多角数のソースを表示

'''多角数'''（たかくすう、{{lang-en-short|polygonal number}}）は、[[正多角形]]の形に点を並べたときにそこに含まれる点の総数にあたる[[自然数]]である。'''多角形数'''ともいう。

== 例 ==
例えば10個の点は
:{|
| align="center" | [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]
|}
このように[[正三角形]]の形に並べることができるので10は[[三角数]]である。また16個の点は
:{|
| align="center" | [[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]
|}
このように[[正方形]]の形に並べることができ、16は四角数（[[平方数]]）である。

三角数、四角数、[[六角数]]の例を以下に示す。

三角数
:{|
! 1 !! !! 3 !! !! 6 !! !! 10
|- align="center" valign="top"
|[[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|}

四角数
:{|
! 1 !! !! 4 !! !! 9 !! !! 16
|- align="center" valign="top"
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
|}

六角数
:{|
! 1 !! !! 6 !! !! 15 !! !! 28
|- align="center" valign="middle"
|[[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|}

五角数以上では、点を[[回転対称]]には並べないことに注意。

== 一般化 ==
0番目の多角数は全て、形式的に0とみなすことができる。

''n''番目の''p''角数を ''P''<sub>''p'',''n''</sub> とすると上の図から
: <math>P_{p,n+1} - P_{p,n} = (p-2)n + 1\,</math>
となり、したがって ''P''<sub>''p'',''n''</sub> は[[等差数列]]の和
: <math>\begin{align} P_{p,n} &= \sum_{k=0}^{n-1} \left\{ (p-2)k+1 \right\}
\\ &= \frac{1}{2} n \left[1 + \left\{ (p-2)(n-1) + 1 \right\} \right]
\\ &= \frac{(p-2)n^2 - (p-4)n}{2}
\\ \end{align}</math>
となる。

この式から、2番目の''p''角数は''p''であり、3番目の''p''角数は 3(''p''-1) であることなどが分かる。

なおここで、形式的に「二角数」（''p'' = 2）を考えると、
: <math>P_{2,n} = n \,</math>
となり、自然数列そのものになる。これは、点を[[直線]]状に並べることに相当する。ただし[[古代ギリシャ]]の数学者が直線数と呼んでいたのは、（[[長方形|矩形]]に並べられることができないことから）[[素数]]である。

== 性質 ==
* 任意の自然数は、''p'' 個の ''p'' 角数の和で表せる。これを[[多角数定理]]という。
* 1番目の多角数は1、2番目の ''p'' 角数は ''p'' である。したがって、2以外の自然数はなんらかの多角数である。
* 3番目以降（3番目を含む）の多角数は、[[合成数]]である。
* ''n'' 番目の ''p'' 角数は、''n'' が偶数で ''p'' が奇数のときに限り、''n'' の倍数でない。
* ''n'' 番目の ''p'' 角数と ''n'' + 1 番目の ''p'' 角数の差は、(''p'' - 2) ''n'' + 1 である。
* ''n'' 番目の ''p'' 角数と ''n'' 番目の ''p'' + 1 角数の差は、''p'' によらず ''n'' だけで決まり、''n'' - 1 番目の三角数に等しい。（次の表を縦に読むと等差数列になっている）

== 多角[[数表]] ==
{| class="wikitable"
|-
!名前!!一般式!!''n''=1!!2!!3!!4!!5!!6!!7!!8!!9!!10!!11!!12!!13
|-
|-
|[[三角数]]||½(1''n''² + 1''n'')||1||3||6||10||15||21||28||36||45||55||66||78||91
|-
|[[平方数|四角数]]||½(2''n''² + 0''n'')||1||4||9||16||25||36||49||64||81||100||121||144||169
|-
|[[五角数]]||½(3''n''² - 1''n'')||1||5||12||22||35||51||70||92||117||145||176||210||247
|-
|[[六角数]]||½(4''n''² - 2''n'')||1||6||15||28||45||66||91||120||153||190||231||276||325
|-
|[[七角数]]||½(5''n''² - 3''n'')||1||7||18||34||55||81||112||148||189||235||286||342||403
|-
|[[八角数]]||½(6''n''² - 4''n'')||1||8||21||40||65||96||133||176||225||280||341||408||481
|-
|[[九角数]]||½(7''n''² - 5''n'')||1||9||24||46||75||111||154||204||261||325||396||474||559
|-
|[[十角数]]||½(8''n''² - 6''n'')||1||10||27||52||85||126||175||232||297||370||451||540||637
|-
|十一角数||½(9''n''² - 7''n'')||1||11||30||58||95||141||196||260||333||415||506||606||715
|-
|十二角数||½(10''n''² - 8''n'')||1||12||33||64||105||156||217||288||369||460||561||672||793
|-
|十三角数||½(11''n''² - 9''n'')||1||13||36||70||115||171||238||316||405||505||616||738||871
|-
|十四角数||½(12''n''² - 10''n'')||1||14||39||76||125||186||259||344||441||550||671||804||949
|-
|十五角数||½(13''n''² - 11''n'')||1||15||42||82||135||201||280||372||477||595||726||870||1027
|-
|十六角数||½(14''n''² - 12''n'')||1||16||45||88||145||216||301||400||513||640||781||936||1105
|-
|十七角数||½(15''n''² - 13''n'')||1||17||48||94||155||231||322||428||549||685||836||1002||1183
|-
|十八角数||½(16''n''² - 14''n'')||1||18||51||100||165||246||343||456||585||730||891||1068||1261
|-
|十九角数||½(17''n''² - 15''n'')||1||19||54||106||175||261||364||484||621||775||946||1134||1339
|-
|二十角数||½(18''n''² - 16''n'')||1||20||57||112||185||276||385||512||657||820||1001||1200||1417
|-
|二十一角数||½(19''n''² - 17''n'')||1||21||60||118||195||291||406||540||693||865||1056||1266||1495
|-
|二十二角数||½(20''n''² - 18''n'')||1||22||63||124||205||306||427||568||729||910||1111||1332||1573
|-
|二十三角数||½(21''n''² - 19''n'')||1||23||66||130||215||321||448||596||765||955||1166||1398||1651
|-
|二十四角数||½(22''n''² - 20''n'')||1||24||69||136||225||336||469||624||801||1000||1221||1464||1729
|-
|二十五角数||½(23''n''² - 21''n'')||1||25||72||142||235||351||490||652||837||1045||1276||1530||1807
|-
|二十六角数||½(24''n''² - 22''n'')||1||26||75||148||245||366||511||680||873||1090||1331||1596||1885
|-
|二十七角数||½(25''n''² - 23''n'')||1||27||78||154||255||381||532||708||909||1135||1386||1662||1963
|-
|二十八角数||½(26''n''² - 24''n'')||1||28||81||160||265||396||553||736||945||1180||1441||1728||2041
|-
|二十九角数||½(27''n''² - 25''n'')||1||29||84||166||275||411||574||764||981||1225||1496||1794||2119
|-
|三十角数||½(28''n''² - 26''n'')||1||30||87||172||285||426||595||792||1017||1270||1551||1860||2197
|}

== 関連項目 ==
* [[中心つき多角数]]
* [[図形数]]
* [[正多角形]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=PolygonalNumber|title=PolygonalNumber}}
* [http://www.virtuescience.com/polygonal-numbers.html PolygonalNumbers virtuescience 多角数表]

{{DEFAULTSORT:たかくすう}}
[[Category:図形数]]
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[ru:Последовательность двенадцатиугольника]]