多冪数のソースを表示

[[整数]]''n''が'''多冪数'''（たべきすう、powerful number）であるとは、[[素数]]''p''が''n''を割り切るときに、必ず''p''の[[冪乗|平方]]が''n''を割り切ることをいう。

[[ポール・エルデシュ]]とG. Szekeresがこの形の数を研究したが、S. W. Golombがはじめてこの形の数を多冪数と名づけた。

== 性質 ==
多冪数を[[素因数分解]]すると、現れる[[指数]]は常に1より大きくなる。

2''r''+3''s''（''r'', ''s''は正の整数）は1より大きなすべての整数を表すから、多冪数は''a''<sup>2</sup>''b''<sup>3</sup>の形に表される。また、''b''が[[無平方数|平方因子を持たない]]という条件の下では、多冪数はこの形に一意的に表される。

多冪数の[[逆数]]の和は
<math>\prod_p(1+\frac{1}{p(p-1)})=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}=\frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)</math>（''p''は全ての素数を走る）
に収束する。ここで&zeta;(''s'')は[[ベルンハルト・リーマン]]の[[リーマンゼータ関数|ゼータ関数]]である(Golomb, 1970)。

''k''(''x'')を1&le;''n''&le;''x''となる多冪数''n''の個数とすると、
<math>cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2.173\cdots</math>
となる(Golomb, 1970)。

[[ペル方程式]]''x''<sup>2</sup>-8''y''<sup>2</sup>=1は無限に多くの自然数解を持つから、
無限に多くの連続する多冪数が存在する(Golomb, 1970)。

[[奇数]]や4の倍数は多冪数、特に[[平方数]]の差で表されるが、Golombは

:2=3<sup>3</sup>-5<sup>2</sup>
:10=13<sup>3</sup>-3<sup>7</sup>
:18=19<sup>2</sup>-7<sup>3</sup>=3<sup>2</sup>(3<sup>3</sup>-5<sup>2</sup>)

など、多冪数の差として表される[[単偶数]]の例を示し、6はそのように表すことはできず、他にも多冪数の差として表すことができない無限に多くの数が存在すると予想したが、Narkiewiczは

:6=5<sup>4</sup>7<sup>3</sup>-463<sup>2</sup>

など、6は多冪数の差として無限に多くの方法で表されることを示し、McDanielは全ての整数は互いに素な多冪数の差として無限に多くの方法で表されることを示した(McDaniel, 1982)。

エルデシュは十分大きな全ての整数は高々3つの多冪数の和として表されると予想したが、これはHeath-Brownによって証明された(Heath-Brown, 1987)。

== 一般化 ==

より一般的な概念として、素因数分解したときに現れる指数が少なくとも''k''であるような整数を''k''-多冪数(''k''-powerful number, ''k''-ful number, ''k''-full number)と呼ぶ。

:(2<sup>''k''</sup>+1}-1)<sup>''k''</sup>, 2<sup>''k''</sup>(2<sup>''k''+1</sup>-1)<sup>''k''</sup>, (2<sup>''k''+1</sup>-1)<sup>''k''+1</sup>

は''k''-多冪数からなる[[等差数列]]である。また''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''s''</sub>が''k''-多冪数からなる公差''d''の等差数列であれば、

: ''a''<sub>1</sub>(''a''<sub>''s''</sub>+''d'')<sup>''k''</sup>, ''a''<sub>2</sub>(''a''<sub>''s''</sub>+''d'')<sup>''k''</sup>, ..., ''a''<sub>''s''</sub>(''a''<sub>''s''</sub>+''d'')<sup>''k''</sup>, (''a''<sub>''s''</sub>+d)<sup>''k''+1</sup>

は''s''+1項からなる等差数列である。

''k''-多冪数による等式としては、

:''a''<sup>''k''</sup>(''a''<sup>''l''</sup>+...+1)<sup>''k''</sup>+''a''<sup>''k''+1</sup>(''a''<sup>''l''</sup>+...+1)<sup>''k''</sup>+...+''a''<sup>''k''+''l''</sup>(''a''<sup>''l''</sup>+...+1)<sup>''k''</sup>=''a''<sup>''k''</sup>(''a''<sup>''l''</sup>+...+1)<sup>''k''+1</sup>

というものもあり、ここから、''l''+1個の''k''-多冪数の和が''k''-多冪数となる例が無数にあることがわかる。Nitajは互いに素な3-多冪数で、その和が3-多冪数となるものが無数にあることを示し(Nitaj, 1995)、Cohnは互いに素で、なおかつ[[立方数]]でない3-多冪数で、その和が再び[[立方数]]でない3-多冪数となるものが無数にあることを示した(Cohn, 1998)。Cohnの構成は次の通りである。''X''=9712247684771506604963490444281, ''Y''=32295800804958334401937923416351, ''Z''=27474621855216870941749052236511は方程式32''X''<sup>3</sup> + 49''Y''<sup>3</sup> = 81''Z''<sup>3</sup>の解であり、ここから''X''&prime;=''X''(49''Y''<sup>3</sup> + 81''Z''<sup>3</sup>), ''Y''&prime; = −''Y''(32''X''<sup>3</sup> + 81''Z''<sup>3</sup>), ''Z''&prime; = ''Z''(32''X''<sup>3</sup> − 49''Y''<sup>3</sup>)とし、その公約数を取り除くことによって新たに方程式32''X''<sup>3</sup> + 49''Y''<sup>3</sup> = 81''Z''<sup>3</sup>の解を構成する。32''X''<sup>3</sup>, 49''Y''<sup>3</sup>, 81''Z''<sup>3</sup>が求める組である。

== 参考文献 ==
J. H. E. Cohn, A conjecture of Erd&#246;s on 3-powerful numbers, ''Math. Comp.'' '''67''' (1998), 439--440. [http://www.ams.org/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00881-3/]

P. Erd&#246;s & G. Szekeres, &#220;ber die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und &#252;ber ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, ''Acta Litt. Sci. Szeged'' '''7'''(1934), 95--102.

S. W. Golomb, Powerful numbes, ''Amer. Math. Monthly'' '''77'''(1970), 848--852.

Richard Guy, Section B16 in ''Unsolved Problems in Number Theory'', Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.

D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, ''S&#233;minaire de Th&#233;orie des Nombres, Paris, 1986-7'', Birkh&#228;user, Boston, 1988.

D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), ''Colloq. Math. Soc. J&#225;nos Bolyai'' '''51'''(1990), 163--171.

Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, ''Fibonacci Quart.'' '''20'''(1982), 85--87.

A. Nitaj, On a conjecture of Erd&#246;s on 3-powerful numbers, ''Bull. London Math. Soc.'' '''27''' (1995), 317--318.

== 外部リンク ==
[http://mathworld.wolfram.com/PowerfulNumber.html Powerful number]

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