差集合のソースを表示

'''差集合'''（さしゅうごう、<em lang=en>difference set</em>）とは、ある集合の中から別の集合に属する要素を取り去って得られる[[集合]]のことである。

==定義==
[[Image:Venn0010.svg|thumb|right|差集合 ''B'' &minus; ''A'' のベン図による視覚化（左がA、右がB。）:<br><math>B  \setminus A~~=~~A^c \cap B</math>]]
[[image:Venn0100.svg|right|thumb|差集合 ''A'' &minus; ''B'' のベン図による視覚化（左がA、右がB。）:<br><math>A \setminus B~~=~~A \cap B^c</math>]]
集合 ''B'' から集合 ''A'' に属する元を間引いて得られる集合を
:<math>B \setminus A, \quad B \smallsetminus A</math> 
または ''B'' &minus; ''A'' と表現し、''B'' から ''A'' を引いた'''差'''、'''差集合'''あるいは ''B'' における ''A'' の（'''相対'''）'''補集合'''と呼ぶ。記号を用いて書けば、
:<math>x \in B \smallsetminus A \iff x \in B \mbox{ and } x \notin A</math>
が差集合の定義である。一般に集合の差は[[交換法則]]を満たさない。

===注意===
集合 ''A'', ''B'' が[[加法]] + を持つ[[代数系]]（特に[[加法群]]）の[[部分集合]]であるとき、''B'' &minus; ''A'' は集合 {''b'' &minus; ''a'' | ''a'' &isin; ''A'', ''b'' &isin; ''B''} と紛らわしいのでこの記法を使用するには注意が必要である。

===例===
''P'' = {1,3,5,7,9} (10 以下の[[奇数]]の集合)
''Q'' = {2,3,5,7} (10 以下の[[素数]]の集合)
このとき 
:<math>P \smallsetminus Q = \{ 1,9 \}</math> 
であり、
:<math>Q \smallsetminus P = \{ 2 \}</math>
である。

==補集合==
[[Image:Venn1010.svg|thumb|right|補集合のベン図による視覚化（左がA、右がB。）:<br><math>A^c~~=~~\emptyset^c \setminus A</math>]]
全体集合や[[普遍集合]] (<span lang=en>universe</span>) などと呼ばれる（大きな）[[集合]] ''U'' を固定して、その[[部分集合]]についてのみ考えているとき（例えば、''U'' が[[自然数]]全体、[[実数]]全体やある[[位相空間]]であるときなど） ''U'' の部分集合 ''A'' について、
:<math>U \smallsetminus A</math>
を ''A'' の（'''絶対'''）'''補集合'''（ほしゅうごう、<em lang=en>complement</em>）といい、
:<math>A^c,\, \complement A,\, \bar{A}</math>
などと表す。

*ある集合の補集合の補集合はもとの集合自身である。
*自然数について考えているとき、奇数全体の集合の補集合は[[偶数]]全体の集合である。

===注意===
''P'' の補集合を ''P''<sup>''c''</sup> と表す場合、おおくは ''P''<sup>-</sup> が ''P'' の[[閉包]] をあらわす。逆に ''P''<sup>-</sup> が補集合を表しているような文脈では、''P''<sup>''c''</sup> で ''P'' の閉包 (closure) を記すことがある。

===ド・モルガンの法則===
''P'', ''Q'' をある集合の部分集合とするとき、
:(''P'' &cup; ''Q'')<sup>''c''</sup> = ''P''<sup>''c''</sup> &cap; ''Q''<sup>''c''</sup>
:(''P'' &cap; ''Q'')<sup>''c''</sup> = ''P''<sup>''c''</sup> &cup; ''Q''<sup>''c''</sup><br>
<!--[[画像:Venn1110.svg|100px|ベン図によるPとQの積集合に対する補集合]][[画像:Venn1000.svg|100px|ベン図によるPとQの和集合に対する補集合]][[画像:Venn1010.svg|100px|ベン図によるPの補集合]][[画像:Venn1100.svg|100px|ベン図によるQの補集合]]-->
が成り立つことが分かる。これはもっと一般化できて、{''P''<sub>&lambda;</sub>}<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub> をある基礎となる集合の部分集合の族とするときに、
:<math>\left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda \right) ^c = \bigcap P_\lambda^c</math>
:<math>\left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda \right) ^c = \bigcup P_\lambda^c</math>
が成り立つ。これらを[[ド・モルガンの法則]]という。

この法則は、対応する論理記号の性質（特に双対性）を反映したものである。詳しくは[[記号論理学]]の項目を参照。

==関連項目==
*[[集合の代数学]]

{{集合論}}
[[Category:集合論|さしゆうこう]]
[[Category:初等数学|さしゆうこう]]
[[Category:数学に関する記事|さしゆうこう]]