旅人算のソースを表示

'''旅人算'''（たびびとざん）とは、[[算数]]において、速さを題材とする[[文章題]]の類型のひとつ。動くものが2つあるとき、2つのものの隔たりの推移に関する問題をいう。2つの物の進行方向により、[[出会い算]]と[[追いつき算]]に分けられる。通常は、速さを単純にたし引きして解ける。中学受験問題としてきわめて出題率が高い類型である。

== 公式 ==
*向かい合って進む場合（[[出会い算]]）
**出会うまでの時間 = 2地点の距離 &divide; 速さの和
*同じ方向に進む場合（[[追いつき算]]）
**追いつくまでの時間 = はじめの距離 &divide; 速さの差

多くの場合はこれらを用いて解く。

== 例題 ==
太郎君は午前8時に、毎分60mで歩いて家から学校へ向かった。寝坊した次郎君は午前8時15分に毎分150mの自転車で家を出発した。次郎君は、太郎君を途中で追い越し、太郎君よりも9分早く学校へ着いた。
*次郎君が太郎君に追いついたのは何時何分か?
*家から学校までの距離は何kmか?

=== 解法 ===
* （道のり）=（速さ）&times;（時間）
* 公式から、「同じ距離を進む場合、時間の[[比]]は速さの逆比になる」という点に注目。
* 線分図を描くことで、より容易に理解できる。

=== 解答 ===
次郎君が出発した時点ですでに太郎君は15分間歩いているので、その距離の差は

:60 &times; 15 = 900（m）

である。次に、次郎君が太郎君を追いかける場合、1分間で150－60＝90（m）だけ、その差を縮めることができる。これを考えると、出発時についていた900mの差を次郎君が縮めるには
:900 &divide; 90 = 10（分）
かかる。次郎君の出発は8時15分だったので、10分を足して8時25分に太郎君に追いついたことになる。

=== 別解 ===
学校までの時間は、太郎君のほうが次郎君より24分（最初の15分＋最後の9分）長く歩いていることになる。

一方、速さの比は、
:太郎 <nowiki>:</nowiki> 次郎 = 60 <nowiki>:</nowiki> 150 = 2 <nowiki>:</nowiki> 5
であるから、同じ距離（家から学校まで）を進むのにかかる時間の比は、
:太郎 <nowiki>:</nowiki> 次郎 = 5 <nowiki>:</nowiki> 2
である。太郎君が家から学校までかかった時間を★★★★★、次郎君がかかった時間を★★とすると、その差★★★が24分となるので（このあたり線分図を描く）、
:★ = 8分
となり、太郎がかかった時間は
:5 &times; ★ = 40分
である。太郎の速さは毎分60mだから、家から学校までの距離は
:60 &times; 40 = 2400（m）

したがって、答えは2.4kmとなる。

=== 進行グラフによる解法 ===
次のように進行グラフで解くこともできる。
[[画像:shinkoug.jpg]]

==応用==
旅人算の応用として、

*[[3人旅人算]] - 2人ずつの3組の旅人算の組み合わせで解く問題
*[[時計算]] - 角度から時刻を求める、時刻から角度を求める、針が線対称な時刻を求めるなど
*通過旅人算
*流水旅人算

などの形で問題とされることがある。

また、経路が環状、複線(平面)、複線（空間）であったり、速さが規則的に変化したりする問題もある。

<!--速さに関する文章題は、速さを単純にたし引きできない問題（速さの平均など）と、速さを単純にたし引きできる問題（流水算と旅人算がある）に大別できる。（いったんコメントアウトします）-->
== 関連項目 ==
*[[鶴亀算]]
**[[流水算]]
**[[通過算]]
**[[ニュートン算]]
* [[中学入試]]
* [[算数]]
** [[比]]
* [[物理学]]
** [[相対速度]]

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[[Category:算数]]
[[Category:数学に関する記事]]