双曲線のソースを表示

[[Image:Hyperbola2.png|thumb|right|双曲線]]

'''双曲線'''（そうきょくせん、[[英語|英]]：hyperbola）とは、2次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>2</sup> 上で定義され、ある2点 P , Q からの[[距離]]の差が一定であるような[[曲線]]の総称である。この P , Q は'''[[焦点 (幾何学)|焦点]]'''と呼ばれる。双曲線は、次の[[陰関数]]曲線の[[直交変換]]によって決定することができる。
:<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (*)</math>
この場合、焦点の座標は
:<math>P = (-\sqrt{a^2+b^2},0) \ , \ Q = (\sqrt{a^2+b^2},0)</math>
と書ける。このとき、2焦点から曲線への距離の差は 2''a'' となる。また、双曲線には 2 つの[[漸近線]]が存在しており、
:<math>bx+ay = 0 \ , \ bx-ay = 0</math>
である。漸近線が直交している、すなわち ''a''=''b'' であるとき、この双曲線を特に'''直角双曲線'''と呼んだりする。

[[反比例]]のグラフ<math>xy = C</math>も双曲線の一種である。これは、直角双曲線：<math>a^2-b^2=2C</math> を直交変換によって <math>\pi/4</math> だけ回転させた双曲線に等しい。

双曲線は、[[双曲線関数]]を用いて[[媒介変数表示]]することができる。
:<math>
\begin{cases}
  x = \pm a \cosh t \\
  y = b \sinh t
\end{cases}
</math>

==円錐曲線としての双曲線==
[[File:Conic sections 2.png|thumb|right|300px|円錐切断面の4つのタイプ([[放物線]]、[[楕円]]、[[円]]、[[双曲線]])]]

[[離心率]]が ''e'' であるような[[円錐曲線]]を C<sub>''e''</sub> とする。このとき、''e'' &gt; 1 であれば、 C<sub>''e''</sub> は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が ''x'' = -''f'' , 焦点の一つが P = (''f'',0) となったとする。双曲線の任意の点 T = (''x'',''y'') に対し、方程式
:<math>e(x-f) = d(P,T)</math>
が成立するが、<math>d(P,T) = \sqrt{(x-f)^2 + y^2}</math> となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、
:<math>x^2 + 2 \left( \frac{e^2+1}{e^2-1} \right) fx - \frac{y^2}{e^2-1} = -f^2 </math>
さらに ''x'' に関して[[平方完成]]させることにより、
:<math>\left(x+\left(\frac{e^2+1}{e^2-1}\right)f \right)^2 - \frac{y^2}{e^2-1} = \left(\frac{2e}{e^2-1}f \right)^2</math>
これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに直交変換：<math>X = x + \frac{e^2 + 1}{e^2-1} f</math> , Y=''y'' を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。

また、双曲線は、[[円錐]]を底面を通る軸に平行でない面で切断したときの、切断面の境界である。

==関連項目==
* [[双曲面]] - [[円錐曲線]]
* [[楕円]]
* [[放物線]]
* [[レムニスケート]]
* [[天体力学]]
* [[彗星]]

== 外部リンク ==
* [http://math-info.criced.tsukuba.ac.jp/museum/Mathematics_tools/geometrie_hyperbola/geometrie_hyperbola.htm デカルトの双曲線作図器１]

== 参考文献 ==
* 『曲線の事典　性質・歴史・作図法』　礒田正美、Maria G. Bartolini Bussi編、田端毅、讃岐勝、礒田正美著:共立出版、2009年　ISBN 9784320019072

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