応力のソースを表示

{{出典の明記|date=2011年7月}}
{{連続体力学}}
{{物理量|英語=|M=1|L=-1|T=-2| 階 = 2階テンソル | SI = [[パスカル]](Pa)| FPSG = [[重量ポンド毎平方インチ]](psi)|記号=''σ''}}
'''応力'''（おうりょく、'''ストレス'''、{{lang-en-short|stress}}）とは、物体<ref group="注">[[連続体力学|連続体]]などの基礎仮定を満たすものとする。</ref>の内部に生じる力の大きさや作用方向を表現するために用いられる[[物理量]]である。物体の[[変形]]や[[破壊]]などに対する負担の大きさを検討するのに用いられる。

この物理量には'''応力[[ベクトル]]''' (stress vector) と'''応力[[テンソル]]''' (stress tensor) の2つがあり、単に「応力」といえば応力テンソルのことを指すことが多い。応力テンソルは座標系などを特別に断らない限り、主に2階の混合テンソルおよび混合ベクトルとして扱われる（混合テンソルについては[[テンソル積#テンソル空間とテンソル]]を参照）。応力ベクトルと応力テンソルは、ともに連続体内部に定義した微小面積に作用する単位面積あたりの力として定義される。そのため、それらの単位は、[[国際単位系|SI]]では<nowiki>[</nowiki>[[パスカル|Pa]]<nowiki>]</nowiki> (N/m<sup>2</sup>)、[[重力単位系]]では[kgf/mm<sup>2</sup>]で、[[圧力]]と同じである。

== 応力ベクトル ==
応力[[ベクトル]]とは、物体表面あるいは物体内に仮想的な微小面を考えたとき、その微小面に作用する単位面積あたりの力であり、ベクトル（1階のテンソル）で表される。後述する応力テンソルの説明にあるように、応力テンソル&sigma;の各成分の第1の下添字は「応力成分を考えている微小面の法線の向き」を、第2の下添字は「考えている微小面に作用する力の向き」をそれぞれ表している。このことから明らかなように、微小面の単位法線ベクトルを '''''n''''' とすると、その微小面での応力ベクトル '''''t''''' は次のように与えられる。
: <math>\boldsymbol{t} = \sigma^\mathrm{T} \boldsymbol{n}</math>

この式は'''コーシーの式'''{{Sfn|小林英男|轟章|2007|p=29}}と呼ばれる。例えば、3次元デカルト座標系 (''x'' , ''y'' , ''z'' ) において、単位法線ベクトルを <math>\boldsymbol{n} = (n_x, n_y, n_z) = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)</math> と表す<ref group="注">cos&alpha;, cos&beta;, cos&gamma;は[[方向余弦]]である。</ref>と、応力ベクトルの成分 <math>t_{x},\; t_{y},\; t_{z}</math> は次のようになる。

: <math>
\begin{pmatrix}
 t_x \\
 t_y \\
 t_z
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
 \sigma_{xx} n_x + \sigma_{yx} n_y + \sigma_{zx} n_z \\
 \sigma_{xy} n_x + \sigma_{yy} n_y + \sigma_{zy} n_z \\
 \sigma_{xz} n_x + \sigma_{yz} n_y + \sigma_{zz} n_z
\end{pmatrix}
</math>

== 応力テンソル ==
応力テンソルは、応力ベクトルの定め方の違いから、真応力テンソル・Cauchy応力テンソル、公称応力テンソル・第1パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル、第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルの3種類が定義されており、いずれも（行列の形式で記述できる）2階のテンソルとなる。ただし、これらの応力テンソルに違いが生じるのは有限変形理論に基づいて物体の運動を記述した場合であり、[[材料力学]]や[[応用力学]]で多用されている微小変位・微小変形の仮定の下では、これらの応力テンソルはすべて真応力テンソルに一致する。

真応力テンソル（微小変形理論における応力テンソル）を &sigma; で表すものとすると、その成分は座標軸を''x'' , ''y'' , ''z'' と定めた3次元デカルト座標の下では、
: <math>\sigma=
\begin{pmatrix}
 \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
 \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
 \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix},
\ \mbox{or}, \ 
\sigma=
\begin{pmatrix}
 \sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
 \sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\
 \sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33}
\end{pmatrix}
</math>
のように表される。このとき、各成分の第1の下添字は「応力成分を考えている微小面の法線の向き」を、第2の下添字は「考えている微小面に作用する力の向き」をそれぞれ表している。例えば、&sigma;<sub>''xy''</sub> とは、法線の方向が''x'' 軸の向きに一致する微小面において考えている、''y'' 軸方向の力の成分を意味する。そのため、応力テンソルの成分には、微小面の法線と力の作用方向が一致する'''[[垂直応力]]''' (normal stress) 成分と、一致しない（異なっている）'''[[せん断応力]]''' (shear stress) 成分の2種類に分類することができる。

===垂直応力とせん断応力===
上に示した3次元デカルト座標系における応力テンソルの成分について考えた場合、'''垂直応力'''は <math>\sigma_{xx},\; \sigma_{yy},\; \sigma_{zz}</math> の3成分となる。垂直応力は、力の作用面と力の作用方向とが直交し、作用面を引っ張る方向に作用した場合には引張応力 (tensile stress)、作用面を押し込む方向に作用した場合には圧縮応力 (compressive stress) と呼ばれる。[[材料力学]]や[[応用力学]]、[[構造力学]]などにおいては、引張応力が正の垂直応力となるように応力テンソルを定義するのが一般的であるが、[[地盤工学]]（[[土質力学]]）においては圧縮応力が正の垂直応力となるように力の正の向きを定義することもある。

一方、'''せん断応力'''は、力の作用面の法線の向きと力の作用方向とが一致しない応力成分であり、<math>\sigma_{xy},\; \sigma_{yx},\; \sigma_{yz},\; \sigma_{zy},\; \sigma_{zx},\; \sigma_{xz}</math>の6つが該当する。なお、微小変形の力学においては、せん断応力を記号&tau;で表すことがある。この場合の応力テンソルの表記は以下のようになる。
:<math>
\sigma=
\begin{pmatrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\
\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{pmatrix}
</math>

=== 応力テンソルの対称性 ===
応力を定義している物体内で[[モーメント]]のつりあい条件（[[角運動量保存則]]）を満たすものと仮定する<ref group="注">このことは{{仮リンク|コーシーの応力原理|en|Euler-Cauchy stress principle}}より導かれる。</ref>と、応力テンソル（真応力テンソル）は対称テンソルとなる<ref group="注">モーメントのつり合い条件から対称性が保証されている応力テンソルは真応力テンソル（Cauchy応力テンソル）と第2パイオラ・キルヒホッフテンソルのみであり、公称応力テンソル（第1パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル）は必ずしも対称とはならない。</ref>。すなわち、
: <math>\sigma = \sigma^\mathrm{T}</math>
が成り立つ。例えば、上に示した3次元デカルト座標系での成分については、
: <math>\sigma_{xy}=\sigma_{yx},\; \sigma_{yz}=\sigma_{zy},\; \sigma_{zx}=\sigma_{xz}</math>
が成り立ち、応力テンソル&sigma;の独立な成分は6成分となることがわかる。

この性質のため、[[固体物理学|固体物性]]や[[CAE]]などの分野では、独立な6成分を並べてベクトルとする表記がしばしば用いられる。これを'''フォークト表記''' ([[:en:Voigt notation|Voigt notation]])という{{Sfn|渋谷陽二|2011|p=66}}。
:<math>
\sigma=
\begin{pmatrix}
\sigma _{xx} \\
\sigma _{yy} \\
\sigma _{zz} \\
\sigma_{xy} \\
\sigma_{yz} \\
\sigma_{zx} \\
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
\sigma _x \\
\sigma _y \\
\sigma _z \\
\tau _{xy} \\
\tau _{yz} \\
\tau _{zx} \\
\end{pmatrix}
</math>

=== 任意座標系への応力の変換 ===
[[Image:Stress transformation 3D.svg|500px|right|thumb|応力テンソルの座標変換]]
真応力はテンソル量であり、座標系によってその成分は変化することとなる。応力テンソルの座標系変換式は以下で表される。
:<math>\sigma' =  A\sigma A^\mathrm{T}</math>
ここで、 &sigma;は変換前の座標系における応力テンソル、&sigma;' は変換後の座標系における応力テンソル、''A'' は[[回転行列]] 、''A''<sup>T</sup> は''A'' の[[転置行列]]である。各成分で表すと以下の通りである。

:<math>{\begin{pmatrix}
\sigma'_{11} & \sigma'_{12} & \sigma'_{13} \\
\sigma'_{21} & \sigma'_{22} & \sigma'_{23} \\
\sigma'_{31} & \sigma'_{32} & \sigma'_{33} \\
\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33} \\
\end{pmatrix}}</math>
ここで、''a<sub>ij</sub>'' は2つの座標間の方向余弦で、各座標軸とは下記の表のような関係となる。
:{| class="wikitable"
! !! <math>x_1</math> !! <math>x_2</math> !! <math>x_3</math>
|-
! <math>x'_1</math>
| <math>a_{11}</math> || <math>a_{12}</math> || <math>a_{13}</math>
|-
! <math>x'_2</math>
| <math>a_{21}</math> || <math>a_{22}</math> || <math>a_{23}</math>
|-
! <math>x'_3</math>
| <math>a_{31}</math> || <math>a_{32}</math> || <math>a_{33}</math>
 |}

上式を展開すると、3次元応力状態での各応力の変換式は以下のようになる<ref name = "弾性力学_8-9"/>。
:<math>\sigma_{11}' = a_{11}^2\sigma_{11}+a_{12}^2\sigma_{22}+a_{13}^2\sigma_{33}+2a_{11}a_{12}\sigma_{12}+2a_{11}a_{13}\sigma_{13}+2a_{12}a_{13}\sigma_{23}</math>
:<math>\sigma_{22}' = a_{21}^2\sigma_{11}+a_{22}^2\sigma_{22}+a_{23}^2\sigma_{33}+2a_{21}a_{22}\sigma_{12}+2a_{21}a_{23}\sigma_{13}+2a_{22}a_{23}\sigma_{23}</math>
:<math>\sigma_{33}' = a_{31}^2\sigma_{11}+a_{32}^2\sigma_{22}+a_{33}^2\sigma_{33}+2a_{31}a_{32}\sigma_{12}+2a_{31}a_{33}\sigma_{13}+2a_{32}a_{33}\sigma_{23}</math>
:<math>\sigma_{12}' = a_{11}a_{21}\sigma_{11}+a_{12}a_{22}\sigma_{22}+a_{13}a_{23}\sigma_{33}+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma_{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma_{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma_{13}</math>
:<math>\sigma_{23}' = a_{21}a_{31}\sigma_{11}+a_{22}a_{32}\sigma_{22}+a_{23}a_{33}\sigma_{33}+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma_{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma_{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma_{13}</math>
:<math>\sigma_{13}' = a_{11}a_{31}\sigma_{11}+a_{12}a_{32}\sigma_{22}+a_{13}a_{33}\sigma_{33}+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma_{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma_{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma_{13}</math>

[[平面応力状態|2次元応力状態]]での応力変換式は以下の通りである<ref name = "弾性力学_5-6"/>。
:<math>\sigma_{11}' = a_{11}^2\sigma_{11}+a_{12}^2\sigma_{22}+2a_{11}a_{12}\sigma_{12}</math>
:<math>\sigma_{22}' = a_{21}^2\sigma_{11}+a_{22}^2\sigma_{22}+2a_{21}a_{22}\sigma_{12}</math>
:<math>\sigma_{12}' = a_{11}a_{21}\sigma_{11}+a_{12}a_{22}\sigma_{22}+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma_{12}</math>
ここで座標軸間の角度&theta;を用いて上式を書き直した場合は以下の通りである。
:<math>\sigma_{11}'= \sigma_{11} \cos^2\theta +\sigma_{22} \sin^2\theta +2\sigma_{12}\cos\theta \sin\theta</math>
:<math>\sigma_{22}' = \sigma_{11} \sin^2\theta +\sigma_{22} \cos^2\theta - 2\sigma_{12}\cos\theta \sin\theta</math>
:<math>\sigma_{12}' = (\sigma_{11}-\sigma_{22})\cos\theta \sin\theta + \sigma_{12}(\cos^2\theta - \sin^2\theta)</math>
:{| class="wikitable"
! !! <math>x_1</math> !! <math>x_2</math>
|-
! <math>x'_1</math>
| <math>a_{11}(=\cos\theta)</math> || <math>a_{12}(=\sin\theta)</math>
|-
! <math>x'_2</math>
| <math>a_{21}(=-\sin\theta)</math> || <math>a_{22}(=\cos\theta)</math>
 |}
この変換を図示する方法として、[[モールの応力円]]が知られている。

=== 主応力 ===
せん断応力成分がゼロとなるように座標系を取ったときの垂直応力を'''主応力''' (principal stress) と呼ぶ。その座標系の基底ベクトルを応力テンソルの'''主軸'''あるいは'''主応力軸'''と呼ぶ。さらに主軸に垂直な面を'''主面'''あるいは'''主応力面'''と呼ぶ<ref name = "機械工学辞典_567-568"/>。なお、真応力テンソル（Cauchy応力テンソル）は対称テンソルであるため、ある応力状態を表す真応力テンソルに対して、せん断応力が見掛け上現れず主応力のみが垂直応力として現れる主軸が必ず一組存在する。

せん断応力がゼロとなるときの垂直応力が主応力であるが、同時に主応力はあらゆる座標系の中で垂直応力が最大、最小となる値を示している<ref name = "弾性力学_10-15"/>。3つの主応力を&sigma;<sub>1</sub> &ge; &sigma;<sub>2</sub> &ge; &sigma;<sub>3</sub> の関係となるようにとったとき、最大の主応力&sigma;<sub>1</sub> を'''最大主応力''' 、最小となる主応力&sigma;<sub>3</sub> を'''最小主応力''' 、これら2つに直交する主応力&sigma;<sub>2</sub> を'''中間主応力''' と呼び、ある座標系での応力状態<math>(\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z},\tau_{xy},\tau_{yz},\tau_{zx})</math>が与えられているとき、主応力は以下の関係から求められる<ref name = "弾性力学_10-15"/>。
: <math>
\begin{vmatrix}
 (\sigma_{x}-\sigma) & \tau_{xy} & \tau_{zx} \\
 \tau_{xy} & (\sigma_{y}-\sigma) & \tau_{yz} \\
 \tau_{zx} & \tau_{yz} & (\sigma_{z}-\sigma)
\end{vmatrix}
=0
</math>
左辺は[[行列式]]で、上式を展開した[[3次方程式]]の&sigma;の根が主応力となる。実際に上式を展開すると、
: <math>\begin{align}
&\sigma^3-J_1\sigma^2 + J_2\sigma - J_3=0,\\
&J_1=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z,\\
&J_2=\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_x-\tau_{xy}^2-\tau_{yz}^2-\tau_{zx}^2,\\
&J_3=\sigma_x\sigma_y\sigma_z+2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx}-\sigma_x\tau_{yz}^2-\sigma_y\tau_{zx}^2-\sigma_z\tau_{xy}^2
\end{align}</math>
となる。一方、上式の根は&sigma;<sub>1</sub>、&sigma;<sub>2</sub>、&sigma;<sub>3</sub>となるので、上式は以下のようも書き表せる。
: <math>\begin{align}
0&=(\sigma-\sigma_1)(\sigma-\sigma_2)(\sigma-\sigma_3)\\
&=\sigma^3-(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)\sigma^2+(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)\sigma - (\sigma_1\sigma_2\sigma_3)
\end{align}</math>
以上の2式を等値すれば、
: <math>\begin{align}
J_1&=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z,\\
J_2&= \sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1 = \sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_x-\tau_{xy}^2-\tau_{yz}^2-\tau_{zx}^2,\\
J_3&= \sigma_1\sigma_2\sigma_3 = \sigma_x\sigma_y\sigma_z+2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx}-\sigma_x\tau_{yz}^2-\sigma_y\tau_{zx}^2-\sigma_z\tau_{xy}^2
\end{align}</math>
を得る。''J''<sub>1</sub>、''J''<sub>2</sub>、''J''<sub>3</sub>は、ある応力状態において座標系に関わらず常に一定値となるので'''応力不変量'''(stress invariant)と総称される。それぞれ'''第一次応力不変量'''、'''第二次応力不変量'''、'''第三次応力不変量'''と呼ぶ<ref name = "弾性力学_10-15"/>。

==== 2次元応力状態における主応力 ====
[[File:Ebener Spannungszustand.png|thumb|2次元における一般的な応力状態]]
[[File:Hauptspannungen.png|thumb|2次元における主応力面]]
2次元応力状態では、<math>\sigma_{z},\tau_{yz},\tau_{zx}</math>が0なので、主応力は以下の関係から求められる<ref name = "弾性力学_10-15"/>。
: <math>
\begin{vmatrix}
 (\sigma_{x}-\sigma) & \tau_{xy} \\
 \tau_{xy} & (\sigma_{y}-\sigma) \\
\end{vmatrix}
=0
</math>
上式を展開すると&sigma;に関する[[2次方程式]]が得られ、これを解くと、2次元応力状態での主応力&sigma;<sub>1</sub>、&sigma;<sub>2</sub>は次のようになる。
: <math> \sigma_1,\sigma_2 = \frac{(\sigma_x+\sigma_y)\pm\sqrt{(\sigma_x-\sigma_y)^2+4\tau_{xy}^2}}{2} </math>
得られた&sigma;<sub>1</sub>、&sigma;<sub>2</sub>から、主軸の方向が得られる。
: <math> \theta_1 = \tan{\frac{\sigma_1-\sigma_x}{\tau_{xy}}}\ ,\ \theta_2 = \tan{\frac{\sigma_2-\sigma_x}{\tau_{xy}}} </math>
ここで&theta;は、''x'' 軸と&sigma;<sub>1</sub>、&sigma;<sub>2</sub>の主軸が織りなす角度である。

=== 主せん断応力 ===
あらゆる座標系の中で最大となるせん断応力を'''主せん断応力'''または'''最大せん断応力'''と呼ぶ。主せん断応力が働く面は、主軸に対して45°あるいは135°傾いた面となる。主せん断応力&tau;<sub>1</sub>、&tau;<sub>2</sub>、&tau;<sub>3</sub> は、主応力&sigma;<sub>1</sub>、&sigma;<sub>2</sub>、&sigma;<sub>3</sub> より次式で求まる<ref name = "弾性力学_10-15"/>。
: <math> \tau_1=\frac{|\sigma_2-\sigma_3|}{2} \quad,\quad \tau_2=\frac{|\sigma_3-\sigma_1|}{2} \quad,\quad \tau_3=\frac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2} </math>
一般的に、主応力とは異なり、主せん断応力が働く面にはせん断応力だけでなく垂直応力も働く。

=== 平衡方程式 ===
外力'''''F''''' を受けて静的な釣り合い状態にある物体内部の任意の点では、その応力&sigma;は次の'''平衡方程式'''あるいは'''つりあい方程式'''を満たす{{Sfn|野田直剛|谷川義信|須見尚文|辻知章|1999|p=18}}。
:<math>\begin{align}
\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial  \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial  \tau_{zx}}{\partial z}+F_x&=0,\\
\frac{\partial  \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial  \tau_{zy}}{\partial z}+F_y&=0,\\
\frac{\partial  \tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial  \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}+F_z&=0
\end{align}</math>
あるいは次のような書き方もされる。
:<math>\begin{align}
& \sigma_{ij,j}+F_i=0,\quad (i=1,2,3),\\
& \operatorname{div} \sigma+\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}
\end{align}</math>

応力場&sigma;が平衡方程式と、表面力規定境界&part;''R<sub>t</sub>'' における境界条件（コーシーの式）
: <math>\boldsymbol{t} = \sigma^\mathrm{T} \boldsymbol{n},\quad\text{at}\;\partial R_t</math>
を満たすとき、その応力場&sigma;を'''静的に許容な場'''という{{Sfn|渋谷陽二|2011|p=34}}。

=== パイオラ･キルヒホッフ応力テンソル ===
真応力（コーシー応力）テンソル&sigma;と[[変形勾配]]テンソル''F'' を用いて定義される次のテンソルを'''パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル'''（Piola-Kirchhoff stress tensor）という{{Sfn|渋谷陽二|2011|pp=29-31}}。
;第1パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル
:<math>\Pi=\det(F) \sigma (F^{-1})^\mathrm{T}</math>
;第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル
:<math>K=F^{-1}\Pi=\det(F)F^{-1}  \sigma (F^{-1})^\mathrm{T}</math>

真応力に関するコーシーの式は上述のとおり現配置での応力ベクトル'''''t''''' と法線ベクトル'''''n''''' で表されるが、パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルを用いても類似の関係式が成り立つ。
:<math>\begin{align}
\boldsymbol{t}_0&=\Pi \boldsymbol{n}_0,\\
\hat{\boldsymbol{t}}&=K \boldsymbol{n}_0
\end{align}</math>
ここで、
*<math>\boldsymbol{n}_0</math>：基準配置の微小面の法線ベクトル
*<math>\boldsymbol{t}_0</math>：現配置の微小面に作用している力を、基準配置の微小面の面積で割って定義される応力ベクトル
*<math>\hat{\boldsymbol{t}}</math>：現配置の微小面に作用している力を基準配置で求めなおし、それを基準配置の微小面の面積で割って定義される応力ベクトル
である。

[[仮想仕事の原理]]を適用する際には、これらの応力テンソルと共役な関係にあるひずみテンソルは以下のようになる。
* コーシー応力 - アルマンシーひずみ
* 第1パイオラ･キルヒホッフ応力 - 変形勾配
* 第2パイオラ･キルヒホッフ応力 - グリーンひずみ

== 偏差応力 ==
偏差応力(deviatoric stress) は、応力テンソルからその等方成分を差し引いたものとして定義される。物体に等方的な圧縮・引張り以外のせん断変形が生じた場合に、偏差応力が発生する。偏差応力 dev[&sigma;] は次のように定義される。
: <math>\operatorname{dev}[\sigma] = \sigma + pI</math>
ここで
: <math>p = -\frac{1}{3}\operatorname{tr} [\sigma]=-\frac{\sigma_{kk}}{3}</math>
は非決定（静水圧）応力、''I'' は2階の単位テンソルである。

== 材料の降伏と等価応力 ==
上記にあるとおり、応力は3次元的な[[テンソル量|テンソル]]である。一般の応力について[[材料]]の特性値を調べるのは困難であるため、降伏に対して等価とみなせる1軸応力に対応する[[スカラー量]]である'''等価応力'''に換算すると便利である。等価応力は材料の[[降伏 (物理)|降伏]]する条件に応じて以下のようなものがある。

=== 最大主応力説 ===
ある点で最大主応力 &sigma;<sub>1</sub> が材料の降伏を決定するというのが最大主応力説である。すなわち、
:<math>\sigma_1 \ge \sigma_\mathrm{Y}</math>
が降伏の条件である。ここで &sigma;<sub>Y</sub> は材料の降伏応力である。最大主応力説はガラスなどの[[脆性]]材料で良く当てはまる<ref name = "材料強度_9-12"/>。

=== せん断ひずみエネルギー説 ===
単位体積あたりのせん断ひずみエネルギーが限界を越えると、材料が[[破壊]]されるという説である。ともいう。全ひずみエネルギーから静ひずみエネルギーを差し引いたせん断ひずみエネルギー ''U'' を評価基準とする。
: <math>U = \frac{1 + \nu} {6E} ((\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2)</math>
ここで、&nu;は[[ポアソン比]]、''E'' は[[ヤング率]]である。

せん断ひずみエネルギーに比例する相当応力を'''[[ミーゼス応力|Misesの相当応力]]'''&sigma;<sub>Mises</sub>とよび、主応力を用いて以下の式で表される。
: <math>\sigma_\mathrm{Mises}^2 = \frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2} {2} </math>

降伏条件は以下の通り。
: <math>\sigma_\mathrm{Mises} \ge \sigma_\mathrm{Y}</math>

せん断ひずみエネルギー説は鋼材などの[[塑性|延性]]材料に比較的良く当てはまる<ref name = "材料強度_9-12"/>。

=== 最大せん断応力説 ===
延性材料が降伏するときすべりが観察されることに着目し、最大せん断応力が降伏を決定するという説を'''最大せん断応力説'''、または'''[[トレスカ]]の応力'''説と呼ぶ。このときに用いられる相当応力をトレスカ応力とよび、最大せん断応力を記号 &tau;<sub>max</sub> 、トレスカ応力を&sigma;<sub>Tresca</sub>で表すと、主応力とは次式に示す関係がある。
: <math>\begin{align}
\tau_\mathrm{max} &= \frac{1}{2}(\mathrm{max} |\sigma_i - \sigma_j|) ,\\
\sigma_\mathrm{Tresca}&= 2 \tau_\mathrm{max}
\end{align}</math>

降伏条件は以下の通り。
: <math>\sigma_\mathrm{Tresca} \ge \sigma_\mathrm{Y}</math>

最大せん断応力説も延性材料に当てはまることが多い<ref name = "材料強度_9-12"/>。また、&sigma;<sub>Tresca</sub> &ge; &sigma;<sub>1</sub>, &sigma;<sub>Tresca</sub> &ge; &sigma;<sub>Mises</sub> であり、上記2説に対して安全側であることから評価基準として利用されることがある。

==応力と応力度==
'''応力'''という言葉の定義は利用分野により異なる。土木、建築分野では連続体内部の面にかかる内力を応力、その単位面積当たりの力を'''応力度''' (stress intensity) と呼んでいるが、機械工学関係では内力の単位面積当たりの力を応力と呼び、同じ言葉でも定義が異なることに注意が必要である
<ref>{{Cite web
|author=福井コンピュータ
|url=http://www.weblio.jp/content/%E5%BF%9C%E5%8A%9B%E5%BA%A6
|title=応力度
|work=建築用語大辞典
|publisher=ウェブリオ株式会社
|accessdate=2013-08-12
}}</ref>
<ref>{{Cite web
|author=萩原芳彦
|date=2007-09-30
|url=http://homepage2.nifty.com/ymhagisan/yomoyama/yomoyama1/yomoNo5.pdf
|title=第５話 応力とは何
|work=初学者のための材料力学四方山話
|page=3。
|accessdate=2011-12-25
}}</ref>
。

==残留応力==
'''残留応力'''とは、外力が作用していない物体の内部に生じている応力である。残留応力は機械的または熱的な原因で物体に不均一に[[弾塑性]]変形が生じることにより発生する<ref name=ooyane>{{cite|和書 |author=大矢根守哉監修 |title=塑性加工学 |publisher=養賢堂 |year=1999 |edition=14 |isbn=4-8425-0113-8 |page=76}}</ref>。
{{main|残留応力}}

==注記==
{{Reflist|group=注}}
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2|refs=
<ref name = "機械工学辞典_567-568">[[#機械工学辞典|「機械工学辞典」pp.567-568]]</ref>
<ref name = "材料強度_9-12">[[#材料強度|「材料強度」pp.9-12]]</ref>
<ref name = "弾性力学_10-15">[[#弾性力学|「弾性力学」pp.10-15]]</ref>
<ref name = "弾性力学_8-9">[[#弾性力学|「弾性力学」pp.8-9]]</ref>
<ref name = "弾性力学_5-6">[[#弾性力学|「弾性力学」pp.5-6]]</ref>
}}

== 参考文献 ==
{{Refbegin|2}}
* {{cite book|和書
|editor=日本機械学会
|title=機械工学辞典
|publisher=丸善
|date=2007-01-20
|edition=第2版
|ISBN=978-4-88898-083-8
|ref=機械工学辞典
}}
*{{Cite book|和書
|author = 大路清嗣、中井善一
|date = 2010-10-20
|title = 材料強度
|publisher = コロナ社
|isbn = 978-4-339-04039-5
|ref = 材料強度
}}
* {{cite book|和書
|author=村上敬宜
|title=弾性力学
|publisher=養賢堂
|date=2004-03-30
|edition=第14版
|ISBN=978-4842501215
|ref=弾性力学
}}
*{{cite|和書 |author=小林英男|author2=轟章 |title=固体の弾塑性力学 |publisher=数理工学社 |year=2007 |isbn=978-4-901683-51-7|ref=harv}}
*{{cite|和書 |author=渋谷陽二 |title=塑性の物理 |publisher=森北出版 |year=2011 |isbn=978-4-627-66761-7|ref=harv}}
*{{cite|和書 |author=野田直剛|author2=谷川義信|author3=須見尚文|author4=辻知章 |title=基礎弾性力学 |publisher=日新出版 |edition=8 |year=1999 |isbn=4-8173-0146-5|ref=harv}}
{{Refend}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Stress (mechanics)}}
*[[力]]、[[力学]]、[[応用力学]]、[[材料力学]]
*[[変形]]、[[ひずみ]]、[[ひずみゲージ]]
*[[弾性係数]]、[[降伏 (物理)|降伏]]、[[耐力]]
*[[地震]]、[[アスペリティ]]
*[[熱応力]]
*[[応力集中]]、[[応力拡大係数]]

{{DEFAULTSORT:おうりよく}}
[[Category:物理量]]
[[Category:圧力]]
[[Category:固体物理学]]
[[Category:連続体力学]]