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[[数学]]において'''作用素'''(さようそ、<em lang="en">operator</em>)とは、[[関数空間]]上の[[変換 (数学)|変換]]、すなわち[[関数 (数学)|関数]]を別の関数にうつす[[写像]]のことである。主に、[[関数解析学]]における[[ヒルベルト空間]]上の[[線型写像|線型変換]]のことを指し、同じものを[[物理学]]の分野、特に[[量子力学]]などでは'''演算子'''(えんざんし)と呼ぶ。また、数(定数関数)の集合に値をとる作用素は[[関数_(数学)#汎関数|汎関数]](はんかんすう、functional)と呼ばれる。 また、[[群論|群]]や[[環論|環]]が空間に作用しているとき、群や環の各元が定める空間上の変換、あるいはその変換が引き起こす関数空間上の変換のことを'''作用素'''ということがある。 == 例 == たとえば、区間 (''a'', ''b'') 上の連続的[[微分]]可能な関数 ''f'' にその微分 ''df'' /''dx'' を対応させる写像 :<math>\frac{d}{dx}\colon\ C^1(a,b) \to C^0(a,b)</math> や可積分関数をその[[不定積分]]にうつす写像 :<math>f \mapsto \int f(x)dx</math> などは作用素である。 また、実数全体 '''R''' で二乗可積分な関数 ''f'' をその[[フーリエ変換]] :<math>\mathfrak{F}f(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x\xi}\,dx </math> に移す写像(これもフーリエ変換と呼ばれる) :<math>\mathfrak{F}\colon L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R})</math> も作用素の例である。 あるいは、''g'' が空間 ''X'' の可逆変換であるとき、''X'' 上の[[複素数]]値関数全体の成すベクトル空間を '''C'''[''X''] とあらわすと、 :<math>\pi(g)f(x) := f(g^{-1}x)\quad(x \in X)</math> として作用素 π(g): '''C'''[''X''] → '''C'''[''X''] が定義される。 == 作用素の分類 == ; 線型作用素 (linear operator) : ある空間上の関数の成すベクトル空間の変換で、それ自身が[[線型写像]]であるものを'''線型作用素'''という。抽象的には無限次元の[[行列]]と同一視される。たとえばフーリエ変換は<math>L^2</math>上の線型作用素である。 連続性 (有界性) による分類 :*[[有界作用素]] :*可閉作用素 (前閉作用素とも言う) :*閉作用素 :*コンパクト作用素 次の様な分類も有る :*[[ユニタリ作用素]] :*正規作用素 :*対称作用素 :*[[自己共役作用素]] ; 有名な作用素 :* 微分作用素 (derivation) :*: 積の公式: ''D''(''fg'') = ''Df'' ''g'' + ''f'' ''Dg'' を満たすような線型作用素 ''D'' は'''微分作用素'''であるという。[[オイラー作用素]] ''xdx'' や[[ナブラ]]などは微分作用素の例である。 :* 積分作用素 :*: フーリエ変換や[[ディラックのデルタ関数]]のように[[積分]]を使って表される線型作用素。 == 有名な作用素 == * [[ラプラス作用素]] * カシミール作用素 * [[ヘッケ作用素]] == 関連項目 == * [[作用素環論]] * [[ナブラ]] * [[超関数]] * [[リー環]] * [[頂点作用素代数]] * [[演算子]] * [[演算子法]] {{デフォルトソート:さようそ}} [[Category:解析学]] [[Category:関数解析学]] [[Category:量子力学]] [[Category:数学に関する記事]]
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