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'''有理数'''（ゆうりすう、{{lang-en-short|''rational number''}}) とは、二つの[[整数]] ''a'', ''b'' （ただし ''b'' は 0 でない）をもちいて ''a''/''b'' という[[分数]]で表せる[[数]]のことをいう。''b'' = 1 とすることにより、任意の整数は有理数として扱うことができる。

有理数を[[十進法]]などの[[位取り記数法]]を用いて[[小数]]表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず[[有限小数]]または[[循環小数]]のいずれかとなる（もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の基数では循環小数となったりすること、あるいはその逆になることはある）。同様に、有理数は必ず[[連分数|有限正則連分数展開]]を持つ。

有理数全体のつくる集合はしばしば、英語で[[除法|商]]を意味する "''quotient''" の頭文字をとり、太字の '''Q''' で表す。手書きするときなどには中抜きの太字にするため、書籍等で[[黒板太字]]と言われる書体で &#x211a; を使うこともある。すなわち、
: <math>\mathbb{Q} = \left\{{a \over b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b\ne 0\right\}</math>
である（ただし、'''Z''' は全ての整数からなる集合を表す）。ここで、各個の有理数に対して、それをあらわす分数 ''a''/''b'' は一般に複数（しかも無数に）存在することは留意すべき事実である。通常は個々の文脈に適した形を選んで利用する。すなわち厳密に言えば、分数 ''a''/''b'' は整数 ''a'', ''b'' の組の属する[[同値類]]（の代表元）を表しているのであり（[[#形式的な構成|形式的な構成]]節参照）、有理数全体の成す集合 '''Q''' は[[同値関係#商集合|商集合]]の最も典型的で身近な例となっている。

有理数の[[完備化]]（適当な距離に関する「無限小数」展開を考えることに相当）として、[[実数]]や[[p進数| ''p''-進数]]が得られる（後述。あるいは[[コーシー列]]・[[デデキント切断]]等を参照）。有理数ではない[[実数]]は[[無理数]]と呼ばれる。また、すべての有理数係数多項式の根の全体は[[体 (数学)|体]]を成し（'''Q''' の[[代数閉包]]）、その元を[[代数的数]]と呼ぶ。

== 用語法について ==
''rational number'' は原義として {{lang-el-short|''λογος''}} （ = {{lang-en-short|''ratio''}}、{{lang-ja-short|比}}) の有る数という意味であり、''a''/''b'' は ''b'' に対して ''a'' の示す比の値（''a'' が ''b'' に占める割合）を意味する。それゆえ「有比数」とでも訳した方がよいのではというのがしばしば話のネタにされる<!--軽く原義に触れる程度には扱っても、本気で変えなければならないと主張する人はまずいないので、それらしい言い回しにする。--><ref>[[一松信]]『√2の数学 無理数を見直す』海鳴社、1990年 ISBN 978-4875250562</ref><ref>志賀浩二『数の世界』[[岩波書店]]、1992年 ISBN 978-4001152722</ref><ref>[[長岡亮介]]『本質の研究数学Ⅰ+A』[[旺文社]]、2004年 ISBN 978-4010332115</ref><ref>吉田武『[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]の贈物 人類の至宝[[オイラーの等式|e<sup>i&pi;</sup>=-1]]を学ぶ』[[学校法人東海大学出版会|東海大学出版会]]、2010年 ISBN 978-4486018636</ref><ref>吉田武『[[虚数]]の情緒 中学生からの全方位独学法』東海大学出版会、2000年 ISBN 978-4486014850</ref>。

数学の各所で、有理数体 '''Q''' を基礎とする（すなわち、'''Q''' 上定義される）概念に対して、「有理&mdash;」というような接頭辞を付けるということがしばしば行われる。例えば、有理数でもあるような代数的整数を「有理整数」（これはつまり、初等代数学で扱われる通常の整数のことにほかならない）という。あるいは、成分が有理数であるような[[行列]]を「有理行列」と言ったり、有理数係数の多項式を「有理多項式」と呼んだりする（「有理数体上の多項式」とも言う）。あるいは何らかの点集合で、成分が全て有理数であるような点を「[[有理点]]」と呼ぶ（代数群の有理点など）。

一方で、「有理&mdash;」という名称でありながら、前述のような意味ではないものもたくさんある。例えば、[[有理函数]]は基礎体が有理数体であるという意味ではなく、「多項式の比」になっているような函数という意味である。同様に、[[有理代数曲線]]は有理数係数の代数曲線という意味ではない。

== 演算 ==
{{main|分数|体 (数学)}}
二つの有理数 ''a''/''b'', ''c''/''d''（''a'', ''b'', ''c'', ''d'' は整数で ''b'', ''d'' はいずれも 0 でない）が'''等しい'''とは、整数の等式
: <math>ad - bc = 0</math>
が成り立つことを言い、このとき
: <math>{a \over b} = {c \over d}</math>
と記す。[[加法]] "+"、および[[乗法]] "×" が
: <math>
 {a \over b} + {c \over d} := {ad + bc \over bd},\quad
 {a \over b} \times {c \over d} := {ac \over bd}
</math>
によって定まり、[[反数]]および[[逆数]]について
: <math>
 -\left({a \over b}\right) := {-a \over b} = {a \over -b},\quad
 \left({c \over d}\right)^{-1} := {d \over c}
</math>
（ここでは ''b'', ''c'', ''d'' はいずれも 0 でない）が成り立つ（とくに集合として
: <math>\mathbb{Q}
 = \left\{{a \over b} \mid a \in \mathbb{N}, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0\right\}
 = \left\{{a \over b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}, b \ne 0\right\}
</math>
が成り立つ）。またこれにより、[[減法]] "−" および[[除法]] "÷"が
: <math>
 {a \over b} - {c \over d} 
 := {a \over b} +\left(- {c \over d}\right) = {ad - bc \over bd},\quad
 {a \over b} \div {c \over d} 
 := {a \over b} \times \left({c \over d}\right)^{-1} = {ad \over bc}
</math>
と定まる。これらの[[四則演算]]によって、有理数の全体 '''Q''' は[[体 (数学)|体]]と総称される[[代数系]]のもっとも身近な例のひとつとなる。

== 形式的な構成 ==
{{main|商体}}
[[File:RationalRepresentation.pdf|thumb|right|300px|各直線（の整数点）がそれぞれ一つの同値類（すなわち有理数）に対応する。どの直線も原点は含まないが、原点をはさんだ反対側は同じ同値類である（図では同じ色で塗ることでそれを表している）。]]

集合論の用語を用いて整数の全体 '''Z''' から形式的に有理数の全体 '''Q''' を構成することができる。まず整数の[[順序対]] (''a'', ''b'') で ''b'' が 0 でないようなものの全体 ''E'' = '''Z''' ×('''Z''' − {0}) を考える。ここで ''E'' 上の関係 &sim; を
: <math>(a, b) \sim (c, d) \iff ac - bd = 0</math>
(''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ∈ '''Z''', ''b'' ≠ 0, ''d'' ≠ 0) によって定めると、関係 &sim; は[[同値関係]]となる。商集合 ''E''/&sim; を改めて '''Q''' と記して、'''Q''' における対 (''a'', ''b'') の属する同値類を ''a''/''b'' と記すことにすると、このような表記は一意的ではなく、異なる代表元 (''c'', ''d'') について
: <math>{a \over b} = {c \over d} \iff ad - bc = 0</math>
となる。このとき、'''Q''' における加法および乗法を上で述べたように
: <math>
 {a \over b} + {c \over d} = {ad + bc \over bd},\quad
 {a \over b} \times {c \over d} = {ac \over bd}
</math>
で定めると、この加法と乗法は剰余類同士の演算として[[well-defined|矛盾なく定義されている]]。実際、''E'' における加法および乗法を
: <math>
 (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd),\quad
 (a, b) \times (c, d) = (ac, bd)
</math>
と定めると、(''a'', ''b'') &sim; (''a''′, ''b''′), (''c'', ''d'') &sim; (''c''′, ''d''′) であるとき
: <math>
 (a, b) + (c, d) \sim (a', b') + (c', d'),\quad
 (a, b) \times (c, d) \sim (a', b') \times (c', d')
</math>
が成り立つので、'''Q''' における加法および乗法は剰余類 ''a''/''b'', ''c''/''d'' 各々の代表元 (''a'', ''b''), (''c'', ''d'') のとり方に依らない。(0, 1), (1, 1) の属する同値類 0/1, 1/1 が '''Q''' における[[加法単位元|零元]]および[[乗法単位元|単位元]]となることが確かめられ、[[反数|マイナス元]]と[[逆元]]が上述のように得られるので、これで '''Q''' における上述のような四則が全て形式的に正当化される。また、写像 &iota; を
:<math>\iota\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} = E /\sim{};\ 
  m \mapsto {m \over 1}
</math>
と定めると &iota; は[[単射]]で、''E'' において (''m'', 1) + (''n'', 1) = (''m'' + ''n'', 1) および (''m'', 1) &times; (''n'', 1) = (''mn'', 1) が成り立つ（さらに &iota;(1) = 1/1 であるから &iota; は単位的環の[[準同型]]となる）から '''Z''' は &iota; によって演算まで込めて '''Q''' に埋め込まれる。そこで整数 ''m'' と剰余類 ''m''/1 とを同一視して '''Q''' は '''Z''' を含むものと考える。

これは一般に[[整域]]の[[商体]]としてほぼそのままに一般化される構成法であり、したがって「'''Q''' は '''Z''' の商体である」などということができる。

== 抽象的性質 ==
[[File:Diagonal argument.svg|thumb|right|250px|有理数の数え上げの一つを図示したもの。他にもいろいろやり方はあるが、いずれにせよ有理数の可算性がわかる。]]

=== 基本性質 ===
既に述べたように、通常の四則演算のもと、[[代数系]] ('''Q''', +, &times;, 0, 1) は有理数体と呼ばれる[[体 (数学)|体]]を成す。また、[[有理整数]]環 '''Z''' の[[商体]]である。加えて、有理数体 '''Q''' は[[標数]] 0 の体の中で最小のもので、標数 0 の[[素体 (数学)|素体]]と呼ばれる（すなわち、標数が 0 であるような任意の体は、必ず '''Q''' に同型な[[部分体]]を含む）。'''Q''' の[[体の拡大|拡大体]]は一般に[[代数体]]、その元は[[代数的数]]と呼ばれ、特に代数的数の全体は体を成し '''Q''' の[[代数閉包]] '''A'''（<span style="text-decoration: overline;">'''Q'''</span> とも書く）となる。

'''Q''' は[[可算無限集合]]である（これはたとえば、分母と分子の組を二次元平面上の[[格子点]]と考え、うずまき状に辿って自然数と対応付ければよい）。実数全体 '''R''' は[[非可算]]なので、濃度の意味で（あるいは[[ルベーグ測度]]の意味で）ほとんどの実数は無理数であることになる（可算性により '''Q''' のルベーグ測度は 0 となる）。

'''Q''' は通常の大小関係を順序として[[全順序集合]]であり、特に[[稠密関係|稠密順序集合]]となる。すなわち、二つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも一つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに[[最大元]]も[[最小元]]も持たないならば、必ず '''Q''' と[[順序同型]]である。

=== 位相的性質 ===
有理数の全体 '''Q''' は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して[[順序位相]]と呼ばれる位相を持ち、外因的には[[実数直線]] '''R''' の（つまり、一次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>1</sup>としての）距離位相から定まる[[相対位相|部分空間としての位相]]を持つが、実はこれらの位相は一致する。

有理数の全体 '''Q''' は実数全体の成す集合 '''R''' の中で[[稠密集合|稠密]]である。これは、どのような実数に対しても、そのいくらでも近くに有理数が存在するということを意味する。これは[[距離空間]]として以下のように述べることもできる。

有理数の全体 '''Q''' は、差の絶対値
: <math>d(x,y) := |x-y|</math>
を距離函数として距離空間となる。この距離により '''Q''' に位相が誘導されるが、それは '''R'''<sup>1</sup> からの相対位相に他ならない。こうして得られる距離空間 ('''Q''', ''d'') は[[完全不連結空間|完全不連結]]である。また、[[完備距離空間]]とはならない。実は距離 ''d''(''x'', ''y'') := |''x'' &minus; ''y''| による '''Q''' の完備化として、実数全体の集合 '''R''' が得られる。

この位相に関して有理数体 '''Q''' は[[位相体]]を成す。有理数全体の成す位相空間 '''Q''' は[[局所コンパクト]]ではない空間の重要な例となっている。また唯一、[[孤立点]]を持たない[[可算無限集合|可算]]な[[距離化可能空間]]となるものとして '''Q''' を特徴付けることができる。一方、'''Q''' を位相体とするような '''Q''' 上の距離は、これだけではない。

[[素数]] ''p'' と任意の非零整数 ''a'' に対して、''p''<sup>''n''</sup> は ''a'' を割り切る ''p''-冪の中で冪指数が最大のものとするとき、
: <math>|a|_p := p^{-n}</math> 
と定める。さらに |''a''|<sub>''p''</sub> := 0 として、任意の有理数 ''a''/''b'' については
: <math>\left|\frac{a}{b}\right|_p := \frac{|a|_p}{|b|_p}</math>
と定めたものを、有理数の[[p進絶対値| ''p''-進絶対値]]と呼ぶ。このときさらに、差の絶対値
: <math>d_p(x-y)=|x-y|_p</math>
は ''p''-進距離と呼ばれる '''Q''' 上の[[距離函数]]を定める。距離空間 ('''Q''', ''d''<sub>''p''</sub>) はやはり完全不連結であり、完備ではないが、その完備化として[[p進数| ''p''-進数体]] '''Q'''<sub>''p''</sub> が得られる。

[[オストウスキーの定理]]によれば、'''Q''' 上の非自明な[[付値|絶対値]]は同値の[[違いを除いて]]通常の絶対値か ''p''-進絶対値で尽くされる。

== 参考文献 ==
<references />
* [[高木貞治]]『数の概念』[[岩波書店]]、1970年、ISBN 4-00-005153-9

== 関連項目 ==
{{commonscat|Rational numbers}}
{{Wiktionary|有理数}}
* [[無理数]]
* [[大域体]]

== 外部リンク ==
* Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html Rational Number]." From ''[[MathWorld]]''

{{DEFAULTSORT:ゆうりすう}}
{{Link FA|lmo}}

[[Category:有理数|*]]
[[Category:数]]
[[Category:実数]]
[[Category:代数的数]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]