多角形のソースを表示

'''多角形'''（たかくけい、たかっけい、{{lang-en-short|polygon}}）とは、平面上の閉じた単純折れ線、および平面上の閉じた単純折れ線によって囲まれた[[図形]]のことを指す。

ここで、
# '''折れ線'''とは複数の[[線分]]をその[[端点]]でつなぎ合わせてできる[[曲線]]を言う。
# 曲線が'''単純'''であるとは、曲線が（端点以外では）自己交差しない事を言う。
# 曲線が'''閉じている'''とは、長さが有限で端点を持たない事を言う（厳密にいうと、さらに[[コンパクト (数学)|コンパクト]]でなければならない）。

なお、[[コンピュータグラフィック]]分野では多角形のことを[[ポリゴン]]と称することがある。

== 用語 ==
* '''頂点''' ： 上で述べられている、線分の端点のこと。
* '''辺''' ： 上で述べられている、線分のこと。
* '''面''' ： 多角形によって囲まれた[[領域 (数学)|領域]]。3. より多角形が閉じていることがわかることから定義できる。
* '''内角''' ： 多角形のある頂点における内角とは、その頂点を端点に持つ二つの辺が作る二つの角のうち、多角形の内部にあるほうをいう。
* '''外角''' ： 多角形のある頂点における外角とは、その頂点を端点に持つ二つの辺のうち一方を延長してできる直線と、もう一方の線分がなす角の事。外角は二つあるが、その大きさは共に等しい。外角の大きさと内角の大きさを加えたものは180度（ラジアン角では&pi;）に等しい。各頂点の外角の大きさの[[総和]]は、辺の本数に関わらず、常に360度（ラジアン角では2&pi;）である。
* '''[[対角線]]''' ： 一つの多角形の二つの頂点を端点に持つ[[線分]]のうち多角形の辺ではないものをその多角形の対角線という。
* '''[[正多角形]]''' ： 全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形。
* '''[[凸多角形]]''' ： 全ての内角の大きさが180度未満であるような多角形。全ての対角線が図形の内部を通る多角形と定義してもよい。全ての三角形は凸多角形である。
* '''[[凹多角形]]''' ： 少なくとも一つの内角の大きさが180度を超えるような多角形。少なくとも一本の対角線が図形の外部を通る。

''n'' 本の辺を持つ多角形を、'''''n'' 角形'''と呼ぶ。ここで ''n'' は、n角形となったとき名詞となるので、基本的には[[漢数字]]で表記される。（例：「3角形」ではなく「[[三角形]]」）。''n'' 角形の内角の総和は、多角形の形状に関わらず（凸であれ凹であれ）　<math>(n-2) \times 180^\circ \,</math>　である。これはどのような多角形でも、対角線で適当に区切ることで (n-2) 個の三角形に分割できることから導かれる。正 ''n'' 角形の内角は全て等しいので、正 ''n'' 角形の内角は <math> \frac{n-2}{n} \times 180^\circ \,</math> である。

== 面積公式 ==
多角形の面積は、頂点の位置ベクトルから外積を用いて計算することができる。
多角形の頂点を反時計回りに並べて、それらの位置ベクトルを<math>\vec{p}_1,\dots,\vec{p}_n</math>とすると、その面積は
* <math>\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \vec{p}_k \times \vec{p}_{k+1}</math>
という式になる。ただし、<math>\vec{p}_{n+1}=\vec{p}_1</math>とする。

この式を使うと凹多角形でも問題なく計算できるが、自己交差を持つなどの特殊な場合には適用できないので注意が必要である。
ちなみに、時計回りの時は負になるだけなので、どちら回りかよく分からないときには全体の絶対値をとればよい。

== 合同条件 ==
辺の数が同数の二つの多角形 P , P' があるとする。この二つの多角形に対し[[合同関係]]が定義できるが、次の条件を満たすとき、二つの多角形は合同である。
*P , P' に関して、それぞれある単純閉路 C , C' が存在して、通った辺の順に、その長さをそれぞれ (''l''<sub>1</sub>,''l''<sub>2</sub>,&hellip;,''l''<sub>''n''</sub>) , (''l''&#39;<sub>1</sub>,''l''&#39;<sub>2</sub>,&hellip;,''l''&#39;<sub>''n''</sub>) とすれば、''l''<sub>1</sub> = ''l''&#39;<sub>1</sub> , ''l''<sub>2</sub> = ''l''&#39;<sub>2</sub> , &hellip; , ''l''<sub>''n''</sub> = ''l''&#39;<sub>''n''</sub> が成り立つ。
*P , P' に関して、それぞれある単純閉路 C , C' が存在して、通った頂点の順に、その対応する角の大きさをそれぞれ (&theta;<sub>1</sub>,&theta;<sub>2</sub>,&hellip;,&theta;<sub>''n''</sub>) , (&theta;&#39;<sub>1</sub>,&theta;&#39;<sub>2</sub>,&hellip;,&theta;&#39;<sub>''n''</sub>) とすれば、&theta;<sub>1</sub> = &theta;&#39;<sub>1</sub> , &theta;<sub>2</sub> = &theta;&#39;<sub>2</sub> , &hellip; , &theta;<sub>''n''</sub> = &theta;&#39;<sub>''n''</sub> が成り立つ。

また、辺の数に関係なく、二つの多角形の面積が等しければ、適当に分割することによって、二つの多角形を合同にすることができる。（'''ボヤイの定理'''）

== 相似条件 ==
辺の数が同数の二つの多角形 P , P' があるとする。この二つの多角形に対し[[相似関係]]が定義できるが、次の条件を満たすとき、二つの多角形は相似である。
*P , P' に関して、それぞれある単純閉路 C , C' が存在して、通った辺の順に、その長さをそれぞれ (''l''<sub>1</sub>,''l''<sub>2</sub>,&hellip;,''l''<sub>''n''</sub>) , (''l''&#39;<sub>1</sub>,''l''&#39;<sub>2</sub>,&hellip;,''l''&#39;<sub>''n''</sub>) とすれば、ある定数 ''k'' が存在して、''l''<sub>1</sub> = ''kl''&#39;<sub>1</sub> , ''kl''<sub>2</sub> = ''kl''&#39;<sub>2</sub> , &hellip; , ''l''<sub>''n''</sub> = ''kl''&#39;<sub>''n''</sub> が成り立つ。
*P , P' に関して、それぞれある単純閉路 C , C' が存在して、通った頂点の順に、その対応する角の大きさをそれぞれ (&theta;<sub>1</sub>,&theta;<sub>2</sub>,&hellip;,&theta;<sub>''n''</sub>) , (&theta;&#39;<sub>1</sub>,&theta;&#39;<sub>2</sub>,&hellip;,&theta;&#39;<sub>''n''</sub>) とすれば、&theta;<sub>1</sub> = &theta;&#39;<sub>1</sub> , &theta;<sub>2</sub> = &theta;&#39;<sub>2</sub> , &hellip; , &theta;<sub>''n''</sub> = &theta;&#39;<sub>''n''</sub> が成り立つ。

== 代表的な多角形 ==
*[[三角形]]、[[四角形]]、[[五角形]]、[[六角形]]、[[七角形]]、[[八角形]]、[[九角形]]、[[十角形]]、[[十一角形]]、[[十二角形]]、[[十三角形]]、[[十四角形]]、[[十五角形]]、[[十六角形]]、[[十七角形]]、[[十八角形]]、[[十九角形]]、[[二十角形]]、[[二十一角形]]…など
*[[ポリゴン]]

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Polygons}}
* [[多面体]]
* [[多胞体]]
* [[座標法]]

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:たかくけい}}
[[Category:多角形|*]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]