三角関数のソースを表示

'''三角関数'''（さんかくかんすう、{{lang-en-short|''trigonometric function''}}）とは、平面[[三角法]]における、[[角]]の大きさと[[線分]]の長さの関係を明らかにする[[関数_(数学)|関数]]の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。

== 定義 ==
=== 直角三角形による定義 ===
[[ファイル:Trigonometry triangle.svg|thumb|250px|&ang;C を直角とする直角三角形ABC]]
[[直角三角形]]において、1つの鋭角の大きさが決まれば、[[三角形]]の内角の和は180°であることから他の1つの鋭角の大きさも決まり、3辺の比も決まる。ゆえに、角度に対して辺比の値を与える関数を考えることができる。

∠C を直角とする直角三角形ABC において、AB = ''h'', BC = ''a'', CA = ''b'' とおく。∠A = ''θ'' に対して ''h'' : ''a'' : ''b'' が決まることから、
:<math>\sin \theta =\frac{a}{h}</math>
:<math>\cos \theta =\frac{b}{h}</math>
:<math>\tan \theta =\frac{a}{b} =\frac{\sin \theta}{\cos \theta}</math>
:<math>\text{cosec} \, \theta =\frac{h}{a} =\frac{1}{\sin \theta}</math>
:<math>\sec \theta =\frac{h}{b} =\frac{1}{\cos \theta}</math>
:<math>\cot \theta =\frac{b}{a} =\frac{1}{\tan \theta}</math>
という6つの値が定まる。それぞれ'''正弦'''（sine（サイン））・'''余弦'''（cosine（コサイン））・'''正接'''（tangent（タンジェント））・'''余割'''（cosecant（コセカント））・'''正割'''（secant（セカント））・'''余接'''（cotangent（コタンジェント））と呼び、まとめて'''三角比'''と呼ばれる。ただし cosec は長いので csc と略記することも多い。また、余弦、余割、余接は余角（角を90°から引いた角）のそれぞれ正弦、正割、正接に等しい。三角比は平面[[三角法]]に用いられ、巨大な物の大きさや遠方までの距離を計算する際の便利な道具となる。角度 ''θ'' の単位は、通常[[度 (角度)|度]]または[[ラジアン]]である。

=== 単位円による定義 ===
[[ファイル:Circle-trig6.svg|300px|thumb|right|単位円による、6つの三角関数が表す長さ]]
実数 ''t'' に対して、2次元[[ユークリッド空間]] '''R'''{{sup|2}} における[[単位円]] ''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}} = 1 上の点P(''x'', ''y'') を ∠''x''OP = ''t''（反時計回りを正の向きとする）を満たすように取り、
:<math>\sin t=y</math>
:<math>\cos t=x</math>
:<math>\tan t=\frac{y}{x} =\frac{\sin t}{\cos t}</math>
と定義する。順に'''正弦関数'''（sine; サイン）・'''余弦関数'''（cosine; コサイン）・'''正接関数'''（tangent; タンジェント）と呼び、これらを総称して'''三角関数'''と呼ぶ。さらにこれらの逆数
:<math>\csc t=\frac{1}{y} =\frac{1}{\sin t}</math>
:<math>\sec t=\frac{1}{x} =\frac{1}{\cos t}</math>
:<math>\cot t =\frac{x}{y} =\frac{1}{\tan t}</math>
を順に'''余割関数'''（cosecant; コセカント）・'''正割関数'''（secant; セカント）・'''余接関数'''（cotangent; コタンジェント）と呼び、これらを総称して'''割三角関数'''（かつさんかくかんすう）と呼ぶ。これらを含めて三角関数と呼ぶこともある。

=== 級数による定義 ===
角度、辺の長さといった幾何学的な概念への依存を避けるため、また[[定義域]]を[[複素数]]に拡張するために、[[級数]]を用いて定義することもできる。以下の級数は共に示される収束円内で収束する。

''z'' を複素数、''B{{sub|n}}'' を[[ベルヌーイ数]]、''E{{sub|n}}'' を[[オイラー数]]とする。
:<math>\sin z=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}\quad \text{for all} \ z</math>
:<math>\cos z=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}\quad \text{for all} \ z</math>
:<math>\tan z=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{ (-1)^n 2^{2n} (1-2^{2n}) B_{2n}}{(2n)!} z^{2n-1}\quad \text{for} \ |z|<\frac{\pi}{2}</math>
:<math>\csc z=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2-2^{2n}) B_{2n}}{(2n)!} z^{2n-1}\quad \text{for} \ 0<|z|<\pi</math>
:<math>\sec z=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} z^{2n} \quad \text{for} \ |z|<\frac{\pi}{2}</math>
:<math>\cot z=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} z^{2n-1}\quad \text{for} \ 0<|z|<\pi</math>

== 歴史 ==
{{main|三角法|{{仮リンク|三角法の歴史|en|History of trigonometry|label=三角関数の歴史}}}}
{{Seealso|円周率|円周率の歴史}}

=== バビロニア数学 ===
一定の半径の円における中心角に対する[[弦 (数学)|弦]]と[[弧 (幾何学)|弧]]の長さの関係は、[[測量]]や[[天文学]]の要請によって古代から研究されてきた（[[バビロニア数学]]、[[:en:Yale Babylonian Collection|Yale Babylonian Collection]]、YBC 7289）。[[紀元前1800年]]頃の[[粘土板]]「[[プリンプトン322]]」には、[[ピタゴラスの定理#ピタゴラス数|ピタゴラス数]]が記されていた。

=== 古代ギリシャ・エジプト ===
古代ギリシャにおいて、円と球に基づく宇宙観に則った天文学研究から、[[ヒッパルコス]]により一定の半径の円における中心角に対する弦の長さが表にまとめられたもの（正弦表、[[:en:Trigonometric tables|Trigonometric tables]]）が作られた。[[クラウディオス・プトレマイオス|プトレマイオス]]の『[[アルマゲスト]]』にも正弦表が記載されている。

=== 古代インド ===
正弦表は後にインドに伝わり、弦の長さは半分でよいという考えから[[5世紀]]頃には半弦 ardha-jiva（つまり現在の sine の意味の正弦）の長さをより精確にまとめたもの、すなはち[[アリヤバータ|アーリヤバタ]]（{{lang-hi|आर्यभट}} {{lang|en|Āryabhaṭa}}）によって書かれた[[サンスクリット語]]の天文学書『{{仮リンク|アーリヤバティーヤ|en|Āryabhaṭīya}}』（{{lang-hi|आर्यभटीय}} {{lang|en|Āryabhaṭīya}}）、が作成された（[[:en:Āryabhaṭa's sine table|Āryabhaṭa's sine table]]）。ardha は"半分" jiva は"弦"の意味で、当時のインドではこの半弦（現在の sine の意味の正弦）は単に jiva と略された。また、弦の長さを半分にして直角三角形を当てはめたことから派生して余角 (complementary angle) の考えが生まれ、“余角 (co-angle) の正弦 (sine)”という考えから余弦 (cosine) の考えが生まれた。余弦の値もこの頃に詳しく調べられている。（*co- は complementary の略で、補完的･補足的という意味の接頭語として用いる）

{{main|ヴァラーハミヒラ|ブラーマグプタ}}
628年、[[ブラーマグプタ]]（{{lang-hi|ब्रह्मगुप्त}} {{lang|en|Brahmagupta}}）が当時のインド数学と天文学の成果をまとめた代表的な著書『[[ブラーマ・スプタ・シッダーンタ]]』（{{lang-hi|ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त}} {{lang|en|Brāhmasphuṭasiddhānta}}）を発表。

=== 中国 ===
中国へは[[唐]]代（[[718年]]頃）に[[瞿曇悉達]]によって{{仮リンク|シッダーンタ|en|Siddhanta}}<ref>[[ブラーマ・スプタ・シッダーンタ]]も参照</ref>（アーリヤバタの正弦表）が漢訳された『[[九執暦]]』が作られ、『{{仮リンク|開元占経|zh|開元占經|en|Treatise on Astrology of the Kaiyuan Era}}』に含まれている。

=== イスラム帝国 ===
[[770年]]代に[[ファザーリ]]と{{仮リンク|ヤークブ・イブン・タリク|en|Yaʿqūb ibn Ṭāriq}}が『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』を[[アラビア語]]に翻訳した『[[シンドヒンド]]』（{{lang-ar|السند هند}} {{lang|en|[[:en:Zij al-Sindhind|Zij al-Sindhind]]}}<ref>Zīj maḥlūl fī al‐Sindhind li‐daraja daraja ({{lang-ar|زيج محلول في السندهند لدرجة درجة}}, "Astronomical tables in the Sindhind resolved for each degree")</ref>） を発表し、インドの知識がイスラーム世界にもたらされた。[[8世紀]]頃イスラム帝国へ伝わったときに jaib（入り江）と変化した。

10世紀の[[アッバース朝]]時代にシリアの数学者[[バッターニー|アル・バッターニ]]が正弦法の導入、コタンジェント表の計算、球面三角法（[[球面幾何学]]）の定理を提唱した（[[:en:Astronomy in medieval Islam|Astronomy in medieval Islam]]、[[:en:Zij|Zij]]、『[[サービア天文表]] Az-Zij as-Sabi』）。[[ブワイフ朝]]の[[バグダード]]の数学者[[アブル・ワファー]]が[[タンジェント]]を導入した（[[:en:Habash al-Hasib al-Marwazi|al-Marwazi]]説もある）。

=== 中世ヨーロッパ ===
[[スペイン]]が[[タイファ]]期だった12世紀から13世紀にかけて、[[トレド]]で{{仮リンク|トレド翻訳学派|es|Escuela de Traductores de Toledo|en|Toledo School of Translators|label=翻訳学派}}の学者が活躍した。一説では12世紀に、翻訳学派のひとり、[[チェスターのロバート]]が、アル・バッターニの著書をアラビア語から[[ラテン語]]に翻訳した際、正弦を sinus rectus と意訳し（sinusはラテン語で「湾」のこと）、現在の sine になったという。

=== 中世インド ===
{{Seealso|バースカラ2世|{{仮リンク|シッダーンタ・シロマーニ|en|Siddhānta Shiromani|hi|सिद्धान्त शिरोमणि}}}}

{{Seealso|ケーララ学派|マーダヴァ|[[:en:Madhava's sine table|Madhava's sine table]]|[[:en:Madhava series|Madhava series]]}}
{{節stub}}

=== 日本 ===
日本では、江戸期に[[関孝和]]・[[建部賢弘]]・[[久留島喜内]]らが[[和算]]の「[[円理]]」と呼ばれる理論を発展させた。

=== 近世ヨーロッパ ===
円や弦といった概念からは独立に、三角比を辺の比として角と長さの関係と捉えたのは[[16世紀]]オーストリアの[[ゲオルク・レティクス]]であるといわれる。16世紀には地理学者[[ゲラルドゥス・メルカトル|メルカトル]]が[[メルカトル図法]]を考案して、[[大航海時代]]に始まった地図学の発展に大きな功績を残したが、メルカトルの時代には積分法は知られていなかったので「{{仮リンク|正割関数の積分|en|Integral of the secant function|label=Secant関数の積分}}」が中心的な問題となった。
[[1638年]]に[[ルネ・デカルト]]と[[ジル・ド・ロベルヴァル]]が出題した[[デカルトの正葉線]]の問題が[[微積分法]]の発達を促し、インドのケーララ学派やイスラム帝国から伝わっていたそれまでの微分法と積分法という別々の二つの理論体系は、[[1670年]]頃に[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]と[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]が独立に[[微積分法]]を発見・発明した結果、統合された。この微積分学によって、三角関数の理論は大きく発展した。17世紀後半には[[アイザック・バロー]]と[[ジェームス・グレゴリー]]によって独立にSecant関数の積分が解決され、緯線距離はランベルト関数（逆[[グーデルマン関数]]）に相当することが明らかになった。また、余弦を co-sine と呼んだり、sin, cos という記号が使われるようになったりしたのは [[17世紀]]になってからであり、それが定着するのは [[18世紀]][[レオンハルト・オイラー|オイラー]]の頃である。一般角に対する三角関数を定義したのはオイラーである。[[1748年]]にオイラーによって、[[指数関数]]と三角関数の間に等式が成り立つことが再発見された（[[オイラーの公式]]）。フランスの数学者[[ジョゼフ・フーリエ]]によって金属板の中での[[熱伝導]]に関する研究の中で[[フーリエ級数]]が導入され、複雑な周期函数による波動の数学的表現が単純な「[[正弦函数]]や[[余弦函数]]の和」として表されるようになった（[[フーリエ解析]]）。[[1835年]]には{{仮リンク|ジェームズ・インマン|en|James Inman}}が[[:en:Versine|半正矢関数（haversine）]]を導入し、[[球面三角法]]での{{仮リンク|半正矢関数の公式|en|Haversine formula}}を航海用として導入した<ref>James Inman, "Navigation and Nautical Astronomy for Seamen", (1835)</ref>。

=== 現代 ===
[[ニールス・アーベル|アーベル]]と[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコビ]]によって発展させられた[[楕円曲線|楕円函数論]]においても、円が'''三角関数'''で一意化される現象の類似物として、楕円曲線が'''[[モジュラー形式|モジュラー関数]]'''で一意化されることが発見された（[[谷山志村予想|「すべての楕円曲線はモジュラーである」]]）。まだ証明されていなかった時代に、この理論を応用したインド人の[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]らは、収束の早い円周率の公式を発見するなどした。それらの成果を発展させた[[アンドリュー・ワイルズ]]は、「[[フェルマーの最終定理|フェルマー予想]]」を証明することに成功した。

== 三角関数の性質 ==
=== 周期性 ===
[[ファイル:Sin and cos.png|thumb|250px|sin ''x'' と cos ''x'' のグラフ。周期性が確認できる]]
''x'' 軸の正の部分となす角は
:<math>t=\theta +2\pi n\ (0\le \theta <2\pi ,n\isin \mathbb{Z} )</math>
と表すことができ、''θ'' を[[偏角]]、''t'' を[[一般角]]と言う。

一般角 ''t'' が 2{{π}} 進めば点 P(cos ''t'', sin ''t'') は単位円上を1周し元の位置に戻る。従って、
:<math>\cos (t+2\pi n)=\cos t</math>
:<math>\sin (t+2\pi n)=\sin t</math>
すなわち cos, sin は周期 2{{π}} の[[周期関数]]である。

ほぼ同様に、tan, cot は周期 {{π}} の周期関数、sec, csc は周期 2{{π}} の周期関数である。
[[Image:Trigonometric functions.svg|right|thumb|300px|三角関数のグラフ:
<span style="color:#00A">Sine</span>,
<span style="color:#0A0">Cosine</span>,
<span style="color:#A00">Tangent</span>,
<span style="color:#00A">Cosecant（点線）</span>,
<span style="color:#0A0">Secant（点線）</span>,
<span style="color:#A00">Cotangent（点線）</span>]]

=== 相互関係 ===
{{main|三角関数の公式の一覧}}
単位円上の点の座標の関数であることから、三角関数の間には多数の相互関係が存在する。
;基本相互関係
:全て[[ピタゴラスの定理]]により証明される。
:*sin{{sup|2}} ''θ'' + cos{{sup|2}} ''θ'' = 1
:*<math>\sec^2 \theta -\tan^2 \theta =\frac{1}{\cos^2 \theta} -\tan^2 \theta =1</math>
:*<math>\csc^2 \theta -\cot^2 \theta =\frac{1}{\sin^2 \theta} -\frac{1}{\tan^2 \theta} =1</math>
;負角・余角・補角公式
:*sin(&minus;''θ'') = &minus;sin ''θ''
:*cos(&minus;''θ'') = cos ''θ''
:*tan(&minus;''θ'') = &minus;tan ''θ''
:*<math>\sin \left( \frac{\pi}{2} -\theta \right) =\cos \theta</math>
:*<math>\cos \left( \frac{\pi}{2} -\theta \right) =\sin \theta</math>
:*<math>\tan \left( \frac{\pi}{2} -\theta \right) =\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta}</math>
:*sin({{π}} &minus; ''θ'') = sin ''θ''
:*cos({{π}} &minus; ''θ'') = &minus;cos ''θ''
:*tan({{π}} &minus; ''θ'') = &minus;tan ''θ''
;{{π}}回転・{{sfrac|{{π}}|2}}回転
:*sin(''θ'' + {{π}}) = &minus;sin ''θ''
:*cos(''θ'' + {{π}}) = &minus;cos ''θ''
:*tan(''θ'' + {{π}}) = tan ''θ''
:*<math>\sin \left( \theta +\frac{\pi}{2} \right) =\cos \theta</math>
:*<math>\cos \left( \theta +\frac{\pi}{2} \right) =-\sin \theta</math>
:*<math>\tan \left( \theta +\frac{\pi}{2} \right) =-\cot \theta =-\frac{1}{\tan \theta}</math>

=== 加法定理 ===
*sin(''α'' + ''β'') = sin ''α'' cos ''β'' + cos ''α'' sin ''β''
*sin(''α'' &minus; ''β'') = sin ''α'' cos ''β'' &minus; cos ''α'' sin ''β''
*cos(''α'' + ''β'') = cos ''α'' cos ''β'' &minus; sin ''α'' sin ''β''
*cos(''α'' &minus; ''β'') = cos ''α'' cos ''β'' + sin ''α'' sin ''β''
*<math>\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}</math>
*<math>\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}</math>

==== 加法定理の導出および証明 ====
1. 加法定理は、[[オイラーの公式]]から簡単に導出できる。
:cos(''α'' + ''β'') + ''i'' sin(''α'' + ''β'') = ''e''{{sup|(''α''+''β'')''i''}}（オイラーの公式）
:　　　　　　　　　　　　　　　　= ''e{{sup|αi}}e{{sup|βi}}''
:　　　　　　　　　　　　　　　　= (cos ''α'' + ''i'' sin ''α'')(cos ''β'' + ''i'' sin ''β'')
:　　　　　　　　　　　　　　　　= (cos ''α'' cos ''β'' &minus; sin ''α'' sin ''β'') + ''i''(sin ''α'' cos ''β'' + cos ''α'' sin ''β'')
両辺の実部、虚部を比較すると、それぞれ sin, cos の加法公式を得る。また、
:<math>\tan \left( \alpha \pm \beta \right) =\frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta}</math>
において分母と分子を cos ''α'' cos ''β'' で割ると tan の加法公式が得られる。

この導出法は、オイラーの公式を既知とするように三角関数の導入（たとえば三角関数を[[べき級数]]として定義）していなければ証明として通用しない。

2. また、単位円上の2点間の距離を求める方法でも求められる。
[[ファイル:加法定理.png|サムネイル|右|PQ{{sup|2}} は、2通りの方法で求められる。]]
単位円周上に2点 P(cos ''α'', sin ''α''), Q(cos ''β'', sin ''β'') を取り、P と Q の距離の2乗 PQ{{sup|2}} を2通りの方法で求めることを考える。（右図も参照）
:(1) 三平方の定理より求める
:PQ{{sup|2}} = (cos ''α'' &minus; cos ''β''){{sup|2}} + (sin ''α'' &minus; sin ''β''){{sup|2}}
:　 　 = 2 &minus; 2cos ''α'' cos ''β'' &minus; 2sin ''α'' sin''β''
:(2) 余弦定理より求める
:PQ{{sup|2}} = 1{{sup|2}} + 1{{sup|2}} &minus; 2・1・1・cos(''α'' &minus; ''β'')
:　 　 = 2 &minus; 2cos(''α'' &minus; ''β'')
(1), (2) より、PQ{{sup|2}} を媒介すると、
:2 &minus; 2cos ''α'' cos ''β'' &minus; 2sin ''α'' sin ''β'' = 2 &minus; 2cos(''α'' &minus; ''β'')
:∴ cos(''α'' &minus; ''β'') = cos ''α'' cos ''β'' + sin ''α'' sin ''β''
これより、他の3つの公式は次々に求まる。
*''β'' に &minus;''β'' を代入すると、
:cos(''α'' + ''β'') = cos ''α'' cos ''β'' &minus; sin ''α'' sin ''β''
*元の等式の ''α'' に <math>\frac{\pi}{2} -\alpha</math> を代入すると、
:sin(''α'' + ''β'') = sin ''α'' cos ''β'' + cos ''α'' sin ''β''
*この等式の ''β'' に &minus;''β'' を代入すると、
:sin(''α'' &minus; ''β'') = sin ''α'' cos ''β'' &minus; cos ''α'' sin ''β''（導出および証明終）

== 微積分 ==
三角関数の微積分は、以下の表のとおりである。
:{|class="wikitable"
|<math>f(x)</math>
|<math>f'(x)</math>
|<math>\int f(x)\,dx</math>
|-
|<math>\sin x</math>
|<math>\cos x</math>
|<math>-\cos x+C</math>
|-
|<math>\cos x</math>
|<math>-\sin x</math>
|<math>\sin x+C</math>
|-
|<math>\tan x</math>
|<math>\sec^2 x=1+\tan^2 x</math>
|<math>-\ln \left |\cos x\right| +C</math>
|-
|<math>\cot x</math>
|<math>-\csc^2 x=-(1+\cot^2 x)</math>
|<math>\ln \left |\sin x\right| +C</math>
|-
|<math>\sec x</math>
|<math>\sec x\tan x</math>
|<math>\ln \left| \sec x+\tan x\right| +C = \operatorname{gd}^{-1}x +C</math>
|-
|<math>\csc x</math>
|<math>-\csc x\cot x</math>
|<math>-\ln \left| \csc x+\cot x\right| +C</math>
|}
ただし、<math>\operatorname{gd}^{-1}x</math> は[[グーデルマン関数]]の[[逆関数]]である。

三角関数の微分では、次の極限
:<math>\lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} =1</math>
の成立が基本的である。このとき、sin ''x'' の[[導関数]]が cos ''x'' であることは加法定理から従う。さらに余角公式 cos ''x'' = sin({{sfrac|{{π}}|2}} &minus; ''x'') から cos ''x'' の導関数は &minus;sin ''x'' である。即ち、sin ''x'' は[[微分方程式]] <math>\frac{d^2y}{dx^2} +y=0</math> の[[方程式|特殊解]]である。また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。

== 級数展開 ==
三角関数は以下のように[[テイラー級数]]に展開される。[[解析学]]では、幾何的な性質へ言及せず、これらの表示を三角関数の[[定義]]とすることがある。''z'' は任意の複素数、''B{{sub|n}}'' は[[ベルヌーイ数]]、''E{{sub|n}}'' は [[オイラー数]]である。
{{Indent|<math>\sin z=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}\quad\mbox{ for all } z</math><br>

<math>\cos z=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}\quad\mbox{ for all } z</math>

<math>\tan z=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^n 2^{2n} (1-2^{2n}) B_{2n}}{(2n)!} z^{2n-1}\quad\mbox{ for } |z|<\frac{\pi}{2}</math>

<math>\csc z=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2-2^{2n}) B_{2n}}{(2n)!} z^{2n-1} \quad \mbox{ for } 0<|z|<\pi</math>

<math>\sec z=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} z^{2n} \quad \mbox{ for } |z|<\frac{\pi}{2}</math>

<math>\cot z=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} z^{2n-1} \quad \mbox{ for } 0<|z|<\pi</math>
}}

== 無限乗積展開 ==
三角関数は以下のように[[無限乗積]]に展開される。（→[[三角関数の無限乗積展開|証明]]）
:<math>\sin \pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}</math>
<math>\cos \pi z=\prod_{n=1}^\infty \left\{ 1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2}\right\}</math>

== 部分分数展開 ==
三角関数は以下のように[[部分分数]]に展開される。（→[[三角関数の部分分数展開|証明]]）
{{Indent|
<math>\pi \cot \pi z=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=-N}^N \frac{1}{z+n} =\frac{1}{z} +\sum_{n=1}^\infty \frac{2z}{z^2 -n^2}</math><br>
<math>\pi\tan \pi z=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{-1}{z+\textstyle\frac{1}{2} +n}=-\sum_{n=0}^\infty \frac{2z}{z^2 -\left( n+\textstyle\frac{1}{2} \right)^2}</math><br>
<math>\frac{\pi}{\sin \pi z} =\lim_{N\to\infty} \sum_{n=-N}^{N}\frac{(-1)^{n}}{z+n}=\frac{1}{z} +\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2z}{z^2 -n^2 }</math><br>
<math>\frac{\pi}{\cos \pi z} =\lim_{N\to\infty} \sum_{n=-N}^N \frac{(-1)^n}{z+\frac{1}{2} +n} =-\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n+1)}{z^2 -\left( n+\frac{1}{2} \right)^2}</math>
}}
== 逆三角関数 ==
三角関数の定義域を適当に制限したものの[[逆関数]]を'''逆三角関数'''（ぎゃくさんかくかんすう、<em lang="en">inverse trigonometric function</em>）と呼ぶ。逆三角関数は逆関数の記法に則り、元の関数の記号に &minus;1 を右肩に付して表す。たとえば'''逆'''正弦関数（ぎゃくせいげんかんすう、<span lang="en">inverse sine</span>; インバース・サイン）は sin{{sup|&minus;1}} ''x'' などと表す。arcsin, arccos などの記法もよく用いられる。
:<math>x=\sin y \iff y=\sin^{-1} x</math>
:<math>x=\cos y \iff y=\cos^{-1} x</math>
:<math>x=\tan y \iff y=\tan^{-1} x</math>
:<math>x=\cot y \iff y=\cot^{-1} x</math>
:<math>x=\sec y \iff y=\sec^{-1}x</math>
:<math>x=\text{cosec} \, y \iff y=\text{cosec}^{-1} \, x</math>
である。逆関数は逆数ではないので注意したい。逆数との混乱を避けるために、逆正弦関数 sin{{sup|&minus;1}} ''x'' を arcsin ''x'' と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は[[関数 (数学)#多変数関数と多価関数|多価関数]]になるので、通常は逆三角関数を一価[[連続]]なる[[枝]]に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に'''[[主値]]'''と呼ばれる枝を
:<math>-\frac{\pi}{2} \le \sin^{-1} x\le \frac{\pi}{2}</math>
:<math>0\le \cos^{-1} x\le \pi</math>
:<math>-\frac{\pi}{2} <\tan^{-1} x<\frac{\pi}{2}</math>
のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、Sin{{sup|&minus;1}} ''x'', Arcsin ''x'' のように頭文字を大文字にした表記がよく用いられる。

== 複素関数への拡張 ==
三角関数の微分に関する性質から、cos ''x'', sin ''x'' を[[テイラー展開]]することにより、かの有名な[[オイラーの公式]] exp ''ix'' = cos ''x'' + ''i'' sin ''x'' が導出される。この公式から下記の2つの等式
{{Indent|exp ''ix'' <nowiki>=</nowiki> cos ''x'' + ''i'' sin ''x''<br>
exp(&minus;''ix'') <nowiki>=</nowiki> cos ''x'' &minus; ''i'' sin ''x''
}}
が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の[[初等関数]]としての表現が可能となる。即ち、
:<math>\cos x=\frac{e^{ix} +e^{-ix}}{2},</math>
:<math>\sin x=\frac{e^{ix} -e^{-ix}}{2i}.</math>
この事実を用いて、三角関数の定義域を複素数全体に拡張することができる。まず、
{{Indent|<math>\cos ix=\frac{e^{-x} +e^x}{2} =\cosh x,</math><br>
<math>\sin ix=\frac{e^{-x} -e^x}{2i} = i\sinh x</math>}}
である。ここで cosh ''x'', sinh ''x'' は[[双曲線関数]]を指す。この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。任意の複素数 ''z'' は ''z'' = ''x'' + ''iy'' (''x'', ''y'' &isin; '''R''') と表現できるから、加法定理より
:cos ''z'' = cos(''x'' + ''iy'') = cos ''x'' cosh ''y'' &minus; ''i'' sin ''x'' sinh ''y'',<br>
:sin ''z'' = sin(''x'' + ''iy'') = sin ''x'' cosh ''y'' + ''i'' cos ''x'' sinh ''y''
が成り立つ。これこそが正弦関数・余弦関数の定義域を複素数全体に拡張したものである。他の三角関数も正弦関数と余弦関数の四則演算によって定義できるから、結局全ての三角関数は定義域を複素数全体に拡張できることが分かる。
<gallery>
ファイル:Cos Re.png|cos(''x'' + ''iy'') の実部のグラフ 
ファイル:Cos Im.png|cos(''x'' + ''iy'') の虚部のグラフ 
ファイル:Sin Re.png|sin(''x'' + ''iy'') の実部のグラフ 
ファイル:Sin Im.png|sin(''x'' + ''iy'') の虚部のグラフ 
</gallery>

== 球面三角法 ==
{{main|球面三角法}}
球面の三角形ABC の内角を ''a'', ''b'', ''c'', 各頂点の対辺に関する球の中心角を ''α'', ''β'', ''γ'' とするとき、次のような関係が成立する。余弦公式や正弦余弦公式は式の対称性により各記号を入れ替えたものも成立する。
*正弦公式: sin ''a'' : sin ''b'' : sin ''c'' = sin ''α'' : sin ''β'' : sin ''γ''
*余弦公式: cos ''a''  = &minus;cos ''b'' cos ''c'' + sin ''b'' sin ''c'' cos ''α''
*余弦公式: cos ''α'' = cos ''β'' cos ''γ'' + sin ''β'' sin γ cos ''a''
*正弦余弦公式: sin ''a'' cos ''β'' = cos ''b'' sin ''c'' &minus; sin ''b'' cos ''c'' cos ''α''

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{仮リンク|オットー・ノイゲバウアー|en|Otto E. Neugebauer}}『古代の精密科学』恒星社厚生閣
* {{仮リンク|エリ・マオール|en|Eli Maor|label=Eli Maor}}, "Trigonometric Delights", Princeton
* [[志賀浩二]]『数の大航海―対数の誕生と広がり』
* [[ジョージ・G・ジョーゼフ]]『非ヨーロッパ起源の数学―もう一つの数学史』ブルーバックス
* [[高瀬正仁]]『古典的難問に学ぶ微分積分』
* {{仮リンク|イヴァン・ヴィノグラードフ|en|Ivan Matveyevich Vinogradov|label=I. M. Vinogradov}}, "The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers", Dover
* [[黒川信重]], [[小山信也]]『多重三角関数論講義』

== 関連項目 ==
*[[正弦定理]]
*[[余弦定理]]
*[[正接定理]]
*[[球面三角法]]
*[[コサイン4乗則]]

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|urlname=TrigonometricFunctions|title=Trigonometric Functions}}
*[http://www.csuchico.edu/~jhudson/pdf/trigtabl.pdf 三角比の近似値表]

{{DEFAULTSORT:さんかくかんすう}}
[[Category:解析学]]
[[Category:三角法]]
[[Category:初等関数]]
[[Category:数学に関する記事]]

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