同値のソースを表示

{{otheruses|命題の同値性|同値関係における同値|同値関係}}
{{redirect|iff|その他のIFF|IFF}}

'''同値'''（どうち）または'''等価'''（とうか）とは、2つの[[命題]]が共に[[真]]または共に[[偽]]のときに真となる[[論理演算]]である。

[[英語]]ではequivalence ('''EQ''')。「if and only if」を略して、'''iff'''ともいう。'''否定排他的論理和''' ('''XNOR''') に等しい。

[[演算子]]記号は ⇔、&#x2194;、≡、=、EQ  などが使われる。

== 性質 ==
同値の基本的な性質は以下のとおり。<math>\Rightarrow</math>は[[論理包含演算|論理包含]]（ならば）、<math>\land</math>は[[論理積]]（かつ）。
* 反射律: <math>p \Leftrightarrow p</math>
* 対称律: <math>(p \Leftrightarrow q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow p)</math>
* 推移律: <math>\{(p \Leftrightarrow q) \land (q \Leftrightarrow r)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow r)</math>
他にも次のような性質がある。<math>\lnot</math>は[[否定]]、<math>\veebar</math>は[[排他的論理和]]。
* 反対称律: <math>\{(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow q)</math>
* <math>(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow \lnot (p \veebar q)</math>

=== 真理値表 ===
{|class="wikitable" style="text-align:center"
!命題 ''P''!!命題 ''Q''!!''P'' ⇔ ''Q''
|-
|真||真||'''真'''
|-
|真||偽||'''偽'''
|-
|偽||真||'''偽'''
|-
|偽||偽||'''真'''
|}

== 概要 ==
''p'' ⇒ ''q'' が真であるとき、
{{Indent|''p'' は ''q'' である為の'''十分条件'''である、}}
{{Indent|''q'' は ''p'' である為の'''必要条件'''である}}
などという。 ''p'' ⇔ ''q'' が真であるとき、「 ''p'' は ''q'' である為の'''必要十分条件'''である 」、「 ''p'' と ''q'' とは'''同値'''である 」などという。
<!--
ここで言っている「十分」や「必要」の意味だが、身近な使用例としては、
:'''P''' 花子さんの数学の偏差値は65である。
:'''Q''' 数学の偏差値60以上でA大学に入れる。
という2つの命題があるとき、花子さんの偏差値は65なのでA大学に入れることになるので ''P'' ⇒ ''Q'' である。このとき、
:花子さんの偏差値 ('''''P''''') は、A大学に入る条件 (''Q'') を'''十分'''満たしている。
:A大学に入る ('''Q''') には、花子さんが入れるため (''P'') に最低限'''必要'''なランクである。
となる。-->

なお[[数学]]で、ある集合の2つの元が[[同値関係]]にあるとき、それらは互いに「同値である」と言うことがあるが、それとは区別すべきものである。ただし、2つの命題が同値であるという "関係" は同値律を満たすので "命題の全体" における "同値関係" になっている。

== 例 ==
⇒ と ⇔ の真理値表を用いて、 ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) が真であることを示そう。 '''''p'' が真で ''q'' も真である場合'''、 ⇔ の真理値表より ''p'' ⇔ ''q'' と ''q'' ⇔ ''p'' とは共に真であるから、 ⇒ の真理値表より ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) は真である。 '''''p'' が真で ''q'' が偽である場合'''、 ⇔ の真理値表より ''p'' ⇔ ''q'' と ''q'' ⇔ ''p'' とは共に偽であるから、 ⇒ の真理値表より ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) は真である。 '''''p'' が偽で ''q'' が真である場合'''、 ⇔ の真理値表より ''p'' ⇔ ''q'' と ''q'' ⇔ ''p'' とは共に偽であるから、 ⇒ の真理値表より ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) は真である。 '''''p'' が偽で ''q'' も偽である場合'''、 ⇔ の真理値表より ''p'' ⇔ ''q'' と ''q'' ⇔ ''p'' とは共に真であるから、 ⇒ の真理値表より ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) は真である。以上より、いずれの場合でも ( ''p'' ⇔ ''q'' ) ⇒ ( ''q'' ⇔ ''p'' ) は真である。

== 関連項目 ==
* [[数理論理学]]
* [[命題]]
* [[同一性]]

== 外部リンク ==
*{{SEP|necessary-sufficient|Necessary and Sufficient Conditions|[[スタンフォード哲学百科事典]]にある「必要条件と十分条件」についての記事}}
*{{MathWorld|title=Equivalent|urlname=Equivalent}}
*{{MathWorld|title=Iff|urlname=Iff}}

{{論理演算}}

{{DEFAULTSORT:とうち}}
[[Category:数理論理学]]
[[Category:数学に関する記事]]