the ''L''-function at ''s'' = 1 equals the rank of ''E'' and predicts the [[leading term]] of the Laurent series of ''L''(''E'', ''s'') at that point in terms of several quantities attached to the elliptic curve.-->

[[リーマン予想]]と良く似ていて、この予想は次の 2つを含む多くの結果を持っている。
* n を奇数の{{仮リンク|非平方|en|square free}}(square free)である整数とする。バーチ・スウィナトン＝ダイヤー予想が成立することを前提とすると、n が有理数の辺の長さを持つ直角三角形の面積となる（[[合同数]]である）ことは、<math>2x^2 + y^2 + 8z^2 = n</math> を満たす整数 (x, y, z) の三つ組の数が、<math>2x^2 + y^2 + 32z^2 = n</math> を満たす三つ組の数の 2倍であることと同値である。このステートメントは、[[合同数#タネルの定理|タネルの定理]](Tunnell's theorem)により n が合同数であることと、楕円曲線 <math>y^2 = x^3 - n^2x</math> が無限オーダーの有理点を持っていることに関連付ける（バーチ・スウィンナートン=ダイヤー予想を前提とすると、L-函数は 1 で零点を持つ）。ここで言っていることの主眼は、条件が簡単に評価されることである。<ref>{{Harvard citations|author=Koblitz|year=1993|nb=yes}}</ref>
*別な方向としては、ある解析的方法はL-函数の族の{{仮リンク|クリティカル帯状領域|en|critical strip}}(critical strip)の中心での 0 のオーダーを見積もることを可能とする。BSD予想を仮定すると、これらの見積もりは、問題の楕円曲線の族のランクについての情報に対応する。例えば、<ref>D. R. Heath-Brown, The average analytic rank of elliptic curves, ''Duke Mathematical Journal'' 122–3, 591–623 (2004).</ref> は、[[一般化されたリーマン予想]](generalized Riemann hypothesis)とBSD予想を想定して、<math>y^2=x^3+ax+b</math> で与えられる楕円曲線の平均ランクは 2 よりも小さいことが示された。
<!--Much like the [[Riemann hypothesis]], this conjecture has multiple consequences, including the following two:
* Let ''n'' be an odd [[square-free integer]]. Assuming the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, ''n'' is the area of a right triangle with rational side lengths (a [[congruent number]]) if and only if the number of triplets of integers (''x'', ''y'', ''z'') satisfying <math>2x^2 + y^2 + 8z^2 = n</math> is twice the number of triples satisfying <math>2x^2 + y^2 + 32z^2 = n</math>. This statement, due to [[Tunnell's theorem|Tunnell]], is related to the fact that ''n'' is a congruent number if and only if the elliptic curve <math>y^2 = x^3 - n^2x</math> has a rational point of infinite order (thus, under the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, its ''L''-function has a zero at 1). The interest in this statement is that the condition is easily verified.<ref>{{Harvard citations|author=Koblitz|year=1993|nb=yes}}</ref>
*In a different direction, certain analytic methods allow for an estimation of the order of zero in the center of the [[critical strip]] of families of ''L''-functions. Admitting the BSD conjecture, these estimations correspond to information about the rank of families of elliptic curves in question. For example:<ref>D. R. Heath-Brown, The average analytic rank of elliptic curves, ''Duke Mathematical Journal'' 122–3, 591–623 (2004).</ref> suppose the [[generalized Riemann hypothesis]] and the BSD conjecture, the average rank of curves given by <math>y^2=x^3+ax+b</math> is smaller than 2.-->

===モジュラリティ定理とフェルマーの最終定理への応用===
{{Main|谷山志村予想}}
モジュラリティ定理は、以前は谷山志村予想としても知られていたが、'''Q''' の上の全ての楕円曲線 E は[[モジュラ曲線]]であるということであり、言い換えると、楕円曲線のハッセ・ヴェイユのゼータ函数はウェイト 2 でレベル 1 の[[モジュラ形式]]のL-函数であるということを言っている。ここに N はアーベル多様体 E の{{仮リンク|アーベル多様体の導手|label=導手|en|Conductor of an abelian variety}}(conductor)である。（導手とは、E の判別式  Δ(E) として同じ素数により割ることのできる整数を言う。）言い換えると、Re(''s'') > 3/2 に対し、L-函数を
:<math>L(E(\mathbf{Q}), s) = \sum_{n>0}a(n)n^{-s}</math>
の形に書くと、
:<math>\sum a(n) q^n, \qquad q = \exp(2 \pi i z)</math>
はウェイト 2 でレベル N の双曲モジュラ形式の{{仮リンク|新形式|en|newform}}(newform)を定義する。N を割らない素数 ℓ に対して、モジュラ形式の係数 a(ℓ) は ℓ に等しい、つまり、modulo ℓ での最小多項式の解の個数に等しい。
<!--===The modularity theorem and its application to Fermat's Last Theorem===
{{Main|Modularity theorem}}
The modularity theorem, once known as the Taniyama–Shimura–Weil conjecture, states that every elliptic curve ''E'' over '''Q''' is a [[modular curve]], that is to say, its Hasse–Weil zeta function is the ''L''-function of a [[modular form]] of weight 2 and level ''N'', where ''N'' is the [[Conductor of an abelian variety|conductor]] of ''E'' (an integer divisible by the same prime numbers as the discriminant of ''E'', Δ(''E'').) In other words, if, for Re(''s'') > 3/2, one writes the ''L''-function in the form
:<math>L(E(\mathbf{Q}), s) = \sum_{n>0}a(n)n^{-s}</math>

the expression
:<math>\sum a(n) q^n, \qquad q = \exp(2 \pi i z)</math>

defines a parabolic modular [[newform]] of weight 2 and level ''N''. For prime numbers ℓ not dividing ''N'', the coefficient ''a''(ℓ) of the form equals ℓ – the number of solutions of the minimal equation of the curve modulo ℓ.-->

<ref>計算は、例えば D. Zagier, « Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms », ''Lecture Notes in Mathematics'' 1111, Springer, 1985, 225–248 を参照</ref> 判別式（と導手）が 37 である楕円函数 <math>y^2 - y = x^3 -x</math> の例は、モジュラ形式
:<math>f(z) = q - 2q^2 - 3q^3 + 2q^4 - 2q^5 + 6q^6 + \cdots, \qquad q = \exp(2 \pi i z)</math>
に関係付けられている。

ℓ を 37 とは異なる素数とすると、係数の性質を比較することができる。従って、ℓ = 3 とすると modulo 3 の方程式の解は (0, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1) であり、a(3) = 3 − 6 = −3 である。
<!--For example,<ref>For the calculations, see for example D. Zagier, « Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms », ''Lecture Notes in Mathematics'' 1111, Springer, 1985, 225–248.</ref> to the elliptic curve <math>y^2 - y = x^3 -x</math> with discriminant (and conductor) 37, is associated the form
:<math>f(z) = q - 2q^2 - 3q^3 + 2q^4 - 2q^5 + 6q^6 + \cdots, \qquad q = \exp(2 \pi i z)</math>

For prime numbers ℓ distinct of 37, one can verify the property about the coefficients. Thus, for ℓ = 3, the solutions of the equation modulo 3 are (0, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), as and ''a''(3) = 3 − 6 = −3.-->

予想は、50年ほどさかのぼるが、1999年に[[アンドリュー・ワイルズ]](Andrew Wiles)のアイデアを使い完全に証明された。彼は1994年大きな楕円曲線の族についてこの予想を証明した。<ref>A synthetic presentation (in French) of the main ideas can be found in [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_1994-1995__37_/SB_1994-1995__37__319_0/SB_1994-1995__37__319_0.pdf this] [[Bourbaki]] article of [[Jean-Pierre Serre]]. For more details see {{Harvard citations |last=Hellegouarch |year=2001 |nb=yes}}</ref>

予想には様々な定式がある。これらが同値であることを示すことは難しく、20世紀の後半の数論の主要なテーマであった。導手 N の楕円曲線 E のモジュラリティは、モジュラ曲線 X<sub>0</sub>(N) から E への、'''Q''' 上に定義された非定数の[[有理写像]]が存在することも表すことができる。特に、E の点は[[モジュラ函数]](modular function)によりパラメトライズされる。
<!--The conjecture, going back to the fifties, was completely proven by 1999 using ideas of [[Andrew Wiles]], who proved it in 1994 for a large family of elliptic curves.<ref>A synthetic presentation (in French) of the main ideas can be found in [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_1994-1995__37_/SB_1994-1995__37__319_0/SB_1994-1995__37__319_0.pdf this] [[Bourbaki]] article of [[Jean-Pierre Serre]]. For more details see {{Harvard citations |last=Hellegouarch |year=2001 |nb=yes}}</ref>

There are several formulations of the conjecture. Showing that they are equivalent is difficult and was a main topic of number theory in the second half of the 20th century. The modularity of an elliptic curve ''E'' of conductor ''N'' can be expressed also by saying that there is a non-constant [[rational map]] defined over '''Q''', from the modular curve ''X''<sub>0</sub>(''N'') to ''E''. In particular, the points of ''E'' can be parametrized by [[modular function]]s.-->

例えば、曲線 <math>y^2 - y = x^3 - x</math> のモジュラパラメータ化は <ref>D. Zagier, « Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms », ''Lecture Notes in Mathematics'' 1111, Springer, 1985, 225–248</ref> により与えられた。

:<math>\begin{align}
  x(z) &= q^{-2} + 2q^{-1} + 5 + 9q + 18q^2 + 29q^3 + 51q^4 +\ldots\\
  y(z) &= q^{-3} + 3q^{-2} + 9q^{-1} + 21 + 46q + 92q^2 + 180q^3 +\ldots
\end{align}</math>

ここでは、上記のように q = exp(2πiz) とする。函数 x(z) と y(z) はウェイト 0 でレベル 37 のモジュラ函数で、言い換えると、それらは[[上半平面]] Im(''z'') > 0 で定義された[[有理型函数|有理型]]で、函数等式
:<math>x\left(\frac{az + b}{cz + d}\right) = x(z)</math>
を満たす。また同じことが、ad − bc = 1 かつ 37|c となる全ての整数 a, b, c, d と y(z) について成り立つ。
<!--For example, a modular parametrization of the curve <math>y^2 - y = x^3 - x</math> is given by<ref>D. Zagier, « Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms », ''Lecture Notes in Mathematics'' 1111, Springer, 1985, 225–248.</ref>

:<math>\begin{align}
  x(z) &= q^{-2} + 2q^{-1} + 5 + 9q + 18q^2 + 29q^3 + 51q^4 +\ldots\\
  y(z) &= q^{-3} + 3q^{-2} + 9q^{-1} + 21 + 46q + 92q^2 + 180q^3 +\ldots
\end{align}</math>

where, as above, ''q'' = exp(2π''iz''). The functions ''x(z)'' and ''y(z)'' are modular of weight 0 and level 37; in other words they are [[meromorphic]], defined on the [[upper half-plane]] Im(''z'') > 0 and satisfy
:<math>x\left(\frac{az + b}{cz + d}\right) = x(z)</math>

and likewise for ''y(z)'' for all integers ''a, b, c, d'' with ''ad'' − ''bc'' = 1 and 37|''c''.-->

別な定式化は、一方では楕円曲線に、他方ではモジュラ形式に関連する{{仮リンク|ガロア表現|en|Galois representation}}(Galois representation)の比較に依拠している。モジュラ形式に関係付けられた定式化は予想の証明に使用された。形式のレベルを扱うこと（と曲線の導手との関係）は特に微妙である。

予想の最も重要な応用は[[フェルマーの最終定理]](FLT)の証明である。素数 p > 5 に対して、フェルマー方程式
:<math>a^p + b^p = c^p</math>
は、零ではない整数解を持持つとする、つまり、フェルマーの最終定理の反例であるとすると、判別式
:<math>\Delta = \frac{1}{256}(abc)^{2p}</math>
の楕円曲線
:<math>y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)</math>
は、モジュラではありえない。従って、楕円曲線のこの族（ヘレゴーチ・フライ曲線(Hellegouarch–Frey curves)と呼ぶ）の谷山志村予想の証明は、フェルマーの最終定理を意味する。2つのステートメントを結び付ける証明は、[[ゲルハルト・フライ]](Gerhard Frey)の1985年のアイデアを基礎にしていて、難しくテクニカルである。1987年に[[ケン・リベット|ケン・リベ]](Kenneth Ribet)により出版された。<ref>See the survey of K. Ribet «From the Taniyama–Shimura conjecture to Fermat's Last Theorem», Annales de la Faculté des sciences de Toulouse 11 (1990), 116–139.</ref>
<!--Another formulation depends on the comparison of [[Galois representation]]s attached on the one hand to elliptic curves, and on the other hand to modular forms. The latter formulation has been used in the proof the conjecture. Dealing with the level of the forms (and the connection to the conductor of the curve) is particularly delicate.

The most spectacular application of the conjecture is the proof of [[Fermat's Last Theorem]] (FLT). Suppose that for a prime ''p'' > 5, the Fermat equation
:<math>a^p + b^p = c^p</math>

has a solution with non-zero integers, hence a counter-example to FLT. Then the elliptic curve
:<math>y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)</math>

of discriminant
:<math>\Delta = \frac{1}{256}(abc)^{2p}</math>

cannot be modular. Thus, the proof of the Taniyama–Shimura–Weil conjecture for this family of elliptic curves (called Hellegouarch–Frey curves) implies FLT. The proof of the link between these two statements, based on an idea of [[Gerhard Frey]] (1985), is difficult and technical. It was established by [[Kenneth Ribet]] in 1987.<ref>See the survey of K. Ribet «From the Taniyama–Shimura conjecture to Fermat's Last Theorem», Annales de la Faculté des sciences de Toulouse 11 (1990), 116–139.</ref>-->

===整数点===
このセクションは、x が整数であるような E の点 P = (x, y) に関係している。<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Chapter IX}}</ref> 次の定理は、[[カール・ジーゲル]](C. L. Siegel)による。x が整数であるような E('''Q''') の点 P = (x, y) の集合は有限集合である。この定理は、x の座標の分母が有限個の素数によってのみ割ることのできる点へと一般化される。

定理を分かりやすく定式化できて、例えば、<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem IX.5.8.}}, due to Baker.</ref> によると、E のワイエルシュトラスの方程式が定数 H により有界付けられた整数係数を持つ方程式であれば、x も y も整数である E の点の座標 (x, y) は、
:<math>\max (|x|, |y|) < \exp\left(\left[10^6H\right]^{{10}^6}\right)</math>
を満たす。

例えば、方程式 y<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> + 17 は y > 0 の 8 個の整数解を持つ。<ref>T. Nagell, ''L'analyse indéterminée de degré supérieur'', Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.</ref>
:(''x'',''y'') = (−1,4), (−2,3), (2,5), (4,9), (8,23), (43,282), (52,375), (5234,378661).

別な例は、{{仮リンク|ステラオクタギュラ数|label=ルジャングレンの方程式|en|Stella octangula number}}(Ljunggren's equation)で、ワイエルシュトラス形式は y<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> − 2x であり、この曲線は y ≥ 0 で 4個の解しか持たない。<ref>{{citation|url=http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/theses/siksek_thesis.pdf|first=Samir|last=Siksek|series=Ph.D. thesis | publisher=University of Exeter |year=1995|title=Descents on Curves of Genus I|pages=16–17}}.</ref>
:(x,y) = (0,0), (−1,1), (2, 2), (338,6214).
<!--===Integral points===
This section is concerned with points ''P'' = (''x'', ''y'') of ''E'' such that ''x'' is an integer.<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Chapter IX}}</ref> The following theorem is due to [[C. L. Siegel]]: the set of points ''P'' = (''x'', ''y'') of ''E''('''Q''') such that ''x'' is an integer is finite. This theorem can be generalized to points whose ''x'' coordinate has a denominator divisible only by a fixed finite set of prime numbers.

The theorem can be formulated effectively. For example,<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem IX.5.8.}}, due to Baker.</ref> if the Weierstrass equation of ''E'' has integer coefficients bounded by a constant ''H'', the coordinates (''x'', ''y'') of a point of ''E'' with both ''x'' and ''y'' integer satisfy:
:<math>\max (|x|, |y|) < \exp\left(\left[10^6H\right]^{{10}^6}\right)</math>

For example, the equation ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + 17 has eight integral solutions with ''y'' > 0 :<ref>T. Nagell, ''L'analyse indéterminée de degré supérieur'', Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.</ref>
:(''x'',''y'') = (−1,4), (−2,3), (2,5), (4,9), (8,23), (43,282), (52,375), ({{gapnum|5234}},{{gapnum|378661}}).

As another example,  [[Stella octangula number|Ljunggren's equation]], a curve whose Weierstrass form is ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − 2''x'', has only four solutions with ''y'' ≥ 0 :<ref>{{citation|url=http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/theses/siksek_thesis.pdf|first=Samir|last=Siksek|series=Ph.D. thesis | publisher=University of Exeter |year=1995|title=Descents on Curves of Genus I|pages=16–17}}.</ref>
:(''x'',''y'') = (0,0), (−1,1), (2, 2), (338,6214).-->

===数体の一般化===
E の定義体を[[代数体|数体]]とすると、言わば、'''Q''' の有限次[[体の拡大|拡大]]とすると、多くの以前の結果を有効に使うことができる。特に、K 上に定義された楕円曲線 E の K-有理点の群 E(K) は有限生成であり、このことは上記のモーデル・ヴェイユの定理へと一般化される。{{仮リンク|ロイック・メレル|en|Loïc Merel}}(Loïc Merel)による定理は、与えられた整数 d に対し、同型を除いて、{{仮リンク|体の拡大次数|en|degree of a field extension}}(degree) d の数体 K 上に定義された代数曲線の E(K) の捩れ群として作ることが可能な群は、有限個しかない。さらに詳しくは、<ref>{{cite journal |first=L. |last=Merel | authorlink=Loïc Merel | title=Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres | language=French | journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=124 |year=1996 |issue=1–3 |pages=437–449 | zbl=0936.11037 | doi=10.1007/s002220050059 }}</ref> 数値 B(d) が存在して、次数 d の数体 K 上の任意の楕円曲線 E に対し、任意の E(K) の捩れ点が B(d) よりも小さな[[群 (数学)#位数|位数]]を持つ。この定理は、d > 1 に対して、捩れ点が素数である位数 p の場合は、
:<math>p < d^{3d^2}</math>
となることを言っている。

整数点に関して、ジーゲルの定理は次のように一般化される。E を数体 K 上の楕円曲線、x と y をワイエルシュトラス座標とすると、x-座標が[[整数環]] O<sub>K</sub> に属するような E(K) の点は有限個しかない。

ハッセ・ヴェイユのゼータ函数の性質とバーチ・スウィナトン＝ダイヤーの予想は、さらに一般的な状況のへ拡張することができる。
<!--===Generalization to number fields===
Many of the preceding results remain valid when the field of definition of ''E'' is a [[number field]], that is to say, a finite [[field extension]] of '''Q'''. In particular, the group ''E(K)'' of ''K''-rational points of an elliptic curve ''E'' defined over ''K'' is finitely generated, which generalizes the Mordell–Weil theorem above. A theorem due to [[Loïc Merel]] shows that for a given integer ''d'', there are ([[up to]] isomorphism) only finitely many groups that can occur as the torsion groups of ''E''(''K'') for an elliptic curve defined over a number field ''K'' of [[degree of a field extension|degree]] ''d''. More precisely,<ref>{{cite journal |first=L. |last=Merel | authorlink=Loïc Merel | title=Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres | language=French | journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=124 |year=1996 |issue=1–3 |pages=437–449 | zbl=0936.11037 | doi=10.1007/s002220050059 }}</ref> there is a number ''B''(''d'') such that for any elliptic curve ''E'' defined over a number field ''K'' of degree ''d'', any torsion point of ''E''(''K'') is of [[order (group theory)|order]] less than ''B''(''d''). The theorem is effective: for ''d'' > 1, if a torsion point is of order ''p'', with ''p'' prime, then
:<math>p < d^{3d^2}</math>

As for the integral points, Siegel's theorem generalizes to the following: let ''E'' be an elliptic curve defined over a number field ''K'', ''x'' and ''y'' the Weierstrass coordinates. Then the points of ''E(K)'' whose ''x''-coordinate is in the [[ring of integer]]s ''O''<sub>''K''</sub> is finite.

The properties of the Hasse–Weil zeta function and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture can also be extended to this more general situation.-->

==一般の体上の楕円曲線==
楕円曲線は任意の[[体 (数学)|体]] K 上で定義することができる。楕円曲線の公式な定義は、K 上で定義された点を持ち、[[種数]] 1 の K 上の非特異射影代数多様体ことを言う。

K の[[標数]]が 2 でも 3 でもなければ、全ての K 上の楕円曲線は、
:<math>y^2 = x^3 - px - q</math>
の形に書くことができる。ここに p と q は K の元で、多項式の右辺 x<sup>3</sup> − px − q は二重点を持たない。標数が 2 や 3 であれば、さらに項を注意深く扱わねばならなく、標数 3 の場合は、最も一般的な方程式は、多項式の右辺が異なる根（記法は歴史的な理由を持っている）を持つような任意の定数 b<sub>2</sub>, b<sub>4</sub>, b<sub>6</sub> に対し、
:<math>y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6</math>
の形をしている。

標数 2 の場合は、以上のようなことな不可能で、最も一般的な方程式である
:<math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math>
が、非特異な多様体を与える。標数が問題にならない場合は、各々の方程式は、適切な変数変換により前の方程式となる。

一つの典型例を挙げると、全ての曲線の点 (x,y) が上の方程式を満たし、そのような点 x と y が K の[[代数的閉包]]に属するとする。K に属する座標を持つ点は、'''K-有理点'''と呼ばれる。
<!--==Elliptic curves over a general field==
Elliptic curves can be defined over any [[field (mathematics)|field]] ''K''; the formal definition of an elliptic curve is a non-singular projective algebraic curve over ''K'' with [[genus (mathematics)|genus]] 1 with a given point defined over ''K''.

If the [[characteristic (algebra)|characteristic]] of ''K'' is neither 2 nor 3, then every elliptic curve over ''K'' can be written in the form
:<math>y^2 = x^3 - px - q</math>

where ''p'' and ''q'' are elements of ''K'' such that the right hand side polynomial ''x''<sup>3</sup> − ''px'' − ''q'' does not have any double roots. If the characteristic is 2 or 3, then more terms need to be kept: in characteristic 3, the most general equation is of the form
:<math>y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6</math>

for arbitrary constants ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>4</sub>, ''b''<sub>6</sub> such that the polynomial on the right-hand side has distinct roots (the notation is chosen for historical reasons).  In characteristic 2, even this much is not possible, and the most general equation is

:<math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math>

provided that the variety it defines is non-singular. If characteristic were not an obstruction, each equation would reduce to the previous ones by a suitable change of variables.

One typically takes the curve to be the set of all points (''x'',''y'') which satisfy the above equation and such that both ''x'' and ''y'' are elements of the [[algebraic closure]] of ''K''. Points of the curve whose coordinates both belong to ''K'' are called '''''K''-rational points'''.-->

一般の[[体 (数学)|体]] ''k'' 上の'''楕円曲線'''は、[[射影平面]] ''P''<sup>2</sup>(''k'') の非特異三次曲線
:<math>y^2z + a_1xyz + a_3yz^2 = x^3 + a_2x^2 z + a_4xz^2 + a_6z^3\,</math>
と書くことができる。この式は、三次曲線の[[変曲点]]が (0,1,0) にあり、その接線が z = 0 であるとした時に得られる形で、'''[[カール・ワイエルシュトラス|ワイエルシュトラス]]の標準形'''と呼ばれる。この斉次式を非斉次形に直すと
:<math>y^2+{a_1}xy+{a_3}y=x^3+{a_2}x^2+{a_4}x+a_6\,</math>
となる。

==同種==
{{Further|同種 (数学)}}
E と D を体 k 上の楕円曲線とする。E と D の間の'''同種'''(isogeny)は、基点を保つ[[アーベル多様体]]の間の{{仮リンク|有限射|en|finite morphism}}(finite morphism) f : E → D である（言い換えると、写像は E 上の与えられた点から D 上の点へ写像する）。

2つの楕円曲線が'''同種'''とは、それらの間に同種写像があるときを言う。この関係は[[同値関係]]であり、{{仮リンク|双対同種|en|dual isogeny}}(dual isogeny)の存在により[[対称性|対称的]]である。全ての同種は、代数的[[準同型]]であり、このようにして k に値を持つ楕円曲線の[[群 (数学)|群]]の準同型が導出される。
<!--==Isogeny==
{{Further|Isogeny}}
Let ''E'' and ''D'' be elliptic curves over a field ''k''. An ''isogeny'' between ''E'' and ''D'' is a [[finite morphism]] ''f'' : ''E'' → ''D'' of [[Abelian variety|varieties]] that preserves basepoints (in other words, maps the given point on ''E'' to that on ''D'').

The two curves are called ''isogenous'' if there is an isogeny between them. This is an [[equivalence relation]], [[symmetric|symmetry]] being due to the existence of the [[dual isogeny]]. Every isogeny is an algebraic [[homomorphism]] and thus induces homomorphisms of the [[Group (mathematics)|groups]] of the elliptic curves for ''k''-valued points.-->

==有限体上の楕円曲線==
{{Further|アーベル多様体の数論}}

[[File:Elliptic curve on Z61.svg|thumb|right|360px|有限体 '''F'''<sub>61</sub> 上の楕円曲線 y<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> − x のアフィン点の集合]]

K = '''F'''<sub>q</sub> を q 個の元を持つ[[有限体]]として、E を K 上に定義された楕円曲線とする。K 上の{{仮リンク|楕円曲線の点の数を数える|label=楕円曲線 E の有理点の数|en|Counting points on elliptic curves}}(number of rational points of an elliptic curve)を正確に数えることは、一般には計算することが難しい。[[楕円曲線のハッセの定理]]は、無限遠点を含めると、この数を、
:<math>|\mathrm{card} E(K) - (q + 1) | \le 2\sqrt{q}</math>
と見積もることができることを教えている。

言い換えると、曲線の点の数は、大まかには、体の元の数の増加具合と同じ増加具合を示している。この事実は一般的な理論の助けを借りて理解し証明することができる。[[合同ゼータ函数|局所ゼータ函数]]や[[エタールコホモロジー]]を参照。
<!--==Elliptic curves over finite fields==
{{Further|arithmetic of abelian varieties}}

[[File:Elliptic curve on Z61.svg|thumb|right|275px|Set of affine points of elliptic curve ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' over finite field '''F'''<sub>61</sub>.]]

Let ''K'' = '''F'''<sub>''q''</sub> be the [[finite field]] with ''q'' elements and ''E'' an elliptic curve defined over ''K''. While the precise [[Counting points on elliptic curves|number of rational points of an elliptic curve]] ''E'' over ''K'' is in general rather difficult to compute, [[Hasse's theorem on elliptic curves]] gives us, including the point at infinity, the following estimate:
:<math>|\mathrm{card} E(K) - (q + 1) | \le 2\sqrt{q}</math>

In other words, the number of points of the curve grows roughly as the number of elements in the field. This fact can be understood and proven with the help of some general theory; see [[local zeta function]], [[Étale cohomology]].-->

[[File:Elliptic curve on Z89.svg|thumb|left|360px|有限群 '''F'''<sub>89</sub> 上の楕円曲線 y<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> − x のアフィン点の集合]]

点 E('''F'''<sub>q</sub>) の集合は有限アーベル群である。常に、巡回的か、もしくは 2つの巡回群の積となる。例えば、<ref>{{Harvard citations|last=Koblitz|year=1994|nb=yes|loc=p. 158}}</ref> では、
:<math>y^2 = x^3 - x</math>
で '''F'''<sub>71</sub> 上に定義される楕円曲線は 72 個の点をもち（(0,0) を含む 71 個のアフィン点と無限遠点をひとつ持っている）、その群構造は、'''Z'''/2'''Z''' × '''Z'''/36'''Z''' で与えられる。特別な曲線の点の数は、{{仮リンク|シューフのアルゴリズム|en|Schoof's algorithm}}(Schoof's algorithm)により計算することができる。
<!--[[File:Elliptic curve on Z89.svg|thumb|left|275px|Set of affine points of elliptic curve ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' over finite field '''F'''<sub>89</sub>.]]

The set of points ''E''('''F'''<sub>''q''</sub>) is a finite abelian group. It is always cyclic or the product of two cyclic groups. For example,<ref>See {{Harvard citations|last=Koblitz|year=1994|nb=yes|loc=p. 158}}</ref> the curve defined by
:<math>y^2 = x^3 - x</math>

over '''F'''<sub>71</sub> has 72 points (71 affine points including (0,0) and one [[point at infinity]]) over this field, whose group structure is given by '''Z'''/2'''Z''' × '''Z'''/36'''Z'''. The number of points on a specific curve can be computed with [[Schoof's algorithm]].-->

'''F'''<sub>''q''</sub> の[[体の拡大|拡大体]]上の曲線の研究は、'''F'''<sub>q</sub> 上の E の局所ゼータ函数を導入することにより促進された。局所ゼータ函数は、上記のように一般化された級数
:<math>Z(E(K), T) \equiv \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{card} \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right)</math>
により定義される。ここに体 K<sub>n</sub> 唯一の体 K = '''F'''<sub>q</sub> の次数 n の拡大、つまり '''F'''<sub>q<sup>n</sup></sub> である。ゼータ函数は T の有理函数である。ある整数 a が存在し、
:<math>Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}</math>
となる。

さらに、[[絶対値]]が <math>\scriptstyle \sqrt{q}</math> であるの複素数 α, β とすると、
:<math>\begin{align}
  Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) &= Z(E(K), T)\\
         \left(1 - aT + qT^2 \right) &= (1 - \alpha T)(1 - \beta T)
\end{align}</math>
が成り立つ。この結果は[[ヴェイユ予想]]<ref>ヴェイユ予想は、1974年にデリーニュにより解決された。また、[[ステパノフ]]は代数幾何学を用いない比較的初等的な方法により、有限体上の代数曲線の有理点の個数についてヴェイユの定理ほど強くはないが類似の定理を証明し、楕円曲線の場合にはハッセの評価と同じく <math>\left| N-q-1\right|\leq 2q^{1/2}</math> が導かれることを示した。Lidl, Niederreiter, 1974, 第5-6章およびSchmidt, 1976, 2004, 第1-2章.</ref>
の特別な場合である。例えば、<ref>{{Harvard citations|last=Koblitz|year=1994|nb=yes|loc=p. 160}}</ref> では、体 '''F'''<sub>2</sub> 上の E のゼータ函数である y<sup>2</sup> + y = x<sup>3</sup> は、
:<math>\frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}</math>
により与えられる。このことは、次の式に従う。
:<math> \left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases} 2^r + 1 & r \text{ odd} \\ 2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2}} & r \text{ even} \end{cases} </math>
<!--Studying the curve over the [[field extension]]s of '''F'''<sub>''q''</sub> is facilitated by the introduction of the local zeta function of ''E'' over '''F'''<sub>''q''</sub>, defined by a generating series (also see above)
:<math>Z(E(K), T) \equiv \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{card} \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right)</math>

where the field ''K<sub>n</sub>'' is the (unique) extension of ''K'' = '''F'''<sub>''q''</sub> of degree ''n'' (that is,  '''F'''<sub>''q<sup>n</sup>''</sub>). The zeta function is a rational function in ''T''. There is an integer ''a'' such that

:<math>Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}</math>

Moreover,

:<math>\begin{align}
  Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) &= Z(E(K), T)\\
         \left(1 - aT + qT^2 \right) &= (1 - \alpha T)(1 - \beta T)
\end{align}</math>

with complex numbers α, β of [[absolute value]] <math>\scriptstyle \sqrt{q}</math>. This result are a special case of the [[Weil conjectures]]. For example,<ref>{{Harvard citations|last=Koblitz|year=1994|nb=yes|loc=p. 160}}</ref> the zeta function of ''E'' : ''y''<sup>2</sup> + ''y'' = ''x''<sup>3</sup> over the field '''F'''<sub>2</sub> is given by
:<math>\frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}</math>

this follows from:
:<math> \left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases} 2^r + 1 & r \text{ odd} \\ 2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2}} & r \text{ even} \end{cases} </math>-->

[[File:Elliptic curve on Z71.svg|thumb|right|360px|有限体 '''F'''<sub>71</sub> 上の楕円曲線 y<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> − x のアフィン点の集合]]

[[佐藤・テイト予想]]は、'''Q''' 上の楕円曲線 E を modulo q で還元すると、異なる素数 q とどのようにハッセの定理の中のエラー項 <math>\scriptstyle 2\sqrt{q}</math> が変わるのかについての言明である。佐藤・テイト予想は（ほとんどすべてのそのような曲線に対し）、2006年にテイラー(Taylor), ハリス(Harris), シェファード・バロン(Shepherd-Barron)の結果により証明され、<ref>{{cite journal |first=M. |last=Harris |first2=N. |last2=Shepherd-Barron |first3=R. |last3=Taylor |title=A family of Calabi–Yau varieties and potential automorphy |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=171 |issue=2 |pages=779-813|year=2010 |doi=10.4007/annals.2010.171.779 }}</ref> エラー項が等分分布していることを言っている。

有限体の上の楕円曲線は、大きな整数の[[素因数分解]]として[[暗号理論]]の中で応用されている。これらのアルゴリズムは、E の点上の群構造を使っているものもある。一般の群に適用された、例えば有限体の可逆元の群 '''F'''*<sub>q</sub> のようなアルゴリズムは、楕円曲線の上の点の群へ応用することができる。例えば、[[離散対数]]はそのようなアルゴリズムである。離散対数への興味は、q 選ぶよりもよりフレキシブルに楕円曲線を選ぶことができる（'''F'''<sub>q</sub> の単元群を選ぶことができる）。また、楕円曲線の群構造は、一般にはより複雑である。
<!--[[File:Elliptic curve on Z71.svg|thumb|right|350px|Set of affine points of elliptic curve ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' over finite field '''F'''<sub>71</sub>.]]

The [[Sato–Tate conjecture]] is a statement about how the error term <math>\scriptstyle 2\sqrt{q}</math> in Hasse's theorem varies with the different primes ''q'', if you take an elliptic curve E over '''Q''' and reduce it modulo q. It was proven (for almost all such curves) in 2006 due to the results of Taylor, Harris and Shepherd-Barron,<ref>{{cite journal |first=M. |last=Harris |first2=N. |last2=Shepherd-Barron |first3=R. |last3=Taylor |title=A family of Calabi–Yau varieties and potential automorphy |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=171 |issue=2 |pages=779-813|year=2010 |doi=10.4007/annals.2010.171.779 }}</ref> and says that the error terms are equidistributed.

Elliptic curves over finite fields are notably applied in [[cryptography]] and for the [[factorization]] of large integers. These algorithms often make use of the group structure on the points of ''E''. Algorithms that are applicable to general groups, for example the group of invertible elements in finite fields, '''F'''*<sub>''q''</sub>, can thus be applied to the group of points on an elliptic curve. For example, the [[discrete logarithm]] is such an algorithm. The interest in this is that choosing an elliptic curve allows for more flexibility than choosing ''q'' (and thus the group of units in '''F'''<sub>''q''</sub>). Also, the group structure of elliptic curves is generally more complicated.-->
<!--{{Voir aussi|Factorisation en courbe elliptique de Lenstra|Cryptologie sur les courbes elliptiques|Elliptic curve digital signature algorithm}}-->

==楕円曲線を使ったアルゴリズム==
有限体上の楕円曲線は、整数の[[素因数分解]]への応用と同じように、[[暗号理論]]への応用にも使われる。典型的には、暗号理論への応用の一般論は、ある有限群を使った知られている[[アルゴリズム]]を、楕円曲線の有理点の群を使うように書き換えて使う。さらに以下を参照。
* [[楕円曲線暗号]](Elliptic curve cryptography)
* [[楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有]](Elliptic curve Diffie–Hellman)
* [[楕円曲線DSA]](Elliptic Curve DSA)
* {{仮リンク|EdDSA|en|EdDSA}}(EdDSA)
* {{仮リンク|双対_EC_DRBG|en|Dual_EC_DRBG}}(Dual_EC_DRBG)
* {{仮リンク|レンストラ楕円曲線分解|en|Lenstra elliptic curve factorization}}(Lenstra elliptic curve factorization)
* {{仮リンク|素数性証明楕円曲線|en|Elliptic curve primality proving}}(Elliptic curve primality proving)
<!--==Algorithms that use elliptic curves==
Elliptic curves over finite fields are used in some [[cryptography|cryptographic]] applications as well as for [[integer factorization]]. Typically, the general idea in these applications is that a known [[algorithm]] which makes use of certain finite groups is rewritten to use the groups of rational points of elliptic curves. For more see also:
* [[Elliptic curve cryptography]]
* [[Elliptic curve Diffie–Hellman]]
* [[Elliptic Curve DSA]]
* [[EdDSA]]
* [[Dual_EC_DRBG]]
* [[Lenstra elliptic curve factorization]]
* [[Elliptic curve primality proving]]-->

==楕円曲線の別の表現==
* {{仮リンク|楕円曲線のヘッセ形式|label=ヘッセ曲線|en|Hessian form of an elliptic curve}}(Hessian curve)
* {{仮リンク|エドワーズ曲線|en|Edwards curve}}(Edwards curve)
* {{仮リンク|曲線のツイスト|en|Twists of curves}}(Twisted curve)
* {{仮リンク|ツイストしたヘッセ曲線|en|Twisted Hessian curves}}(Twisted Hessian curve)
* {{仮リンク|ツイストしたエドワーズ曲線|en|Twisted Edwards curve}}(Twisted Edwards curve)
* {{仮リンク|二重向き付けドッチェ・イカート・コーヘル曲線|en|Doubling-oriented Doche–Icart–Kohel curve}}(Doubling-oriented Doche–Icart–Kohel curve)
* {{仮リンク|三重向き付けドッチェ・イカート・コーヘル曲線|en|Tripling-oriented Doche–Icart–Kohel curve}}(Tripling-oriented Doche–Icart–Kohel curve)
* {{仮リンク|ヤコビ曲線|en|Jacobian curve}}(Jacobian curve)
* {{仮リンク|モンゴメリ曲線|en|Montgomery curve}}(Montgomery curve)
<!--==Alternative representations of elliptic curves==
* [[Hessian form of an elliptic curve|Hessian curve]]
* [[Edwards curve]]
* [[Twists of curves|Twisted curve]]
* [[Twisted Hessian curves|Twisted Hessian curve]]
* [[Twisted Edwards curve]]
* [[Doubling-oriented Doche–Icart–Kohel curve]]
* [[Tripling-oriented Doche–Icart–Kohel curve]]
* [[Jacobian curve]]
* [[Montgomery curve]]-->

==関連項目==
*[[リーマン・フルヴィッツの公式]](Riemann–Hurwitz formula)
*{{仮リンク|ナゲル・ルッツの定理|en|Nagell–Lutz theorem}}(Nagell–Lutz theorem)　f(x) = x<sup>3</sup> + ax<sup>2</sup> + bx + c を整数係数の 3次式とする。このとき、楕円曲線 y<sup>2</sup> = f(x) 上の点 P = (x, y) が G に属するならば、P は整数点であり、y<sup>2</sup> は y = 0 でない限り、f の判別式を割り切る。
*[[数論力学]]
*[[楕円曲面]]
*[[数式処理システムの一覧]](Comparison of computer algebra systems)
*{{仮リンク|j-直線|en|j-line}}(j-line)
<!--==See also==
*[[Riemann–Hurwitz formula]]
*[[Nagell–Lutz theorem]]
*[[Arithmetic dynamics]]
*[[Elliptic surface]]
*[[Comparison of computer algebra systems]]
*[[j-line]]-->

==脚注==
{{Reflist|30em}}

==参考文献==
[[Serge Lang]]は、以下の参考文献の導入部で、「（このことは脅威ではないのだが、）楕円曲線については際限無く書き込くことができる」と言っている。このように以下の参考文献のリストは、膨大な公開されている楕円曲線の理論的、アルゴリズム的、暗号理論的な側面からベストと思われるガイドを列挙した。
* {{cite book
 | author = [[Alan Baker (mathematician)|Alan Baker]]
 | year = 1975, 1990
 | title = Transcendental Number Theory
 | publisher = Cambridge Univ. Press
 | id = ISBN 0-521-39791-X
 }}
* {{cite book
 | author = [[I. Blake]]
 | coauthors = [[G. Seroussi]], [[N. Smart]]
 | year = 2000
 | title = Elliptic Curves in Cryptography
 | series=LMS Lecture Notes
 | publisher = Cambridge University Press
 | isbn=0-521-65374-6
 }}
* {{cite book
 | author = [[Richard Crandall]]
 | coauthors = [[Carl Pomerance]]
 | year = 2001
 | title = Prime Numbers: A Computational Perspective
 | publisher = Springer-Verlag
 | edition = 1st
 | isbn=0-387-94777-9
 | chapter = Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic
 | pages = 285–352
 }}
* {{cite book
 | first=John | last=Cremona  | authorlink = John Cremona
 | year = 1997 | edition=2nd
 | title = Algorithms for Modular Elliptic Curves
 | publisher = Cambridge University Press
 | url = http://www.warwick.ac.uk/staff/J.E.Cremona//book/fulltext/index.html
 | isbn=0-521-59820-6
 }}
*{{cite book
 |    author = Darrel Hankerson, [[Alfred Menezes]] and [[Scott Vanstone]]
 |      year = 2004
 |     title = Guide to Elliptic Curve Cryptography
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 |        isbn = 0-387-95273-X
 |       url = http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/ecc/
 }}
* {{Hardy and Wright}}  Chapter XXV
* {{Cite book | last1=Hellegouarch | first1=Yves | title=Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles | publisher=Dunod | location=Paris | isbn=978-2-10-005508-1 | year=2001 | ref=harv | postscript=<!--None-->}}
* {{cite book
 | first=Dale | last=Husemöller
 | authorlink=Dale Husemöller
 | year = 2004
 | title = Elliptic Curves
 | edition = 2nd
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=111
 | publisher = Springer
 | isbn=0-387-95490-2
 }}
* {{cite book
 | author = Kenneth Ireland | authorlink = Kenneth Ireland
 | coauthors = [[Michael I. Rosen]]
 | year = 1998
 | title = A Classical Introduction to Modern Number Theory
 | volume=84 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | publisher = Springer
 | edition = 2nd revised
 | chapter = Chapters 18 and 19
 | isbn=0-387-97329-X
 }}
* {{cite book
 | author = Anthony W. Knapp | authorlink = Anthony W. Knapp
 | year = 1992
 | title = Elliptic Curves
 | series = Math Notes | volume=40
 | publisher = Princeton University Press
 }}
* {{Cite book
 | author = Koblitz |first=Neal | authorlink = Neal Koblitz
 | year = 1993 | edition=2nd
 | title = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=97
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-97966-2
 | ref = harv
 | postscript = <!--None-->
 }}
* {{Cite book
 | author = Koblitz |first = Neal | authorlink = Neal Koblitz
 | year = 1994
 | title = A Course in Number Theory and Cryptography
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=114
 | publisher = Springer-Verlag
 | edition = 2nd
 | isbn = 0-387-94293-9
 | chapter = Chapter 6
 | ref = harv
 | postscript = <!--None-->
 }}
* {{cite book | author=Serge Lang | authorlink=Serge Lang | title=Elliptic curves: Diophantine analysis | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=231 | publisher=Springer-Verlag | year=1978 | isbn=3-540-08489-4 }}
* {{cite book|author=Henry McKean |author2=Victor Moll
 |title=Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic
 |publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-65817-9|year=1999}}
* {{cite book | author=Ivan Niven | coauthors=Herbert S. Zuckerman, [[Hugh Montgomery (mathematician)|Hugh Montgomery]] | title=An introduction to the theory of numbers | edition=5th | publisher=John Wiley | year=1991 | isbn=0-471-54600-3 | chapter=Section 5.7}}
* {{Cite book
 | author = Silverman | first=Joseph H. | authorlink=Joseph H. Silverman
 | year = 1986
 | title = The Arithmetic of Elliptic Curves
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=106
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-96203-4
 | ref = harv
 | postscript = <!--None-->
 }}
* {{cite book
 | author = Joseph H. Silverman | authorlink=Joseph H. Silverman
 | year = 1994
 | title = Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=151
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-94328-5
 }}
* {{cite book
 | author = [[w:Joseph H. Silverman]]
 | coauthors = 訳：[[鈴木治郎]]
 | others = （上記書の日本語訳）
 | year = 2003
 | title = 楕円曲線論概説（上、下）
 | publisher = Springer
 }}
* {{cite book
 | author = Joseph H. Silverman | authorlink=Joseph H. Silverman
 | coauthors = [[John Tate]]
 | year = 1992
 | title = Rational Points on Elliptic Curves
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-97825-9
 }}
* {{cite book
 | author = [[w:Joseph H. Silverman]]
 | coauthors = [[ジョン・テイト|John Tate]], 訳：[[足立恒雄]], [[木田雅成]], [[小松啓一]], [[田谷久雄]]
 | others = （上記書の日本語訳）
 | year = 1995
 | title = 楕円曲線論入門
 | publisher = Springer
 }}
* {{cite journal | author=John Tate | authorlink=John Tate | title=The arithmetic of elliptic curves | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | volume=23 | pages=179–206 | year=1974 | doi=10.1007/BF01389745 | ref=harv | issue=3–4 }}
* {{cite book
 | author = Lawrence Washington | year = 2003
 | title = Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography
 | publisher = Chapman & Hall/CRC
 | isbn=1-58488-365-0
 }}
* {{cite book
 | author = [[w:Wolfgang M. Schmidt]]
 | year = 1976
 | title = Equations over finite fields: an elementary approach, Lecture Notes in Mathematics, 536
 | publisher = Springer-Verlag
 | id = ISBN 0-38707-855-X
 }}
* {{cite book
 | author = [[w:Wolfgang M. Schmidt]]
 | year = 2004
 | title = Equations over finite fields: an elementary approach; 2nd edition
 | publisher = Kendrick Press
 | id = ISBN 0-97404-271-4
 }}
* {{cite book
 | author = [[w:Rudolf Lidl<!-- 存在しない -->]] and [[w:Harald Niederreiter<!-- 存在しない -->]]
 | year = 1997
 | title = Finite fields; 2nd edition
 | publisher = Cambridge University Press
 | id = ISBN 0-97404-271-4
 }}

==外部リンク==
{{commons|Elliptic curve|Elliptic curve}}
* {{springer|title=Elliptic curve|id=p/e035450}}
* [http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/14H52.html The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves]
* {{MathWorld | title = Elliptic Curves | urlname = EllipticCurve }}
* [http://planetmath.org/thearithmeticofellipticcurves The Arithmetic of elliptic curves] from PlanetMath
* [http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Polya/07468342.di020792.02p05747.pdf Three Fermat Trails to Elliptic Curves], Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31 (2000), pp.&nbsp;162–172, winner of the MAA writing prize the George Pólya Award.
* [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=300&objectType=File Matlab code for implicit function plotting] – Can be used to plot elliptic curves.
* [http://sagenb.org/home/pub/1126/ Interactive introduction to elliptic curves and elliptic curve cryptography with SAGE]
* [http://www.certicom.com/ecc_tutorial/ecc_javaCurve.html Geometric Elliptic Curve Model(Java-Applet drawing curves)]
* [http://danher6.100webspace.net/ecc#ER_interactivo Interactive elliptic curve over R] and [http://danher6.100webspace.net/ecc#EFp_interactivo over Zp] - Web application that requires HTML5 capable browser.
* [http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/ Comprehensive database of Elliptic Curves over Q]

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