ポアソン多様体のソースを表示

'''ポアソン多様体'''（-たようたい、''Poisson Manifold''）

<math> M </math> を[[多様体]]とする。
また、<math> M </math> 上の <math> C^{\infty} </math> 級関数全体のなすベクトル空間を
<math> C^{\infty}(M) </math> と表すことにする。

<math> M </math> が'''ポアソン多様体'''であるとは、次の性質を満たす
写像<math> \{ \cdot, \cdot \} : C^{\infty}(M) \times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M) </math> 
が存在することをいう。

(1) <math> \{ \cdot,\cdot\} </math>は<math>\mathbb{R}</math>-[[双線形形式]]である。

(2) <math>\, \{ f,g \} = -\{ g,f \} \,</math> 

(3) <math>\, \{ \{ f,g \} , h\} + \{ \{ g,h \} , f\} + \{ \{ h,f \} , g\} = 0 \,</math>　:ヤコビ律

(4) <math>\, \{ f, gh \} = g\{ f,h \} + h\{ f,g \} \,</math>

このとき、写像<math> \{ \cdot, \cdot \} : C^{\infty}(M) \times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M) </math> を
<math> M </math> 上の'''ポアソン構造'''、もしくは'''[[ポアソン括弧]]'''と呼ぶ。


== 例 ==
<math>\, (M,\omega) \,</math> を[[シンプレクティック多様体]]とする。
このとき、<math> M </math>上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

<math>\, \{ f,g \} = \omega( X_{f}, X_{g}) \,</math>

ここで、<math>\, X_{f}, X_{g} \,</math> はそれぞれ <math>\, f,g \,</math> から定まる
[[ハミルトンベクトル場]]である。
従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。
しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

<math>(q_{1},\cdots,q_{n},p_{1},\cdots,p_{n})</math>を[[ダルブー座標]]とすると、
シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

<math> \{ f,g \} = 
\sum_{i=1}^{n}\left(
\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}
-\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}
\right)
</math>

と書ける。

== 関連項目 ==
[[幾何学的量子化]]

[[Category:幾何学|ほあそんたようたい]]
[[Category:数学に関する記事|ほあそんたようたい]]