乗法のソースを表示

[[File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|1袋3つの[[ビー玉]]が入った袋が4袋あると全部でビー玉は12個になる。3×4＝12]]

[[File:Multiplication as scaling integers.gif|thumb|right|掛け算は拡大・縮小を表す。2を3倍すると6になる。2×3＝6]]

[[File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|縦が4、横が5の[[長方形]]の面積は20となる。4 × 5 = 20]]

[[算術]]における'''乗法''' (じょうほう、{{lang-en-short|''multiplication''}}) は、算術の[[四則演算|四則]]と呼ばれるものの一つで、[[整数]]では、一方の数 ('''被乗数'''、 {{lang-en-short|''multiplicand''}}) に対して他方の数 ('''乗数'''、{{lang-en-short|''multiplier''}}) の回数だけ繰り返し[[加法|和]]をとる（これを'''掛ける'''または'''乗じる'''という。）ことにより定義できる[[二項演算|演算]]である。'''掛け算'''（かけざん）、'''乗算'''（じょうざん）とも呼ばれる。

逆の演算として[[除法]]をもつ。乗法の結果を'''[[積]]''' (せき、{{lang-en-short|''production''}}) と呼ぶ。

乗法は、有理数、実数、複素数に対しても拡張定義される。また、抽象[[代数学]]においては、一般に可換とは限らない二項演算に対して、それを乗法、積などと呼称する（演算が可換である場合はしばしば[[加法]]、和などと呼ぶ）。

== 定義 ==
（いずれも 0 でない）自然数 ''m'' （乗数）と ''n'' （被乗数）に対して、''m'' を ''n'' 個分加えた数
:<math>\overbrace{m + m + \cdots + m}^{n {\rm\ times}}</math>
を
: ''m'' &times; ''n'', ''m'' &middot; ''n'', ''mn''
などのように書いて ''m'' に ''n'' を'''掛けた'''数とか''m''に''n''を'''乗じた'''数とか ''m'' と ''n'' の積、''m'' 掛ける ''n'' などという。言語によってはその自然な語順から、同じく ''m'' を ''n'' 個分加えた数を
: ''n'' &times; ''m'', ''n'' &middot; ''m'', ''nm''
などのように上と逆順に記す場合もある（たとえば英語では ''n'' &times; ''m'' を ''n'' times ''m'' すなわち ''n'' 回の ''m'' と読むことがある。他方で、''m'' &times; ''n''と記して''m'' multiplied by ''n''、すなわち、''n''を乗じた''m''と読むこともある。）。

カメラのレンズ倍率やCDの倍速表示などは、英語のtimes表記である。言語の表記の都合による、こういった順序であるが、数値の乗算においては、この演算について[[交換法則]]が成り立つ（後述）という性質によって、どちらも同一視する{{要出典|date=2011年11月}}。

''n'' = 0 のときは、''n'' &times; ''m'' = 0 &times; ''m'' は 0 であると約束する。

さらに整数同士の乗法は、負の整数を掛けるという事を以下のように定める: 整数 ''m'' と自然数 ''n'' に対して
:''m'' &times; (&minus;''n'') := (&minus;''m'') &times; ''n''
すなわち、「負の整数 &minus;''n'' を掛ける」ということを、「対応する正の整数 ''n'' の数だけ符号を反転した整数（ここでは &minus;''m''）を加える」という演算として定義する。

== 性質 ==
''n'' と ''m'' が自然数であるとき、''n'' を ''m'' 個加えるたものと ''m'' を ''n'' 個加えたものは同じ数である。すなわち
* [[交換法則]]: ''n'' &times; ''m'' = ''m'' &times; ''n''
が成り立つ。また、回帰的に複数回の乗法を行ったものは積をとる順序によらない。すなわち
* [[結合法則]]: (''n'' &times; ''m'') &times; ''l'' = ''n'' &times; (''m'' &times; ''l'')
が成り立つ。3 つの数の積は
: ''n'' &times; ''m'' &times; ''l'' := (''n'' &times; ''m'') &times; ''l'' = ''n'' &times; (''m'' &times; ''l'')
とする（4 つ以上の数の積も同様である）。ただし無限個の数の積についてはこの限りではない（詳細は[[総乗]]の項を参照されたい）。

積と和の間には次の法則が成り立つ：
* [[分配法則]]: ''n'' &times; (''m'' + ''l'') = ''n'' &times; ''m'' + ''n'' &times; ''l''
この性質は、乗法の一般化において重要な手がかりとなる。

== 乗法の一般化 ==
=== 分数 ===
掛け算は割り算を統合する。すなわち、「''q'' で割る」という除法の計算を「''q'' の逆数 1/''q'' を掛ける」という操作とみなす。
: ''x'' &times; (''p'' / ''q'') := (''x'' &times; ''p'') &divide; ''q''.
:<math>
 \frac{p}{q}\times\frac{r}{s}:= \frac{p\times r}{q\times s}
</math>

この定義は、[[割合]]の計算を考えることにより意味づけすることができる。

=== 多項式 ===
分配法則が成り立つものとして[[多項式]]同士の積が定義できる。

=== アーベル群 ===
自然数や整数における上記の積の定義を再考すれば、加えられる対象である ''m'' は自然数や整数に限らずともよいことがわかる。実際、''x'' として有理数や実数など和が定義できるものを考えれば、''x'' を繰り返し加えることとして自然数を掛けることができる。また整数を掛けるためには、数 ''x'' は加法的逆元（マイナスの数）が定義できるものであれば何でも良い。すなわち ''x'' をある[[アーベル群]]の元とするとき、''n'' が整数であれば
:<math>nx = \begin{cases} 
 \overbrace{x + x + \cdots + x}^{n {\rm\ times}} & n > 0 \\
 0 & n = 0 \\
 \underbrace{(-x) + (-x) + \cdots + (-x)}_{|n| {\rm\ times}} & n < 0
\end{cases}</math>
として ''n'' を掛ける操作を定義できる。このことを「整数全体の集合はアーベル群に自然に作用する」と言い表す。

== 乗算アルゴリズム ==
=== アバカス ===
{{main|アバカス|そろばん}}

[[紀元前2700年]]から[[紀元前2300年]]にかけての[[シュメール]]で[[アバカス]]が使われ、[[楔形文字]]で記された[[粘土板]]の乗算表が発見されている。紀元前2世紀には{{仮リンク|算盤<!-- en版とリンク無し -->|en|Suanpan}}が中国に伝えられた。算盤には乗法を素早く計算する技法が発達していた。

日本の記録では『日本風土記』（1570年代）に「そおはん」という呼称で出てくるのが初出である。現在も、新頭乗法、頭乗法、尾乗法などの乗算アルゴリズムが使われている。

=== エジプト数学 ===
{{main|:en:Ancient Egyptian multiplication}}

=== 日本の算術 ===
{{main|算木|:en:Rod calculus}}
{{Seealso|九章算術|九九|算道|天元術|和算}}

=== 対数 ===
{{main|対数|ネイピアの骨}}

[[ジョン・ネイピア]]は、科学で必要な計算を簡単にするべく計算技術として[[対数]]の概念を導入し、{{仮リンク|対数表|en|Mathematical table#Tables of logarithms}}（[[1598年]]）を発表した。古くから<math>AB=\mathrm{e}^{\log{}A+\log{}B}</math> という等式を利用する乗算の方法が知られており、対数表によって積の計算を和の計算に置き換えて[[近似値]]を求めることが出来るようになった。対数の導入によって、[[ヨハネス・ケプラー]]の天体軌道計算などの科学計算が可能となり、科学の急激な発展をもたらした。
[[エドマンド・ガンター]]が[[対数尺]]（[[1620年]]）を、[[ウィリアム・オートレッド]]が2つの対数尺を組み合わせた[[計算尺]]（[[1632年]]）を発明し、[[電卓]]が普及する[[1980年]]代まで使用された。

=== 機械式計算機 ===
{{main|機械式計算機|チャールズ・バベッジ|階差機関|解析機関|エイダ・ラブレス}}

科学の急激な発展と共に、より精度の高い対数表に対する需要が大きくなった。
[[マルティン・ヴィーベリ]]は、[[1875年]]に対数表を作成することが出来る[[階差機関]]に似た機構を持つ機械を発明した。
アナログ乗算器でも[[対数]]を用いた<math>AB=\mathrm{e}^{\log{}A+\log{}B}</math> という等式を利用する方法が用いられていた。

=== コンピュータ ===
==== 符号付整数 ====
{{main|乗算器|ブースの乗算アルゴリズム}}

[[ENIAC]]の開発において、[[アーサー・バークス]]が初めて[[乗算器|デジタル乗算器]]を開発した。
デジタル乗算器では、[[ブースの乗算アルゴリズム]]と呼ばれる方法が開発された。加算よりも高速な[[ビット演算]]の算術シフトを利用して高速化している。

==== 多倍長乗算 ====
{{main|多倍長乗算|{{仮リンク|乗算アルゴリズム|en|Multiplication algorithm}}}}

* [[カラツバ法]]（1960年）
* [[:en:Toom–Cook multiplication]]（1963年）カラツバ法はToom-3の特別な場合である。
* {{仮リンク|ショーンハーゲ・ストラッセン法|en|Schönhage–Strassen algorithm}}（1971年）[[1965年]]に[[高速フーリエ変換]]/[[離散フーリエ変換]]の{{仮リンク|Cooley-Tukey型FFTアルゴリズム|en|Cooley–Tukey FFT algorithm}}が発見され、FFTを使う方法が開発された。ショーンハーゲ・ストラッセン法は、カラツバ法やToom-3より高速なアルゴリズムである。
* [[:en:Fürer's algorithm]]（2007年）Schönhage–Strassenより高速。

==== 行列 ====
* [[シュトラッセンのアルゴリズム]]（1969年）

== 0から9までの乗算([[10進法]]) ==
{{main|九九}}
{{乗算表|0|9}}

== 関連項目 ==
*[[×]]
*[[総乗]]
*[[倍]]
*[[かけ算の順序問題]]

{{二項演算}}

{{Math-stub}}
{{DEFAULTSORT:しようほう}}

[[Category:算術]]
[[Category:代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]