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'''判別分析'''（はんべつぶんせき）は、事前に与えられているデータが異なるグループに分かれることが明らかな場合、新しいデータが得られた際に、どちらのグループに入るのかを判別するための基準（判別関数）を得るための手法。

判別関数には超平面・[[直線]]による線型判別関数(linear discriminant function)と、非線型の場合には超曲面・[[曲線]]による[[マハラノビス距離|マハラノビス汎距離]](Mahalanobis' generalized distance)による非線型判別関数とがある。 

3つ以上のグループの判別も可能である。これは重判別分析(multiple discriminant analysis)や正準判別分析と呼ばれる。

判別式の妥当性は、誤判別率などで評価できる。適した[[変数選択]]と判別方法にもとづいて分析することが必要であり、判別式（のみならず[[変数選択]])の妥当性を検証する手法として、元のデータから1つだけ外して判別（モデル）式を得、外したデータを新たなデータとして適用した際に妥当な結果が得られるかを検証する、1つとって置き法(leave-1-out)などが一般に用いられる。

[[入学試験|入試]]を具体例に取ると、個々の受験生は、各群に属する個々の入試得点により、合格・不合格という2群に分けられる。学校側で明確な基準を設ける場合、たとえば英語で100点満点中70点を合否ラインにした場合、生徒の合否は得点が70点を境に分かれることとなるが、合否基準が非公開な場合や、その年度によって、合格者の平均点も変動することは周知である。

このような教師データが存在する場合（予備校などでは自己採点結果などから、相当に精度の高い標本を有しており、これを教師データとして扱うことは相応に妥当と考えられる）、判別分析により、過去の受験生の点数実績と合格実績から、合否の基準を計算によって求めることができる。

==分析法==
線型判別関数 (''y=a<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>x<sub>2</sub>+…+a<sub>n</sub>x<sub>n</sub>+a<sub>0</sub>'') の求め方を以下に示す。

#第一群、第二群についてそれぞれ平方和・積和を求める。
#:''W<sub>ii</sub>=''Σ(''x<sub>i</sub>-x'')<sup>2</sup>,''W<sub>ij</sub>=''Σ(''x<sub>i</sub>-x'')(''x<sub>j</sub>-x'')
#第一群と第二群の平方和・積和を、同じ2変数について足し、[[自由度]]N1+N2-2で除す。
#:''S<sub>ij</sub>=''(''W<sub>ij</sub>''（第一群）''+W<sub>ij</sub>''（第二群）)/(N1+N2-2)
#''S<sub>ij</sub>''を、その''i''行''j''列に対応させて分散共分散行列''S''とし、各変数にかかる係数をn行1列に並べた行列を''A''、第一群の各変数の平均値から第二群の各変数を引いた数''x<sub>i</sub>''（第一群）－''x<sub>i</sub>''（第二群）をn行1列に並べた行列を''X''とすると以下の式が成り立つ。
#:''SA＝X'' ゆえに ''A＝S''<sup>-1</sup>''X''
#これにより各変数にかかる係数を求めることができる。
#:定数項は、''a<sub>0</sub>=''-1/2[''a<sub>1</sub>''{''x<sub>1</sub>''（第一群平均値）''+x<sub>1</sub>''（第二群平均値）}''＋…+a<sub>n</sub>''{''x<sub>n</sub>''（第一群平均値）''+x<sub>n</sub>''（第二群平均値）}]
#判別得点''y''が正のとき第一群、負のとき第二群と判別される。
#:変数が標準化されていれば、係数の大きさは、そのままその変数が判別に与える影響の大きさである。
#:変数が定性的な場合は、[[ダミー変数]]を用いる。
#::''y=a<sub>11</sub>x<sub>11</sub>+a<sub>12</sub>x<sub>12</sub>+…a<sub>21</sub>x<sub>21</sub>+a<sub>22</sub>x<sub>22</sub>+…a<sub>n1</sub>x<sub>n1</sub>+a<sub>n2</sub>x<sub>n2</sub>+…a<sub>0</sub>''
#:ここに、''x<sub>ij</sub>'':''x<sub>i</sub>''のj番目のカテゴリーに反応するとき1、しないとき0。

== 関連項目 ==
* [[固有顔]]
* [[線型分類器]]

{{DEFAULTSORT:はんへつふんるい}}
[[Category:統計学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:分類アルゴリズム]]
[[Category:分析]]
[[Category:消費者行動]]
[[Category:マーケティング]]
[[Category:心理検査]]