リー代数のソースを表示

数学では、'''リー代数''' ({{en|Lie algebras}})、もしくは'''リー環''' ({{en|Lie ring}}) は<ref group="注">「[[リー環]]」と「リー代数」は同義語であるが、本記事では「リー代数」という用語を用いる。</ref>、{{仮リンク|無限小変換|en|infinitesimal transformation}} ({{en|infinitesimal transformation}}) の概念を研究するために導入された[[代数的構造]]である。
「リー代数（リー環）」という言葉は、1930年に、[[ソフス・リー]]に因んで、[[ヘルマン・ワイル]]により導入された。
<!--少し古い文章では、'''無限小群'''という言葉も使われている。-->

関連する数学の概念に、[[リー群]]や[[多様体#可微分多様体(differentiable manifold)|可微分多様体]]がある。
<!---{{Lie groups}}
{{redirect|Lie bracket|the operation on vector fields|Lie bracket of vector fields}}

In [[mathematics]], '''Lie algebras''' ({{IPAc-en|ˈ|l|iː}}, not {{IPAc-en|ˈ|l|aɪ}}) are [[algebraic structure]]s which were introduced to study the concept of [[infinitesimal transformation]]s. The term "Lie algebra" (after [[Sophus Lie]]) was introduced by [[Hermann Weyl]] in the 1930s. In older texts, the name "'''infinitesimal group'''" is used.

Related mathematical concepts include [[Lie group]]s and [[differentiable manifold]]s.-->

== 定義 ==
'''リー代数'''は、ある[[体 (数学)|体]] {{mvar|F}} 上の[[ベクトル空間]] <math>\,\mathfrak{g}</math> であって、'''リーブラケット''' ({{en|Lie bracket}})、あるいは'''括弧積'''と呼ばれる、次の公理を満たす[[二項演算]] <math>[\cdot,\cdot] \colon \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> が与えられている場合を言う。

;[[双線型写像|双線型性]]
:{{mvar|F}} の全てのスカラー {{mvar|a, b}} と <math>\mathfrak{g}</math> の全て元の {{mvar|x, y, z}} に対して、
::<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]\ .</math>

;[[外積代数#双対性|交代性]]
:<math>\mathfrak{g}</math> の全ての {{mvar|x}} に対し、
::<math> [x,x]=0\ .</math>

;[[ヤコビ恒等式]]
:<math>\mathfrak{g}</math> の全ての {{mvar|x, y, z}} に対し、
:: <math> [x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = 0\ .</math>
<!---== Definitions ==

A '''Lie algebra''' is a [[vector space]] <math>\,\mathfrak{g}</math> over some [[field (mathematics)|field]] ''F'' together with a [[binary operation]] <math>[\cdot,\cdot]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> called the '''Lie bracket''', which satisfies the following axioms:

* [[Bilinear operator|Bilinearity]]:

::<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] </math>

:for all scalars ''a'', ''b'' in ''F'' and all elements ''x'', ''y'', ''z'' in <math>\mathfrak{g}</math>.

* [[Exterior product#Duality|Alternating]] on <math>\,\mathfrak{g}</math>:

::<math> [x,x]=0\ </math>

:for all ''x''  in <math>\mathfrak{g}</math>.

* The [[Jacobi identity]]:

:: <math> [x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = 0 \quad </math>

:for all ''x'', ''y'', ''z'' in <math>\mathfrak{g}</math>.-->


双線型性と交代性により、[[反交換関係]] &mdash; <math>\mathfrak{g}</math> の全ての元 {{mvar|x, y}} に対し、{{math|[''x,&thinsp;y''] {{=}} &minus;[''y,&thinsp;x'']}} &mdash; が成り立つ。逆に、反交換関係は、体の[[標数]]が {{math|2}} ではないとき、交代性があることを意味する{{Sfn|Humphreys|1972|p=1}}。

<math>\mathfrak{g}</math> のように、普通、リー代数は[[フラクトゥール]]の小文字で表される。
リー代数が[[リー群]]に付随していると、リー代数のスペルはリー群と同じにする（書体は異なる）。
例えば、[[特殊ユニタリ群]]の {{math|SU(''n'')}} のリー代数は <math>\mathfrak{su}(n)</math> と書かれる。
<!---Note that the bilinearity and alternating properties imply [[anticommutativity]], i.e., {{math| [''x,y''] {{=}} −[''y,x'']}}, for all elements ''x'', ''y'' in <math>\mathfrak{g}</math>, while anticommutativity only implies the alternating property if the field's [[Characteristic (algebra)|characteristic]] is not 2.<ref>Humphreys p. 1</ref>

It is customary to express a Lie algebra in lower-case [[fraktur]], like <math>\mathfrak{g}</math>. If a Lie algebra is associated with a [[Lie group]], then the spelling of the Lie algebra is the same as that Lie group. For example, the Lie algebra of [[special unitary group|SU(''n'')]] is written as <math>\mathfrak{su}(n)</math>.-->

=== 生成子と次元 ===
リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> の元からなる集合が'''{{仮リンク|生成子|en|Generator (mathematics)<!-- [[:ja:生成 (数学)]] とリンク -->}}'''であるとは、
その集合を含む <math>\mathfrak{g}</math> の最小のリー部分代数が全体 <math>\mathfrak{g}</math> と一致することである。
リー代数の '''次元'''は、{{mvar|F}} 上のベクトル空間としての次元で定める。
リー代数の最小の生成子の数は、常に次元以下である。
<!---=== Generators and dimension ===
A collection of elements of a Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> are said to be '''[[Generator (mathematics)|generators]]''' of the Lie algebra if the smallest subalgebra  of <math>\mathfrak{g}</math> containing them is <math>\mathfrak{g}</math> itself. The '''dimension''' of a Lie algebra is its dimension as a vector space over ''F''. The cardinality of a minimal generating set is always less than or equal to its dimension.-->

=== 準同型、部分代数、イデアル ===
必ずしも <math>[[x,y],z]</math> と <math>[x,[y,z]]</math> とが等しいとは限らないので、
一般にはリーブラケットは[[結合法則]]を満たさない。
しかし、結合的な[[環 (数学)|環]]や[[結合多元環]]の理論での用語の多くは、リー代数でも共通して使われる。
リーブラケットで閉じている部分空間 <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> を'''リー部分代数''' ({{en|Lie subalgebra}}) と呼ぶ。
部分空間 <math>I\subseteq\mathfrak{g}</math> がより強い条件
: <math>[\mathfrak{g},I]\subseteq I</math>
を満たすとき、{{mvar|I}} をリー代数 <math>\mathfrak{g}</math> の'''[[イデアル]]'''と言う<ref group="注">交換子の反交換関係により、右イデアルと左イデアルは一致する {{harv|Humphreys|1972|p=6}}。</ref> 。
（同じ基礎となる係数体の上の<!---この部分は"base field"であるが、リダイレクト先が適切でないので、リダイレクトしません-->）リー代数の間の'''[[準同型]]'''とは、<math>\mathfrak{g}</math> の全ての元 {{mvar|x, y}} に対し、交換関係が
: <math> f \colon \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad f([x,y])=[f(x),f(y)] </math>
と整合している線型写像を言う。
リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> とイデアル {{mvar|I}} が与えられると、環の理論のように、イデアルはちょうど準同型の[[核 (数学)|核]]であり、'''商代数''' ({{en|factor algebra}}) <math>\mathfrak{g}/I</math> を構成することができ、リー代数に対しても{{仮リンク|同型定理|en|isomorphism theorem}}が成り立つ。

{{mvar|S}} を <math>\mathfrak{g}</math> の部分集合とする。
{{mvar|S}} の全ての元 {{mvar|s}} に対し <math>[x, s] = 0</math> となるような元 {{mvar|x}} の集合は、{{mvar|S}} の{{仮リンク|中心化と正規化|label=中心化部分代数|en|Centralizer and normalizer}} ({{en|centralizer of {{mvar|S}}}}) を構成する。<math>\mathfrak{g}</math> 自身の中心化代数は、<math>\mathfrak{g}</math> の{{仮リンク|中心 (代数学)|label='''中心'''|en|Center (algebra)}}と呼ばれる。
中心化と同様に、{{mvar|S}} の全ての元 {{mvar|s}} に対し <math>[x, s]</math> が {{mvar|S}} の元となるような {{mvar|x}} の集合は、{{mvar|S}} の部分代数を構成する。この部分代数は {{mvar|S}} の'''正規化部分代数''' (normalizer of {{mvar|S}}) と呼ばれる{{Sfn|Jacobson|1962|p=28}}。
<!--=== Homomorphisms, subalgebras, and ideals ===
The Lie bracket is not [[associative]] in general, meaning that <math>[[x,y],z]</math> need not equal <math>[x,[y,z]]</math>. Nonetheless, much of the terminology that was developed in the theory of associative [[ring (mathematics)|rings]] or [[associative algebra]]s is commonly applied to Lie algebras. A subspace <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> that is closed under the Lie bracket is called a '''Lie subalgebra'''. If a subspace <math>I\subseteq\mathfrak{g}</math> satisfies a stronger condition that

: <math>[\mathfrak{g},I]\subseteq I,</math>
then ''I'' is called an '''ideal''' in the Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math>.<ref>Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.</ref> A '''homomorphism''' between two Lie algebras (over the same [[base field]]) is a linear map that is compatible with the respective commutators:

: <math> f: \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad f([x,y])=[f(x),f(y)], </math>

for all elements ''x'' and ''y'' in <math>\mathfrak{g}</math>. As in the theory of associative rings, ideals are precisely the kernels of homomorphisms, given a Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> and an ideal ''I'' in it, one constructs the '''factor algebra''' <math>\mathfrak{g}/I</math>, and the [[first isomorphism theorem]] holds for Lie algebras.

Let ''S'' be a subset of <math>\mathfrak{g}</math>. The set of elements ''x'' such that <math>[x, s] = 0</math> for all ''s'' in ''S'' forms a subalgebra called the [[centralizer]] of ''S''. The centralizer of <math>\mathfrak{g}</math> itself is called the [[center (algebra)|center]] of <math>\mathfrak{g}</math>. Similar to centralizers, if ''S'' is a subspace,<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|loc=pg. 28}}</ref> then the set of ''x'' such that <math>[x, s]</math> is in ''S'' for all ''s'' in ''S'' forms a subalgebra called the [[normalizer]] of ''S''.-->

=== 直和 ===
2 つのリー代数 <math>\mathfrak{g}</math> と <math>\mathfrak{g'}</math> が与えられると、それらの[[直和]]は、ベクトル空間
<math>\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}</math> とペア <math>(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}</math> であり、リーブラケットは
: <math> [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']), \quad x,y\in\mathfrak{g},\, x',y'\in\mathfrak{g'}</math>
で定める{{Sfn|Jacobson|1962|p=18}}。
<!---=== Direct sum ===
Given two Lie algebras <math>\mathfrak{g}</math> and <math>\mathfrak{g'}</math>, their [[Direct sum of modules|direct sum]] is the Lie algebra consisting of the vector space
<math>\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}</math>, of the pairs <math>\mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, x'\in\mathfrak{g'}</math>, with the operation

: <math> [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']), \quad x,y\in\mathfrak{g},\, x',y'\in\mathfrak{g'}.</math>-->

== 性質 ==

=== 包絡代数を持つ ===
{{See also|非結合多元環}}
積 {{math|*}} を持つ任意の[[結合多元環|結合代数]] {{mvar|A}} に対し、リー代数 {{math|''L''(''A'')}} を構成できる。
ベクトル空間としては、{{math|''L''(''A'')}} は {{mvar|A}} と同じである。{{math|''L''(''A'')}} の 2 つのリーブラケットは、次のように {{mvar|A}} での[[交換子#環論における交換子|交換子]]として定義される。
: <math> [a,b]=a * b-b * a</math>
{{mvar|A}} での積 {{math|*}} の結合性は、{{math|''L''(''A'')}} の交換子の[[ヤコビ恒等式]]を意味する。
例えば、体 {{mvar|F}} 上の {{math|''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n''}} 行列の結合代数は、一般線型リー代数 ({{en|general linear Lie algebra}}) <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math> を生成する。
結合代数 {{mvar|A}} をリー代数 {{math|''L''(''A'')}} の'''包絡代数''' ({{en|enveloping algebra}}) と呼ぶ。
全てのリー代数はこの形の結合代数から作られたリー代数へ埋め込まれる。
[[普遍包絡代数]]を参照。
<!---== Properties ==

=== Admits an enveloping algebra ===
{{See also|Enveloping algebra}}
For any [[associative algebra]] ''A'' with multiplication <math>*</math>,  one can construct a Lie algebra ''L''(''A''). As a vector space, ''L''(''A'') is the same as ''A''. The Lie bracket of two elements of ''L''(''A'') is defined to be their [[commutator#Ring theory|commutator]] in ''A'':

: <math> [a,b]=a * b-b * a.\ </math>

The associativity of the multiplication * in ''A'' implies the Jacobi identity of the commutator in ''L''(''A''). For example, the associative algebra of ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' matrices over a field ''F'' gives rise to the [[general linear group|general linear Lie algebra]] <math>\mathfrak{gl}_n(F).</math> The associative algebra ''A'' is called an '''enveloping algebra''' of the Lie algebra ''L''(''A''). Every Lie algebra can be embedded into one that arises from an associative algebra in this fashion; see [[universal enveloping algebra]].-->

=== 表現 ===
ベクトル空間 {{mvar|V}} が与えられたとして、<math>\mathfrak{gl}(V)</math> で V の全ての線型{{仮リンク|自己準同型|en|endomorphism}} ({{en|endomorphism}}) の集合を表すとする。
これは結合的な代数であるので、[[#包絡代数を持つ|前のセクションで述べた方法]]でリー代数である。
{{mvar|V}} 上のリー代数 <math>\mathfrak{g}</math> の{{仮リンク|リー代数の表現|label=表現|en|Lie algebra representation}} ({{en|representation}}) は、リー代数の準同型
:<math>\pi \colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)</math>
である。
表現は、核が自明のときに、'''忠実''' ({{en|faithful}}) であるという。
全ての有限次元リー代数は有限次元のベクトル空間上で忠実な表現を持っている
（アド＝[[岩澤健吉|岩澤]]の定理 ({{en|theorem of Ado&ndash;Iwasawa}}){{Sfn|Jacobson|1962|loc=Ch. VI The Theorem of Ado-Iwasawa}}）。

例えば、<math>\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y]</math> により与えられる <math>\operatorname{ad}</math> は、[[リー代数の随伴表現|随伴表現]]と呼ばれるベクトル空間 <math>\mathfrak{g}</math> 上の <math>\mathfrak{g}</math> の表現である。
リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> <ref group="注">実は、任意の非結合的な代数でもよい。</ref>の上の{{仮リンク|微分 (計算)|label=微分|en|derivation (abstract algebra)}}(derivation)とは、[[一般のライプニッツの法則|ライプニッツの法則]]、すなわち、すべての <math>\mathfrak{g}</math> の元 {{mvar|x, y}} に対して
:<math>\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]</math>
が成り立つ[[線型写像]] <math>\delta:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> のことである。
ヤコビ恒等式より任意の {{mvar|x}} に対し、<math>\operatorname{ad}(x)</math> は微分である。
従って、<math>\operatorname{ad}</math> の像は、微分からなる <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math> の部分代数 <math>\operatorname{Der}(\mathfrak{g})</math> の中にある。
<math>\operatorname{ad}</math> の像の中にある微分は、内部微分と呼ばれる。
<math>\mathfrak{g}</math> が半単純あれば、全て微分は内部微分である。
<!---=== Representation ===
Given a vector space ''V'', let <math>\mathfrak{gl}(V)</math> denote the set of all linear [[endomorphism]]s of ''V''. It is an associative algebra and thus is a Lie algebra by the discussion in the previous section. A [[Lie algebra representation|representation]] of a Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> on ''V'' is a Lie algebra homomorphism
:<math>\pi: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V).</math>
A representation is said to be faithful if its kernel is trivial. Every finite-dimensional Lie algebra has a faithful representation on a finite-dimensional vector space ([[Ado's theorem]]).<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|loc=Ch. VI}}</ref>

For example, <math>\operatorname{ad}</math> given by <math>\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y]</math> is a representation of <math>\mathfrak{g}</math> on the vector space <math>\mathfrak{g}</math> called the [[adjoint representation of a Lie algebra|adjoint representation]]. A [[derivation (abstract algebra)|derivation]] on the Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> (in fact on any [[non-associative algebra]]) is a [[linear map]] <math>\delta:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> that obeys the [[General Leibniz rule|Leibniz' law]], that is,
:<math>\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]</math>
for all ''x'' and ''y'' in the algebra. For any ''x'', <math>\operatorname{ad}(x)</math> is a derivation; a consequence of the Jacobi identity. Thus, the image of <math>\operatorname{ad}</math> lies in the subalgebra of <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math> consisting of derivations. A derivation that happens to be in the image of <math>\operatorname{ad}</math> is called an inner derivation. If <math>\mathfrak{g}</math> is semisimple, every derivation is inner.-->

== 例 ==

=== ベクトル空間 ===
*恒等的にゼロに値をとるリーブラケットを持つ任意のベクトル空間 {{mvar|V}} は、リー代数となる。そのようなリー代数は、以下に示すように、[[アーベル群|可換な]]リー代数である。体上の任意の {{math|1}} 次元リー代数は、[[#定義|リーブラケットの反対称性]]により、可換である。

*全ての {{math|''n''&nbsp;×&nbsp;''n''}} [[歪エルミート行列|歪エルミートな]]行列の実ベクトル空間は、 交換子の下に閉じているので、<math>\mathfrak{u}(n)</math> で表される実リー代数を形成する。これは[[ユニタリ群]] {{math|''U''(''n'')}} のリー代数である。
<!---== Examples ==

=== Vector spaces ===

*Any vector space ''V'' endowed with the identically zero Lie bracket becomes a Lie algebra. Such Lie algebras are called [[Abelian group|abelian]], cf. below. Any one-dimensional Lie algebra over a field is abelian, by the [[#Definitions|antisymmetry of the Lie bracket]].

*The real vector space of all ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' [[skew-hermitian]] matrices is closed under the commutator and forms a real Lie algebra denoted <math>\mathfrak{u}(n)</math>. This is the Lie algebra of the [[unitary group]]&nbsp;''U''(''n'').
This is a bit of an overkill, and slightly wrong
The vector space of left-invariant vector fields on a [[Lie group]] is closed under this operation and is therefore a finite dimensional Lie algebra. One may alternatively think of the underlying vector space of the Lie algebra belonging to a Lie group as the tangent space at the group's identity element. The multiplication is the differential of the group [[commutator]], (''a'',''b'') → ''aba''<sup>−1</sup>''b''<sup>−1</sup>, at the identity element.
--->

=== 部分空間 ===
* 一般線型代数のリー代数 <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math> の[[跡 (線型代数学)|トレース]]ゼロの部分空間は、部分リー代数であり、<math>\mathfrak{sl}_n(F)</math> で記し、{{仮リンク|特殊線型リー代数|en|special linear Lie algebra}} ({{en|special linear Lie algebra}}) と呼ばれる{{Sfn|Humphreys|1972|p=2}}。
<!---=== Subspaces ===

* The subspace of the general linear Lie algebra <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math> consisting of matrices of [[Trace (linear algebra)|trace]] zero is a subalgebra,<ref>Humphreys p.2</ref> the [[special linear Lie algebra]], denoted <math>\mathfrak{sl}_n(F).</math>-->

=== 実行列群 ===
* 任意の[[リー群]] G<!---日本語版は、{{Mvar|}}というマクロが使えないので、ank文字を使う--> は、付随する実リー代数 <math>\mathfrak{g}</math>=Lie(G) を持つ。一般の定義はいくらかテクニカルであるが、実行列群の場合は、{{仮リンク|指数写像|en|exponential map}}(exponential map)、もしくは行列のベキを通じて定式化することができる。リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> は、全ての実数 t に対して exp(tX) &isin; G となる行列 X から構成される。
:<math>\mathfrak{g}</math> のリーブラケットは、行列の交換子により与えられる。具体的な例として、要素が全て実数で行列式が 1 である n&nbsp;×&nbsp;n 行列の[[特殊線型群]] SL(n,'''R''') を考える。これは行列のリー群であり、リー代数は、n&nbsp;×&nbsp;n 行列の要素が実数でトレースが 0 でとなるものと、関係式
:: <math> L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f)~.</math>
:から構成される。このリー代数は、M の{{仮リンク|微分同相|en|diffeomorphism}}(diffeomorphism)の{{仮リンク|擬群|en|pseudogroup}}(pseudogroup)に関連している。
<!---=== Real matrix groups ===

* Any [[Lie group]] {{mvar|G}} defines an associated real Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math>=Lie({{mvar|G}}). The definition in general is somewhat technical, but in the case of real [[matrix group]]s, it can be formulated via the [[exponential map]], or the matrix exponent. The Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> consists of those matrices {{mvar|X}} for which {{math| exp(''tX'') ∈ ''G''}},   ∀ real numbers {{mvar|t}}.
:The Lie bracket of <math>\mathfrak{g}</math> is given by the commutator of matrices. As a concrete example, consider the [[special linear group]] SL(''n'','''R'''), consisting of all ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' matrices with real entries and determinant 1. This is a matrix Lie group, and its Lie algebra consists of all ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' matrices with real entries and trace 0,
:: <math> L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f)~.</math>
:This Lie algebra is related to the [[pseudogroup]] of [[diffeomorphism]]s of {{mvar|M}}.-->

=== 3次元 ===
*[[空間ベクトル|ベクトル]]の[[クロス積]]により与えられるリーブラケットを持つ 3次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>3</sup> は、3次元リー代数である。

*{{仮リンク|ハイゼンベルグ代数|en|Heisenberg algebra}}(Heisenberg algebra) ''H''<sub>3</sub>(R) は、3次元リー代数で、次の関係式を満たすリーブラケットを持つ要素 x, y, z で生成される。
:: <math>[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0</math> .
:この代数は、以下の行列交換子により与えられるリーブラケットを持つ 3&times;3 上半三角行列の空間として、明示的に構成される。
::<math>
x = \left( \begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
y = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
z = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right)~.\quad
</math>

:このように、{{仮リンク|ハイゼンベルグ群|en|Heisenberg group}}(Heisenberg group)の全ての元は、群の生成子の正規として表現可能である。つまり、これらのリー代数の生成子、
::<math>\left( \begin{array}{ccc}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{array}\right)= e^{by} e^{cz} e^{ax}~.
</math>
の[[行列指数関数]]として表現される。

* [[量子力学]]の[[角運動量]]の成分 x, y, z の間の交換関係は、複素 3次元リー代数の表現を形成し、この表現は3次元[[特殊直交群]] SO(3)
:: <math>[L_x, L_y] = i \hbar L_z</math>
:: <math>[L_y, L_z] = i \hbar L_x</math>
:: <math>[L_z, L_x] = i \hbar L_y</math>  .
:のリー代数 so(3) の{{仮リンク|複素化|en|complexification}}(complexification)である。
<!---=== Three dimensions ===

*The three-dimensional [[Euclidean space]] '''R'''<sup>3</sup>  with the Lie bracket given by the [[cross product]] of [[Vector (geometric)|vectors]] becomes a three-dimensional Lie algebra.

*The [[Heisenberg algebra]] ''H''<sub>3</sub>(R) is a three-dimensional Lie algebra generated by elements {{mvar|x}},  {{mvar|y}}  and  {{mvar|z}} with Lie brackets
:: <math>[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0</math> .
:It is explicitly realized as the space of 3&times;3 strictly upper-triangular matrices, with the Lie bracket  given by the matrix commutator,
::<math>
x = \left( \begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
y = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
z = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right)~.\quad
</math>

:Any element of the [[Heisenberg group]] is thus representable as a product of group generators, i.e., [[matrix exponential]]s of these Lie algebra generators, 
::<math>\left( \begin{array}{ccc}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{array}\right)= e^{by} e^{cz} e^{ax}~.
</math>

* The commutation relations between the ''x'', ''y'', and ''z'' components of the [[angular momentum]] operator in [[quantum mechanics]] form a representation of a complex three-dimensional Lie algebra, which is the [[complexification]] of the Lie algebra ''so''(3) of the three-dimensional [[Rotation group SO(3)|rotation group]]:
:: <math>[L_x, L_y] = i \hbar L_z</math>
:: <math>[L_y, L_z] = i \hbar L_x</math>
:: <math>[L_z, L_x] = i \hbar L_y</math>  .-->

=== 無限次元 ===
*無限次元の実リー代数は、[[微分トポロジー]]で重要である。[[多様体#.E5.8F.AF.E5.BE.AE.E5.88.86.E5.A4.9A.E6.A7.98.E4.BD.93.EF.BC.88differentiable_manifold.EF.BC.89|微分可能多様体]] M 上の滑らかな[[ベクトル場]]の空間はリー代数を構成し、そこではリーブラケットはベクトル場の交換子であると定義される。リーブラケットを表現する方法は、[[リー微分]]の定式化を通して、 L<sub>X</sub>(f) を X 方向の函数 f の方向微分であるとすることにより滑らかな函数の上へ作用する第一階の偏微分作用素を持つベクトル場 X と X を同一視することでなされる。2つのベクトル場のリーブラケット [X,Y] は、次の公式により函数上への作用を通して定義されるベクトル場である。
:: <math> L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,</math>

* {{仮リンク|カッツ・ムーディー代数|en|Kac–Moody algebra}}(Kac–Moody algebra)は無限次元リー代数の例である。

* {{仮リンク|モーヤルブラケット|label=モーヤル代数|en|Moyal bracket}}(Moyal algebra)は、部分代数として{{仮リンク|古典リー代数|en|Classical_Lie_groups#Relationship_with_bilinear_forms}}(classical Lie algebra)の全てを含む部分リー代数である。
<!---=== Infinite dimensions ===

*An important class of infinite-dimensional real Lie algebras arises in [[differential topology]]. The space of smooth [[vector field]]s on a [[differentiable manifold]] ''M'' forms a Lie algebra, where the Lie bracket is defined to be the commutator of vector fields. One way of expressing the Lie bracket is through the formalism of [[Lie derivative]]s, which identifies a vector field ''X'' with a first order partial differential operator ''L''<sub>''X''</sub> acting on smooth functions by letting ''L''<sub>''X''</sub>(''f'') be the directional derivative of the function ''f'' in the direction of ''X''. The Lie bracket [''X'',''Y''] of two vector fields is the vector field defined through its action on functions by the formula:
 	
:: <math> L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,</math>

*A [[Kac–Moody algebra]] is an example of an infinite-dimensional Lie algebra.

*The [[Moyal bracket|Moyal algebra]] is an infinite-dimensional Lie algebra which contains all [[Classical_Lie_groups#Relationship_with_bilinear_forms|classical Lie algebra]]s as subalgebras.-->

== 構造論と分類 ==
リー代数は、ある程度、分類することが可能である。特に、このことはリー群の分類に応用される。

=== 可換性、べき零性、可解性 ===
部分群の言葉として定義されている、可換群（アーベル群）、べき零群、可解群と似ており、'''{{anchor|可換リー代数}}'''、'''{{anchor|べき零リー代数}}'''、'''{{anchor|可解リー代数}}'''を定義することができる。

リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> は、<math>[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = 0</math>のとき、つまり、<math>\mathfrak{g}</math> の全ての x と y に対し [''x'',''y''] = 0 が成り立つとき、'''可換'''であるという。
可換リー代数は、ベクトル空間 <math>K^n</math> や[[トーラス]]のような <math>T^n</math> のような結合的な（あるいは[[可換群|可換]]な）連結リー代数に対応していて、自明なリーブラケットをもつ n 次元ベクトル空間を意味する <math>\mathfrak{k}^n</math> の全体である。
<!---== Structure theory and classification ==

Lie algebras can be classified to some extent. In particular, this has an application to the classification of Lie groups.

=== Abelian, nilpotent, and solvable ===
Analogously to abelian, nilpotent, and solvable groups, defined in terms of the derived subgroups, one can define abelian, nilpotent, and solvable Lie algebras.

A Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> is '''abelian{{anchor|abelian}}''' if the Lie bracket vanishes, i.e. [''x'',''y''] = 0, for all ''x'' and ''y'' in <math>\mathfrak{g}</math>. Abelian Lie algebras correspond to commutative (or [[abelian group|abelian]]) connected Lie groups such as vector spaces <math>K^n</math> or [[torus|tori]] <math>T^n,</math> and are all of the form <math>\mathfrak{k}^n,</math> meaning an ''n''-dimensional vector space with the trivial Lie bracket.-->

リー代数のより一般的なクラスは、与えられた長さの交換子がゼロとすることで定義する。
リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> が、'''{{仮リンク|べき零リー代数|label=べき零|en|nilpotent Lie algebra}}'''(nilpotent)とは、[[:en:lower central series|下降列]]
:<math> \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > \cdots</math>
が有限回でゼロに達することを言う。
{{仮リンク|エンゲルの定理|en|Engel's theorem}}(Engel's theorem)の定理により、リー代数がべき零であることと、<math>\mathfrak{g}</math> の全ての元 u に対し、[[リー代数の随伴表現|随伴準同型]]
:<math>\operatorname{ad}(u):\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}, \quad \operatorname{ad}(u)v=[u,v]</math>
がべき零であることとは同値である。

さらにより一般的な場合として、リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> が'''{{仮リンク|可解リー代数|label=可解|en|solvable Lie algebra}}'''(solvable)とは、{{仮リンク|導来列|en|derived series}}(derived series)
:<math> \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]],[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]]]  > \cdots</math>
が有限回でゼロに達することを言う。

全ての有限次元のリー代数は、一意的に最大可解イデアルを持っていて、{{仮リンク|リー代数の根基|label=根基|en|radical of a Lie algebra}}(radical)と呼ぶ。リー対応の下、連結なべき零リー群、連結な可解リー群はそれぞれ、べき零、可解リー代数に対応する。
<!---A more general class of Lie algebras is defined by the vanishing of all commutators of given length. A Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> is '''[[nilpotent Lie algebra|nilpotent]]''' if the [[lower central series]]

:<math> \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > \cdots</math>

becomes zero eventually. By [[Engel's theorem]], a Lie algebra is nilpotent if and only if for every ''u'' in <math>\mathfrak{g}</math> the [[adjoint endomorphism]]

:<math>\operatorname{ad}(u):\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}, \quad \operatorname{ad}(u)v=[u,v]</math>

is nilpotent.

More generally still, a Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> is said to be '''[[solvable Lie algebra|solvable]]''' if the [[derived series]]:

:<math> \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]],[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]]]  > \cdots</math>

becomes zero eventually.

Every finite-dimensional Lie algebra has a unique maximal solvable ideal, called its [[radical of a Lie algebra|radical]]. Under the Lie correspondence, nilpotent (respectively, solvable) connected Lie groups correspond to nilpotent (respectively, solvable) Lie algebras.-->

=== 単純性と半単純性 ===
{{main|半単純リー代数}}
リー代数が'''{{仮リンク|単純リー代数|label=単純|en|Simple Lie algebra}}'''(simple)とは、非自明なイデアルを持たず、可換でないときを言う。
リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> が'''[[半単純リー代数|半単純]]'''とは、根基(radical)がゼロであるときを言う。
同じことであるが、<math>\mathfrak{g}</math> が半単純とは、ゼロでない可換イデアルを持たないときを言う。
特に、単純リー代数は半単純である。逆に、任意の半単純リー代数は最小イデアルの直和であることが証明でき、標準的に単純リー代数により半単純リー代数が決定される。

リー代数の半単純性の概念は、密接に表現の完全既約性(semisimplicity)と関連している。
基礎体 F の標数が 0 のとき、半単純リー代数の任意の有限次元表現は半単純（つまり、既約表現の直和）である。
一般に、リー代数が{{仮リンク|既約リー代数|label=既約|en|reductive Lie algebra}}(reductive)とは、随伴表現が半単純であるときを言う。
このように、半単純リー代数は既約である。
<!---=== Simple and semisimple ===
A Lie algebra is "[[Simple Lie algebra|simple]]" if it has no non-trivial ideals and is not abelian.
A Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> is called '''[[semisimple Lie algebra|semisimple]]''' if its radical is zero. Equivalently, <math>\mathfrak{g}</math> is semisimple if it does not contain any non-zero abelian ideals. In particular, a simple Lie algebra is semisimple. Conversely, it can be proven that any semisimple Lie algebra is the direct sum of its minimal ideals, which are canonically determined simple Lie algebras.

The concept of semisimplicity for Lie algebras is closely related with the complete reducibility (semisimplicity) of their representations. When the ground field ''F'' has [[characteristic (field)|characteristic]] zero, any finite-dimensional representation of a semisimple Lie algebra is semisimple (i.e., direct sum of irreducible representations.) In general, a Lie algebra is called [[reductive Lie algebra|reductive]] if the adjoint representation is semisimple. Thus, a semisimple Lie algebra is reductive.<!***commented out*** of a Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> over ''F'' is equivalent to the complete reducibility of all finite-dimensional [[Lie algebra representation|representations]] of <math>\mathfrak{g}.</math> An early proof of this statement proceeded via connection with compact groups ([[Weyl's unitary trick]]), but later entirely algebraic proofs were found.***-->

=== カルタンの判定条件 ===
{{仮リンク|カルタンの判定条件|en|Cartan's criterion}}(Cartan's criterion)は、リー代数がべき零、可解、半単純であるための判定条件を与える。
この判定条件は、{{仮リンク|キリング形式|en|Killing form}}(Killing form)の考え方を基礎としている。キリング形式とは、
: <math>K(u,v)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u)\operatorname{ad}(v))</math>
で定義された <math>\mathfrak{g}</math> 上の[[対称双線型形式]]である。
ここで tr は線型作用素の[[跡 (線型代数学)|トレース]]を表す。
リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> が半単純であることと、キリング形式が{{仮リンク|退化形式|label=非退化|en|nondegenerate form}}(nondegenerate)であることとは同値である{{Sfn|Humphreys|1972|p=22}}。
リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> が可解であることと、<math>K(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0</math> であることとは同値である。

<!---=== Cartan's criterion ===

[[Cartan's criterion]] gives conditions for a Lie algebra to be nilpotent, solvable, or semisimple. It is based on the notion of the [[Killing form]], a [[symmetric bilinear form]] on <math>\mathfrak{g}</math> defined by the formula
: <math>K(u,v)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u)\operatorname{ad}(v)),</math>
where tr denotes the [[Trace (linear algebra)|trace of a linear operator]]. A Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> is semisimple if and only if the Killing form is [[nondegenerate form|nondegenerate]]. A Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> is solvable if and only if <math>K(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0.</math>-->

=== 分類 ===
{{仮リンク|レヴィ分解|en|Levi decomposition}}(Levi decomposition)は、任意のリー代数を可解な根基と半単純リー代数の{{仮リンク|半直和|en|semidirect sum<!-- リダイレクト先の「[[:en:Semidirect product]]」は、[[:ja:半直積]] とリンク -->}}(semidirect sum)としてほぼ標準的に表すことができる。
さらに、代数的閉体上の半単純リー代数は、{{仮リンク|ルート系|en|root system}}(root system)を通して完全に分類されている。
しかし、可解リー群の分類には「ワイルド」な問題があり、一般には完成していない{{Clarify|date=April 2009}}。

<!---=== Classification ===
The [[Levi decomposition]] expresses an arbitrary Lie algebra as a [[semidirect sum]] of its solvable radical and a semisimple Lie algebra, almost in a canonical way. Furthermore, semisimple Lie algebras over an algebraically closed field have been completely classified through their [[root system]]s. However, the classification of solvable Lie algebras is a 'wild' problem, and cannot{{Clarify|date=April 2009}} be accomplished in general.-->

== リー群との関係 ==
リー代数は多くの場合それ自体で研究されているが、歴史的にはリー群の研究のための方法として生まれた。

リーの基本定理は、[[リー群]]とリー代数の関係を記述している。
特に、任意のリー群はリー代数を標準的に決めるために生まれ（具体的には、「接空間と同一視する」）、逆に任意のリー代数に対し、対応する連結リー群が存在する（{{仮リンク|リーの第三定理|en|Lie's third theorem}}(Lie's third theorem)、{{仮リンク|ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式|en|Baker–Campbell–Hausdorff formula}}(Baker–Campbell–Hausdorff formula)を参照）。
このリー代数は一意には決まらないが、同じリー代数をもつ任意の 2つの連結リー群は'''局所同型'''であり、特に同じ[[被覆空間#普遍被覆|普遍被覆]]を持つ。例えば、[[特殊直交群]] [[:en:SO(3)|SO(3)]] や[[特殊ユニタリ群]] [[:en:SU(2)|SU(2)]] は、クロス積をもつ '''R'''<sup>3</sup> である同じリー代数から生まれる。
SU(2) は SO(3) の単連結な二重被覆である。

<!---== Relation to Lie groups ==
Although Lie algebras are often studied in their own right, historically they arose as a means to study Lie groups.

Lie's fundamental theorems describe a relation between [[Lie groups]] and Lie algebras. In particular, any Lie group gives rise to a canonically determined Lie algebra (concretely, ''the tangent space at the identity''); and, conversely, for any Lie algebra there is a corresponding connected Lie group ([[Lie's third theorem]]; see the [[Baker–Campbell–Hausdorff formula]]). This Lie group is not determined uniquely; however, any two connected Lie groups with the same Lie algebra are ''locally isomorphic'', and in particular, have the same [[universal cover]]. For instance, the [[special orthogonal group]] [[SO(3)]] and the [[special unitary group]] [[SU(2)]] give rise to the same Lie algebra, which is isomorphic to '''R'''<sup>3</sup> with the cross-product, while SU(2) is a simply-connected twofold cover of SO(3).
-->

リー群が与えられると、[[随伴表現|随伴写像]] の{{仮リンク|プッシュフォワード|en|pushforward (differential)}}された微分形式と[[接ベクトル空間]] とを同一視するか、もしくは、例の中で述べてように、左不変ベクトル場を考えることにより、リー代数をリー群と結びつけることにより、関連づけられる。実{{仮リンク|行列群|en|matrix group}}(matrix group)の場合、リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> は、全ての実数 t に対し exp(tX) ∈ G となるような行列 X から構成される。ここに exp は[[行列指数関数]]である。
<!---Given a Lie group, a Lie algebra can be associated to it either by endowing the [[tangent space]] to the [[identity element|identity]] with the [[pushforward (differential)|differential]] of the [[adjoint representation of a Lie group|adjoint map]], or by considering the left-invariant vector fields as mentioned in the examples. In the case of real [[matrix group]]s, the Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> consists of those matrices {{mvar|X}} for which {{math|exp(''tX'') ∈ ''G''}} for all real numbers {{mvar|t}}, where {{math|exp}} is the [[Matrix exponential|exponential map]].-->

リー代数の例を挙げる。
* 群 <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})</math> のリー代数 <math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})</math> は、複素　n×n 行列の代数である。
* 群 <math>\operatorname{SL}_n(\mathbb{C})</math> のリー代数 <math>\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})</math> は、トレースが 0 である複素　n×n 行列の代数である。
* 群  <math>\operatorname{O}(n)</math> と <math>\operatorname{SO}(n)</math> の両方のリー代数 <math>\mathfrak{o}(n)</math> は、実反対称　n×n 行列の代数である。（[[交代行列#無限小回転|交代群の無限小回転]]を参照）
* 群  <math>\operatorname{U}(n)</math> のリー代数 <math>\mathfrak{u}(n)</math> は、複素交代エルミート n×n 行列であるが、他方、<math>\operatorname{SU}(n)</math> のリー代数 <math>\mathfrak{su}(n)</math> はトレースが 0 の複素交代エルミート n×n 行列である。
上記の例では、リーブラケット <math>[X,Y]</math>（リー代数の行列 X と Y に対して）は <math>[X,Y] = XY - YX</math> として定義する。
<!---Some examples of Lie algebras corresponding to Lie groups are the following:
* The Lie algebra <math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})</math> for the group <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math> is the algebra of complex {{math|''n×n''}}  matrices
* The Lie algebra <math>\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})</math> for the group <math>\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})</math> is the algebra of complex  {{math|''n×n''}} matrices with trace 0
* The Lie algebras <math>\mathfrak{o}(n)</math> for the group <math>\mathrm{O}(n)</math> and <math>\mathfrak{so}(n)</math> for <math>\mathrm{SO}(n)</math> are both the algebra of real anti-symmetric  {{math|''n×n''}} matrices (See [[Antisymmetric_matrix#Infinitesimal_rotations|Antisymmetric matrix: Infinitesimal rotations]] for a discussion)
* The Lie algebra <math>\mathfrak{u}(n)</math> for the group <math>\mathrm{U}(n)</math> is the algebra of skew-Hermitian complex {{math|''n×n''}} matrices while the Lie algebra <math>\mathfrak{su}(n)</math> for <math>\mathrm{SU}(n)</math> is the algebra of skew-Hermitian, traceless complex {{math|''n×n''}} matrices.
In the above examples, the Lie bracket <math>[X,Y]</math> (for <math>X</math> and <math>Y</math> matrices in the Lie algebra) is defined as <math>[X,Y] = XY - YX</math>.-->

生成子 T<sup>a</sup> の集合が与えられると、'''[[構造定数 (数学)|構造定数]]''' f <sup>abc</sup> は、生成子のペアのリーブラケットを集合からの生成子の線型結合 [T<sup>a</sup>, T<sup>b</sup>] = f <sup>abc</sup> T<sup>c</sup> で表す。
構造定数はリー代数の元のリーブラケットを決定するので、結果としてリー群の群構造をほぼ完全に決定する。
単位元の近くのリー群の構造は、{{仮リンク|ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式|en|Baker–Campbell–Hausdorff formula}}(Baker–Campbell–Hausdorff formula)により明確に表される。
ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式は、リー代数の元 X, Y の拡大とそれらのリーブラケットであらわされ、互いにネストした元でも単一の成分 exp(tX) exp(tY) = exp(tX + tY + ½ t<sup>2</sup> [X,Y] + O(t<sup>3</sup>)) となる。 
<!---Given a set of generators {{math|''T<sup>a</sup>''}}, the '''[[structure constants]]''' {{math|''f <sup>abc</sup>''}}  express the Lie brackets of pairs of generators as linear combinations of generators from the set, i.e., {{math|[''T<sup>a</sup>, T<sup>b</sup>''] {{=}} ''f <sup>abc</sup> T<sup>c</sup>''}}. The structure constants determine the Lie brackets of elements of the Lie algebra, and consequently nearly completely determine the group structure of the Lie group.  The structure of the Lie group near the identity element is displayed explicitly by the  [[Baker–Campbell–Hausdorff formula]], an expansion in Lie algebra elements {{math|''X, Y''}} and their Lie brackets, all nested together within a single exponent,  {{math|exp(''tX'') exp(''tY'') {{=}} exp(''tX''+''tY''+½ ''t<sup>2</sup>''[''X,Y'']  + O(''t<sup>3</sup>'') )}}.-->

リー群からリー代数への写像は[[関手]]的であり、リー群の準同型がリー代数の準同型にリフトすることを意味し、多くの性質がリフティングを満たす。
合成とは可換であり、リー群のリー部分群、核、商、余核をそれぞれリー代数の部分代数、核、商、余核へ写像する。
<!---The mapping from Lie groups to Lie algebras is [[functorial]], which implies that homomorphisms of Lie groups lift to homomorphisms of Lie algebras, and various properties are satisfied by this lifting: it commutes with composition, it maps Lie subgroups, kernels, quotients and cokernels of Lie groups to subalgebras, kernels, quotients and cokernels of Lie algebras, respectively.-->

リー群をリー代数に写し、準同型をリー代数の微分へ写す[[関手]] '''L''' は、[[完全関手]]である。しかし、{{仮リンク|カテゴリ同値|en|equivalence of categories}}(equivalence of categories)ではない。異なるリー群でも同型のリー代数となる場合があるからである。（例えば、[[特殊直交群|SO(3)]]や[[特殊ユニタリ群|SU(2)]]の例がある。）また、いかなるリー群も伴わない（無限次元の）リー代数が存在する。<ref>{{harvnb|Beltita|2005|loc=pg. 75}}</ref>
<!---The [[functor]] '''L''' which takes each Lie group to its Lie algebra and each homomorphism to its differential is  [[faithful functor|faithful]] and [[exact functor|exact]].  It is however not an [[equivalence of categories]]: different Lie groups may have isomorphic Lie algebras (for example [[special orthogonal group|SO(3)]] and [[special unitary group|SU(2)]] ),  and there are (infinite dimensional) Lie algebras that are not associated to any Lie group.<ref>{{harvnb|Beltita|2005|loc=pg. 75}}</ref>-->

しかしながら、リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> が有限次元のときは、<math>\mathfrak{g}</math> をリー代数としてもつ[[単連結空間|単連結]]なリー群を、そのリー代数へ付随させることができる。さらに詳しくは、リー代数の函手 '''L''' は、有限次元（実）リー代数からリー群への[[随伴関手|左随伴関手]] '''Γ''' を持っていて、単純な連結リー群の部分カテゴリ全体を分解する<ref>随伴写像の性質は、{{harvnb|Hofman|Morris|2007|p=130}}でより一般的な立場から議論されるが、直接的な結果は例えば {{harvnb|Bourbaki|1989}} p. 305 の Theorem 1 や p. 310 の Theorem 3。</ref> 。言い換えると、双函手である自然な同型が存在する。

::<math> \mathrm{Hom}(\Gamma(\mathfrak{g}), H) \cong \mathrm{Hom}(\mathfrak{g},\mathrm{L}(H)).</math>
<!---However, when the Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> is finite-dimensional, one can associate to it a [[simply connected space|simply connected]] Lie group having <math>\mathfrak{g}</math> as its Lie algebra. More precisely, the Lie algebra functor '''L'''  has a [[adjoint functors|left adjoint functor]] '''Γ''' from finite-dimensional (real) Lie algebras to Lie groups, factoring through the full subcategory of simply connected Lie groups.<ref>Adjoint property is discussed in more general context in Hofman & Morris (2007) (e.g., page 130) but is a straightforward consequence of, e.g., Bourbaki (1989) Theorem 1 of page 305 and Theorem 3 of page 310.</ref> In other words, there is a natural isomorphism of bifunctors

::<math> \mathrm{Hom}(\Gamma(\mathfrak{g}), H) \cong \mathrm{Hom}(\mathfrak{g},\mathrm{L}(H)).</math>-->

随伴写像(adjunction) <math>\mathfrak{g} \rightarrow \mathrm{L}(\Gamma(\mathfrak{g}))</math>（<math>\Gamma(\mathfrak{g})</math> 上の恒等写像に対応する）は同型であり、他の随伴写像 <math>\Gamma(\mathrm{L}(H)) \rightarrow H</math> は、H の恒等元の成分の[[被覆空間|普遍被覆]]群から H への射影準同型である。このことから、直ちに、G が単連結であれば、リー代数の函手は、リー群の準同型 G → H とリー代数の準同型 '''L'''(G) → '''L'''(H) の間の全単射である。
<!---The adjunction <math>\mathfrak{g} \rightarrow \mathrm{L}(\Gamma(\mathfrak{g}))</math> (corresponding to the identity on <math>\Gamma(\mathfrak{g})</math>) is an isomorphism, and the other adjunction <math>\Gamma(\mathrm{L}(H)) \rightarrow H</math> is the projection homomorphism from the [[universal cover]] group of the identity component of {{mvar|H}} to {{mvar|H}}. It follows immediately that if {{mvar|G}} is simply connected, then the Lie algebra functor establishes a bijective correspondence between Lie group homomorphisms {{math|''G→H''}} and Lie algebra homomorphisms {{math|'''L'''(''G'')→'''L'''(''H'')}}.-->

上記の普遍被覆群は{{仮リンク|指数写像|en|exponential map}}(exponential map)によりリー代数の像として構成することができる。さらに、一般的には、リー代数は恒等元の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]に[[同相]]である。しかし、大域的には、リー群がコンパクトであれば指数写像は[[単射]]ではなく、リー群が連結でなく、[[単連結空間|単連結]]でない、もしくは[[コンパクト空間|コンパクト]]であれば、指数写像は[[全射]]でないかもしれない。

リー代数が無限次元であれば、結果はより微妙なものとなる。多くの例では、指数写像は局所[[同相]]ですらない（例えば、{{math|Diff('''S'''<sup>1</sup>)}} では、{{math|exp}} の像の中にないような恒等元に、どのようにでも近くなる微分同相写像を見つけることができる）。さらに、無限次元リー代数には、どの群のリー代数でもないリー代数が存在する。<!---The universal cover group above can be constructed as the image of the Lie algebra under the [[exponential map]].  More generally, we have that the Lie algebra is [[homeomorphic]] to a [[neighborhood (mathematics)|neighborhood]] of the identity.  But globally, if the Lie group is compact, the exponential will not be [[injective]], and if the Lie group is not connected, [[simply connected]] or [[compact space|compact]], the exponential map need not be [[surjective]].

If the Lie algebra is infinite-dimensional, the issue is more subtle.  In many instances, the exponential map is not even locally a [[homeomorphism]] (for example, in Diff('''S'''<sup>1</sup>), one may find diffeomorphisms arbitrarily close to the identity that are not in the image of exp).  Furthermore, some infinite-dimensional Lie algebras are not the Lie algebra of any group.-->

リー代数とリー群の間の対応はいくつかの方法が使われる。方法には、{{仮リンク|単純リー群の表|label=リー群の分類|en|list of simple Lie groups}}({{en|classification of Lie groups}}) や、[[リー群の表現|リー群の表現論]]の方法がある。リー代数の全ての表現は、一意に対応する連結で単連結なリー群の表現にリフトされ、逆に、全てのリー群の表現は、そのリー群のリー代数の表現を誘導する。表現は 1 対 1 対応ではない。従って、リー代数の表現を理解することは、群の表現の問題に帰着される。

分類のためには、与えられたリー代数をもつ任意の連結リー群が離散部分群である中心を mod として、普遍被覆に同型であることを示すことができる。従って、リー群を分類することは、一度リー代数の分類ができると、単純に{{仮リンク|中心 (代数)|label=中心|en|Center (algebra)}} ({{en|center}}) である離散部分群を数える問題となる（[[半単純リー代数|半単純]] ({{en|semisimple}}) な場合は、[[エリ・カルタン]]により解かれている）。
<!---The correspondence between Lie algebras and Lie groups is used in several ways, including in the [[list of simple Lie groups|classification of Lie groups]] and the related matter of the [[representation theory]] of Lie groups.  Every representation of a Lie algebra lifts uniquely to a representation of the corresponding connected, simply connected Lie group, and conversely every representation of any Lie group induces a representation of the group's Lie algebra; the representations are in one to one correspondence.  Therefore, knowing the representations of a Lie algebra settles the question of representations of the group.

As for classification, it can be shown that any connected Lie group with a given Lie algebra is isomorphic to the universal cover mod a discrete central subgroup.  So classifying Lie groups becomes simply a matter of counting the discrete subgroups of the [[Center (algebra)|center]], once the classification of Lie algebras is known (solved by [[Élie Cartan|Cartan]] et al. in the [[Semisimple Lie algebra|semisimple]] case).-->

== カテゴリ論的な定義 ==

[[圏論|カテゴリ論]]のことばを使うと、'''リー代数'''のカテゴリは、標数が 2 ではない体 k 上の{{仮リンク|ベクトル空間のカテゴリ|en|category of vector spaces}}(category of vector spaces)である '''Vec'''<sub>k</sub> の中の対象 A と[[射 (圏論)|射]] [., .]: A ⊗ A → A として定義される。ここに ⊗ は '''Vec'''<sub>k</sub> の次のように定義される[[モノイド圏|モノイド積]]を表す。

*<math>[\cdot, \cdot] \circ (\mathrm{id} + \tau_{A,A}) = 0</math>
*<math>[\cdot, \cdot] \circ ([\cdot, \cdot] \otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} + \sigma + \sigma^2) = 0</math>

ここに、τ (a ⊗ b) :=  b ⊗ a であり、σ は{{仮リンク|循環置換|en|cyclic permutation}}(cyclic permutation)プレイディング (id ⊗ τ<sub>A,A</sub>) ° (τ<sub>A,A</sub> ⊗ id) である。{{仮リンク|ペンローズ図式|label=図式|en|Penrose graphical notation}}(Diagrammatic Notation)にすると以下のようになる。

:<center>[[File:Liealgebra.png]]</center>
<!---== Category theoretic definition ==

Using the language of [[category theory]], a '''Lie algebra''' can be defined as an object ''A'' in '''Vec'''<sub>''k''</sub>, the [[category of vector spaces]] over a field ''k'' of characteristic not 2, together with a [[morphism]] [.,.]: ''A'' ⊗ ''A'' → ''A'', where ⊗ refers to the [[Monoidal category|monoidal product]] of '''Vec'''<sub>''k''</sub>, such that

*<math>[\cdot, \cdot] \circ (\mathrm{id} + \tau_{A,A}) = 0</math>
*<math>[\cdot, \cdot] \circ ([\cdot, \cdot] \otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} + \sigma + \sigma^2) = 0</math>

where τ (''a'' ⊗ ''b'') :=  ''b'' ⊗ ''a'' and σ is the [[cyclic permutation]] braiding (id ⊗ τ<sub>''A'',''A''</sub>) ° (τ<sub>''A'',''A''</sub> ⊗ id). In [[Diagrammatic Notation|diagrammatic form]]:

:<center>[[File:Liealgebra.png]]</center>-->

== 関連項目 ==
{{Col-begin}}
{{Col-1-of-2}}
* [[リー代数の随伴表現]]
<!---* [[Anyonic Lie algebra]]-->
* {{仮リンク|次数付き微分リー代数|en|Differential graded Lie algebra}}
* {{仮リンク|リー代数の指数|en|Index of a Lie algebra}}
* {{仮リンク|キリング形式|en|Killing form}}
* {{仮リンク|リー代数のコホモロジー|en|Lie algebra cohomology}}
* [[リー代数の表現]]
* {{仮リンク|双リー代数|en|Lie bialgebra}}
* {{仮リンク|余リー代数|en|Lie coalgebra}}
* {{仮リンク|素粒子物理と表現論|en|Particle physics and representation theory}}
* [[群論の用語]]

{{Col-2-of-2}}
* {{仮リンク|超リー代数|en|Lie superalgebra}}
* [[行列]]
* {{仮リンク|ポアソン代数|en|Poisson algebra}}
* {{仮リンク|量子群|en|Quantum groups}}
* {{仮リンク|モーヤルブラケット|label=モーヤル代数|en|Moyal bracket}}
* {{仮リンク|準フロベニウスリー代数|en|Quasi-Frobenius Lie algebra}}
* {{仮リンク|準リー代数|en|Quasi-Lie algebra}}
* {{仮リンク|制限付きリー代数|en|Restricted Lie algebra}}
<!--* [[Symmetric Lie algebra]]--><!-- missing article -->
{{col-end}}

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}
{{reflist|group="注"}}
== 参考文献 ==
* {{cite book|last=Beltita|first=Daniel|title=Smooth Homogeneous Structures in Operator Theory|publisher=CRC Press|year=2005|isbn=978-1-4200-3480-6|ref=harv}}
* {{cite book|last=Bourbaki|first=Nicolas|title=Lie Groups and Lie Algebras -- Chapters 1-3|publisher=Springer|year=1989|isbn=3-540-64242-0|ref=harv}}
* {{cite book|last=Hofman|first=Karl|last2=Morris|first2=Sidney|title=The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups|publisher=European Mathematical Society|year=2007|isbn=978-3-03719-032-6|ref=harv}}
* {{Cite book
|last      = Humphreys
|first     = James E.
|year      = 1972
|title     = [http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-90053-7 Introduction to Lie Algebras and Representation Theory]
|publisher = Springer-Verlag
|series    = Graduate Texts in Mathematics
|volume    = 9
|isbn      = 978-0-387-90053-7
|ref       = harv
}}
* {{Cite book
|last      = Jacobson
|first     = Nathan
|year      = 1962
|title     = [http://store.doverpublications.com/0486638324.html Lie algebra]
|publisher = Dover
|isbn      = 978-0-486-63832-4
|ref       = harv
}}
{{参照方法|date=2014年7月|section=1}}
* {{cite book|last=Erdmann|first=Karin|authorlink=:en:Karin Erdmann|last2=Wildon|first2=Mark|title=Introduction to Lie Algebras|edition=1st|publisher=Springer|year=2006|isbn=1-84628-040-0|ref=harv}}
* {{cite book|last=Hall|first=Brian C.|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|publisher=Springer|year=2003|isbn=0-387-40122-9|ref=harv}}
* {{cite journal|last=Boza|first=Luis|last2=Fedriani|first2=Eugenio M.|last3=Núñez|first3=Juan|title=A new method for classifying complex filiform Lie algebras|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=121|issue=2-3|pages=169–175|year=2001|ref=harv}}
* {{cite book|last=Kac|first=Victor G.|last2=''et al''.|title=Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras|url= http://www.math.mit.edu/~lesha/745lec|ref=harv}} math.mit.edu.
* {{cite book|last=O'Connor|first=J.J.|last2=Robertson|first2=E.F.|title=Biography of Sophus Lie|publisher=MacTutor History of Mathematics Archive|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Lie.html|ref=harv}} www-history.mcs.st-andrews.ac.uk.
* {{cite book|last=O'Connor|first=J.J.|last2=Robertson|first2=E.F.|title=Biography of Wilhelm Killing|publisher=MacTutor History of Mathematics Archive|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Killing.html|ref=harv}} www-history.mcs.st-andrews.ac.uk.
* {{cite book|last=Serre|first=Jean-Pierre|title=Lie Algebras and Lie Groups|edition=2nd|publisher=Springer|year=2006|isbn=3-540-55008-9|ref=harv}}
* {{cite book|last=Steeb|first=W.-H.|title=Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra|edition=2nd|publisher=World Scientific|year=2007|isbn=978-981-270-809-0|ref=harv}}
* {{cite book|last=Varadarajan|first=V.S. |title=Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations|edition=1st|publisher=Springer|year=2004|isbn=0-387-90969-9|ref=harv}}

{{DEFAULTSORT:りいたいすう}}
[[Category:リー群]]
[[Category:リー代数|*]]
[[Category:代数学]]
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