位相同型のソースを表示

[[Image:Mug_and_Torus_morph.gif|thumb|right|位相同型 (同相) の例。ドーナツとマグカップは同相である。]]
'''位相同型''' （いそうどうけい、homeomorphic）とは、2つの[[位相空間]]が位相空間として等しいことを表す概念である。単に'''同相''' (どうそう) ともいう。

例えば、[[球]]の表面と[[茶碗|湯飲み]]の表面とはある「[[連続 (数学)|連続]]」で双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が1つ開いたドーナツの表面 ([[トーラス]]) と持ち手がひとつあるマグカップも同じく同相である。よって球の表面と湯のみの表面は[[位相幾何学]]的に同一の性質を持ち、ドーナツの表面とマグカップの表面も同一の性質を持つ。しかし、球とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。 

ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。(変形の途中で空間を切り開いてしまっても、後でまた元のように貼り合わせれば「連続」となる)

== 定義 ==
位相空間 ''A'' から位相空間 ''B'' への[[連続写像]] ''f'' が[[全単射]]で、その逆写像も連続であるとき、''f'' を'''同相写像''' (homeomorphism) という。''A'' と ''B'' との間に同相写像が存在するとき、''A'' と ''B'' は同相であるという。

* 平面内の円盤 ''D<sup>2</sup>'' と平面内の正方形 ''I''× ''I'' (一般には平面内の[[多角形]])とは同相である。
* 円周 ''S<sup>1</sup>'' から一点を取り除いてできる空間と[[直線|実直線]]は同相である。
* [[リー群]] SO(3) は三次元円盤 ''D<sup>3</sup>''={( ''x'' , ''y'' , ''z'' )|''x<sup>2</sup>'' + ''y<sup>2</sup>'' + ''z<sup>2</sup>'' ≦1} の商空間 ''D<sup>3</sup>/R'' と同相である。ここで同値関係 ''xRy'' を ''x'' = ''y'' または， ''x'' = -''y'' かつ ||''x''||=1 で定める。
* 定義において、逆写像の連続性は本質的である。直観的に同相でない二つの空間、半開区間 [0,2π) と平面内の円周 ''S<sup>1</sup>'' において、前者から後者への写像 ''t'' → (cos ''t'', sin ''t'') は連続写像で逆を持つが、逆写像は連続でない。

== 性質 ==
* 明らかに、同相写像の逆写像は同相写像であり、同相写像の合成も同相写像である。よって、ある空間の自己同相写像全体は[[群 (数学)|群]]をなす。
* 同相は位相空間全体の空間に[[同値関係]]を定める。
* 同相写像は[[開集合]]を開集合に、[[閉集合]]を閉集合にうつし、[[位相的構造]]を保つ。つまり、位相空間としての性質([[コンパクト (数学)|コンパクト]]性、[[連結 (数学)|連結]]性など)を一切変えない。
* 同相写像は、位相空間の[[圏 (数学)|圏]]の[[射 (圏論)|同型射]]である。

== 位相空間論における同値関係 ==
* 連続変形による同値関係。位相同型よりも強い。
* [[ホモトピー]]同値による同値関係。
* 2つの[[多様体]]の間には微分同相という概念を考えることができる。 多様体間の同相写像 ''f'' が ''C''<sup>''n''</sup> 級（''n'' 回[[微分]]できて、''n'' 階の導関数が連続）で、その逆写像も ''C''<sup>''n''</sup> 級である時、''f'' を''' ''C''<sup>''n''</sup> 級微分同相'''（写像）(diffeomorphism of class ''n'') という。

== 関連項目 ==
*[[ポアンカレ予想]]

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[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]