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'''二項定理'''（にこうていり、binomial theorem）とは、[[二項式]] ''x'' + ''y'' の[[冪乗]] (''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup> の展開（二項展開）を表す公式のことである。これは、この展開の一般項 ''x''<sup>''k''</sup>''y''<sup>''n''&minus;''k''</sup> の係数を ''n'' と ''k'' のみで表す[[定理]]であるということもできる。二項定理はペルシアの科学者[[ウマル・ハイヤーム]]によって発見された。

== 概要 ==
二項展開の一般項 ''x''<sup>''k''</sup>''y''<sup>''n''&minus;''k''</sup> の係数を'''二項係数'''と呼び、
:<math>n \choose k</math>
とあらわす。すなわち定義から
:<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k y^{n-k}</math>
が成り立つ。そして定理の主張はこの二項係数は ''n'' 個から ''k'' 個選ぶ[[組合せ]]の数 <sub>''n''</sub>C<sub>''k''</sub> に等しいということである。これはまた、[[階乗]]を用いて表される：
:<math>{n\choose k} = {}_n{\rm C}_k = \frac{n!}{(n-k)!\,k!}.</math>

==  二項係数の性質 ==
この節では二項定理によって二項式を展開するとき、二項係数を最低どれだけ計算せねばならないのかを述べる。rはゼロからnまでであるため、項の数はたかだかn+1個であるが、その二項係数は必ずしも毎回全て計算する必要性はない。

まず
:<math>{}_n{\rm C}_{0}={}_n{\rm C}_{n}</math>
により、初項と末項の係数が1であるのは明らかである。次に
:<math>{}_n{\rm C}_{1}={}_n{\rm C}_{n-1}</math>
は
:<math>{}_n{\rm C}_{1}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=n</math>
であるから必ずnとなるのがわかる。次に最大値を求めよう。

二項係数の最大値はnが偶数のときは
:<math>{}_n{\rm C}_{n/2}</math>
で与えられ、奇数のときは
:<math>{}_n{\rm C}_{(n\pm{1})/2}</math>
で与えられる。

次に二項係数について、関係
:<math>{}_n{\rm C}_{r}={}_n{\rm C}_{n-r}</math>
が成り立つことは明らかである。

つまりnが偶数のときは折り返しで減少して1に戻り、奇数のときは最大値を二回繰り返してから同様となる。r=0,1のときは二項係数は1とnになるため、r=2から最大値まで計算すれば事足りることがわかる。つまりnが偶数ならばn/2-2個、奇数ならば(n-1)/2-2個の二項係数を最低限計算すれば十分である。

== パスカルの三角形 ==
{{main|パスカルの三角形}}
2 項係数は次のようにしても求めることができる。
: <math>\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} </math>
この関係式はしばしば ''n'' 段目の ''k'' 番目に <sub>''n''</sub>C<sub>''k''</sub> を配置（もちろん ''n'' も ''k'' も 0 から数え始める）した三角形として表され、[[ブレーズ・パスカル|パスカル]]に因んで[[パスカルの三角形]]という。
[[file:Pascal triangle.svg|frame|center|これがパスカルの三角形である。一番上から、(x+y)<sup>n</sup>のnをn=0,1,2,...としたときそれを展開しxまたはyについて降冪順に並べたときの係数を表している。例えば上から三番目の1,2,1は(x+y)<sup>2</sup>を展開したときの係数であるのは明らかである。ある次数の 2 項係数は、左上と右上にある前の次数の 2 項係数 2 つを足したものになる。数が書いていない空白は 0 と考える。]]

パスカルの三角形から二項係数が求まることは、分配法則と数学的帰納法を用いれば明らかである。実際、
:<math>(x+y)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} {n-1 \choose k}x^k y^{n-k-1}</math>
と表されたならば、この両辺に ''x'' + ''y'' を掛けることにより 
:<math>(x+y)^n = x^n + y^n +\sum_{k=1}^{n-1} \left({n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}\right) x^k y^{n-k}</math>
が成立することが確かめられる。これを
:<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k y^{n-k}</math>
と比較すれば係数について所期の関係を得る。

== 可換環上への拡張 ==
二項定理を適用する[[多項式]] ''x'' + ''y'' は[[実数]]や[[複素数]]を係数とする多項式である必要はない。任意の[[単位元|単位的]][[環論|可換環]]上の多項式についても上の式が成立する。

正確には、可換環 ''R'' の単位元を 1<sub>''R''</sub> とすると、各項の係数は
:<math>{n \choose k}1_R</math>
である。これは単位元の整数倍（可換環を自然な意味で整数環 '''Z''' 上の[[環上の加群|加群]]とみている）という意味である。たとえば、''x'' + ''y'' を[[有限体|二元体]] '''F'''<sub>2</sub> = '''Z'''/2'''Z'''
上の多項式とみなすと、 '''F'''<sub>2</sub> の[[標数]]は 2、つまり 2 &middot; 1<sub>2</sub> = 0 （ただし 1<sub>2</sub> は '''F'''<sub>2</sub> の単位元）であるから、
:<math>(x+y)^2 = 
 {2 \choose 0}1_2\cdot x^2 + 
 {2 \choose 1}1_2\cdot xy + 
 {2 \choose 2}1_2\cdot y^2 
</math>
:<math>= 1_2 x^2 + 2\cdot 1_2 xy + 1_2 y^2 = x^2 + y^2</math>
などと計算することができる。

もう少し一般に、係数環の標数が ''p'' &gt; 0（このとき ''p'' は[[素数]]である）なら、
:<math>(x + y)^n = \sum_{k=0}^n 
  \left[{n \atop k}\right]x^{n-k}y^k.
</math>
ただし、<math>\left[{n \atop k}\right]</math> は <math>{n \choose k}</math> を ''p'' で割った余りのこととする。またこのことと、<math>p \choose k</math> が、''k'' = 0, ''p'' の場合を除いて ''p'' の倍数であることから、上で挙げた例の一般化として
:<math>(x+y)^p = x^p + y^p</math>
となることを得る（ただし、いま ''p'' は係数環の標数であったことを忘れてはいけない）。これはさらに
:<math>(x+y)^{p^n} = x^{p^n} + y^{p^n}</math>
の形に一般化できる。これはとくに位数 ''q'' = ''p''<sup>''n''</sup> の有限体 GF(''q'') において各元を ''q'' 乗する写像
:<math>x \mapsto x^q</math>
は GF(''q'') の（体としての）[[準同型|自己同型]]を与えることを示している。この自己同型写像は'''[[フロベニウス写像]]'''と呼ばれる。

== 一般の二項定理 ==
1665年頃、[[アイザック・ニュートン]]は二項定理の指数ｎを整数から実数領域へと一般化している。
その後、二項定理の指数ｎは現在のところ複素数領域まで一般化されている。

( 1 + ''x'' )<sup>&alpha;</sup> (ただし、|''x''| &lt; 1 で &alpha; は任意の複素数)は次のように[[二項級数]]に[[テイラー展開]]される。このことを'''一般の二項定理'''などと呼ぶことがある。
: <math>(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} {\alpha \choose k} x^k.</math>
ただし、この展開の係数は[[階乗#ポッホハマー記号|ポッホハマーの記号]]
:(&alpha;)<sup>''k''</sup> = &alpha;(&alpha; + 1)(&alpha; + 2)&hellip;(&alpha; + k &minus; 1), (&alpha;)<sup>0</sup> = 1,
:(&alpha;)<sub>''k''</sub> = &alpha;(&alpha; &minus; 1)(&alpha; &minus; 2)&hellip;(&alpha; &minus; k + 1), (&alpha;)<sub>0</sub> = 1
や[[ガンマ関数]] &Gamma;(''z'')を用いて
: <math>{\alpha \choose k} = \frac{(\alpha)_k}{(k)_k}= \frac{(\alpha-k+1)^k}{(1)^k} = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(\alpha-k+1)}</math>
と表される。&alpha; が自然数なら、これは既に定義したものと一致する。

===一般化二項定理の別の表記===
xとyを実数とし |x| > |y| の関係が成り立っているとする。指数を任意の複素数 &alpha; と表記すると二項定理は次のように書ける。
:<math>
\begin{align}
(x+y)^\alpha & =\sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^{\alpha-k} y^k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2) \\
& = x^\alpha + \alpha x^{\alpha-1} y + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^{\alpha-2} y^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^{\alpha-3} y^3 + \cdots. \\
& = x^\alpha \cdot (1+\frac{y}{x})^\alpha 
\end{align}
</math>

ここで、
:<math>{\alpha \choose k}=\frac{\alpha \,(\alpha-1) \cdots (\alpha-k+1)}{k!} =\frac{(\alpha)_k}{k!},</math>

<math>(\cdot)_k</math> はポッホハマー記号<sub>(英)</sub>で下降[[階乗]]を表す。

== 多項定理 ==
'''多項定理'''とは、''k'' 項多項式の冪乗 (''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub> + &hellip; + ''x''<sub>''k''</sub>)<sup>''n''</sup> について展開の各項 
:<math>\mathbf{x}^\mathbf{p} = x_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_k^{p_k} \ (|\mathbf{p}|= p_1 + p_2 + \cdots + p_k = n)</math>
の係数を与える公式である。これを二項で行えば既に述べた二項定理となる。（なお多項式の指数ベクトルを用いた表示については[[多項式#多変数多項式|多項式]]も参照。）

(''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub> + &hellip; + ''x''<sub>''k''</sub>)<sup>''n''</sup> の一般項 '''x'''<sup>'''p'''</sup> ('''p''' = (''p''<sub>1</sub>, ..., ''p''<sub>''k''</sub>), |'''p'''| = ''n'') の係数（多項係数）は 
:<math>
  {n \choose \mathbf{p}},\quad {n \choose p_1,p_2,\ldots,p_k}
</math>
などのように記される。すなわち、
:<math>(x_1 + x_2 + \cdots + x_k)^n = 
 \sum_{\mathbf{p}\in \mathbb{N}^k,\,|\mathbf{p}| = n}
  {n \choose \mathbf{p}} \mathbf{x}^{\mathbf{p}}.
</math>

そして具体的に多項係数の値は
:<math>{n \choose \mathbf{p}} = 
  \frac{n!}{p_1!\,p_2!\cdots p_k!}
</math> 
で与えられる。これについては[[順列#重複を許す場合|順列]]も参照すると良い。

== 関連記事 ==
*[[q二項定理]]

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[[Category:代数学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:定理]]
[[Category:数学に関する記事]]