公約数のソースを表示

'''公約数'''（こうやくすう、common divisor, common factor）とは、2 つ以上の[[自然数]]について、そのいずれの[[約数]]にもなることができる[[整数]]のことである。

== 定義 ==
2つ以上の整数に'''共通な[[約数]]'''。公約数は、'''[[最大公約数]]の約数'''となる。例えば、<math>12</math>と<math>15</math>の公約数は<math>12</math>と<math>15</math>の最大公約数<math>3</math>を求め、最大公約数<math>3</math>の約数<math>1,\ 3</math>となる。

== 例 ==
一般には約数は自然数の範囲内で考えることが多いので、例えば、<math>36</math>と<math>48</math>と<math>108</math>の公約数は<math>\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12 \}</math>である。約数を整数の範囲内で考えるとき、約数には[[符号]]の違いを許すので、その個数は<math>2</math>倍となる。どういう範囲で考えているのかを常にはっきりさせておくべきである。

== 諸概念 ==
公約数の内最大のものを[[最大公約数]]という。公約数は、全て最大公約数の約数であるので、最大公約数を求めれば全ての公約数を求めることができる。前述の例で言えば、<math>36</math>と<math>48</math>と<math>108</math>との最大公約数は<math>12</math>であるので、<math>12</math>の約数をすべて求めればそれが3つの数の全ての公約数になる。<math>1</math>は全ての自然数の公約数である。

また、2つ以上の[[多項式]]について、それぞれを[[因数分解]]したときに共通に現れる因数（因子、factor）も公約数（あるいは公約元、共通因子、common factor など）と呼ぶ。例えば、<math>(x+1)^2</math>と<math>x^2-1</math>について、<math>x+1</math>は公約数である。

最大公約数が<math>1</math>であるような2つの整数の組は、[[互いに素]]であるという。

== 一般化 ==
[[単項イデアル整域]]<math>R</math>（例えば整数の全体<math>\mathbb{Z}</math>や[[実数]]係数[[多項式]]の全体<math>R[x]</math>はそうである）において、その2つの元<math>a,\ b</math>に対し、集合
:<math>aR+bR = \{ax+by|x,\ y \in R \}</math>
に含まれるイデアルの生成元を<math>a</math>と<math>b</math>の'''公約元'''という。特に
:<math>aR+bR = cR</math>
を満たす<math>c \in R</math>を<math>a</math>と<math>b</math>の'''最大公約元'''という。更に、この<math>c</math>が<math>R</math>の単位元であるとき、<math>a</math>と<math>b</math>は'''互いに素'''であるという。つまり、
:<math>a</math>と<math>b</math>が互いに素<math>\Leftrightarrow ax+by = 1</math>となる<math>x,\ y \in R</math>が存在する。
互いに素という概念は、更に一般の[[環論|環]]で[[イデアル]]の間の関係として一般化される。環<math>S</math>の2つのイデアル<math>I,\ J</math>が
:<math>I+J = S</math>
を満たすとき、<math>I</math>と<math>J</math>は'''互いに素'''であるという。

== 関連項目 ==
*[[公倍数]]
*[[最大公約数]]
*[[ユークリッドの互除法]]

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[[Category:数論]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]