ピタゴラスの定理のソースを表示

[[ファイル:Pythagoras theorem leonardo da vinci.png|thumb|250px| [[レオナルド・ダ・ヴィンチ]]によるピタゴラスの定理の証明。橙色のついた部分を90度回転し、緑色の部分は裏返して橙色に重ねる。]]

'''ピタゴラスの定理'''（ピタゴラスのていり、{{lang-en|Pythagorean theorem}}）は、[[直角三角形]]の3[[辺]]の長さの関係を表す[[等式]]である。'''三平方の定理'''（さんへいほうのていり）、'''勾股弦の定理'''（こうこげんのていり）とも呼ばれる。

== 概要 ==
[[平面]][[幾何学]]において[[直角三角形]]の[[斜辺]]の長さを ''c''、他の2辺の長さを ''a'', ''b'' とすると、 
:''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}}
が成り立つという[[定理]]である<ref>[[#大矢2001|大矢 2001]]</ref>。

「[[ピタゴラス]]が[[直角二等辺三角形]]のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスが[[発見]]したかどうかは分からない。[[バビロニア数学]]の[[プリンプトン322]]や[[古代エジプト]]<ref>{{cite web
|title = エジプトひもで古代文明に挑戦しよう
|author = 亀井喜久男
|url = http://www.ctk.ne.jp/~kamei-ki/egyptrope1.htm
|accessdate = 2008-03-03
}}</ref>などでもピタゴラス数について知られていたが定理を発見していたかどうかは定かではない。

== 証明 ==
この定理には数百通りもの異なる[[証明]]が知られている。ここにいくつかの代表的な証明を挙げる。

いずれも [[三角 (記号)#直角三角|△]]ABC を ∠C が[[直角]]とし、頂点 A, B, C の対辺の[[長さ]]をそれぞれ ''a'', ''b'', ''c'' とする。

=== 相似による証明 ===
[[ファイル:Pythagoras1.jpg|thumb|200px|相似を用いた証明]]
[[頂点]] C から斜辺 AB に下ろした[[垂直|垂線]]の足を H とする。△ABC, △ACH, △CBH は互いに[[図形の相似|相似]]である。よって △ABC と △ACH の相似比より
:<math>\text{AC}:\text{AH} = \text{AB}:\text{AC} \Longrightarrow \text{AH} = { \text{AC} \times \text{AC} \over \text{AB} } = {b^2 \over c}</math>
であり、同様に △ABC と △CBH の相似比より
:<math>\text{BH} = {a^2 \over c}</math>
である。したがって
:<math>c = \text{AB} = \text{AH} + \text{BH} = {b^2 \over c} + {a^2 \over c}</math>
であるから、両辺に<math>c</math> を掛けて
:<math>c^2=a^2+b^2</math>
を得る。

=== 正方形を用いた証明 ===
[[ファイル:Pythagoras2.jpg|thumb|150px|正方形を用いた証明]]
△ABC と[[合同]]な4個の三角形を図のように並べると、外側に一辺が ''a'' + ''b'' の[[正方形]]（以下「大正方形」）が、内側に一辺が ''c'' の正方形（以下「小正方形」）ができる。
:（大正方形の面積）=（小正方形の面積）+（直角三角形の面積）× 4
である。大正方形の[[面積]]は (''a'' + ''b''){{sup|2}}、小正方形の面積は ''c''{{sup|2}}</sup>、直角三角形4個の面積の合計は
:<math>{ab \over 2} \times 4 = 2ab</math>
である。これらを代入すると、
:<math>(a+b)^2=c^2+2ab</math>
整理して
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
を得る。
[[ファイル:Pythagoras-2a.gif|thumb|right|200px|幾何学的な証明]]
[[ファイル:Teorema de Pitágoras.Pappus1.svg|thumb|200px]]
[[ファイル:Pythagorean proof.png|thumb|200px]]
[[ファイル:Chinese pythagoras.jpg|thumb|『[[周髀算経]]』におけるピタゴラスの定理の証明（{{Lang-zh|句股冪合以成弦冪}}）]]

=== 内接円を用いた証明 ===
△ABC の面積 ''S'' は
:<math>S={ab \over 2}</math>　…(1)
また △ABC の[[内接円]]の[[半径]]を ''r'' とすると
:<math>c=(a-r)+(b-r)</math>
であり、''r'' について解くと
:<math>r={a+b-c \over 2}</math>　…(2)
となる。''S'' を ''r'' を用いて表すと
:<math>S={r(a+b+c) \over 2}</math>
これに (1), (2) を代入すると
:<math>{ab \over 2}={(a+b-c)(a+b+c) \over 4}</math>
これを整理すると
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
が得られる。

== ピタゴラス数 ==
''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}} を満たす[[自然数]]の組 (''a'', ''b'', ''c'') を'''ピタゴラス数'''という。特に、''a'', ''b'', ''c'' が互いに素であるピタゴラス数 (''a'', ''b'', ''c'') を'''原始的'''（げんしてき、primitive）、'''素'''、あるいは'''原始ピタゴラス数'''などという。全てのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数の正の整数倍により得られる。

ピタゴラス数 (''a'', ''b'', ''c'') が原始的であるためには、3つのうち2つが互いに素であることが必要十分である。

===性質===
自然数の組 (''a'', ''b'', ''c'') が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 ''m'', ''n''（''m'' と ''n'' は互いに素，''m'' > ''n'', ''m'' &minus; ''n'' は奇数）を取ると
:(''a'', ''b'', ''c'') = (''m''{{sup|2}} &minus; ''n''{{sup|2}}, 2''mn'', ''m''{{sup|2}} + ''n''{{sup|2}}) or (2''mn'', ''m''{{sup|2}} &minus; ''n''{{sup|2}}, ''m''{{sup|2}} + ''n''{{sup|2}})
であることが必要十分である。上記の (''m'', ''n'') は無数に存在し、2''mn'' は重複しないから、原始ピタゴラス数は無数に存在する。これにより原始ピタゴラス数を漏れ・重複なく見つけ出すことができる。

例えば
:(''m'', ''n'') = (2, 1) のとき (''a'', ''b'', ''c'') = (3, 4, 5)
:(''m'', ''n'') = (3, 2) のとき (''a'', ''b'', ''c'') = (5, 12, 13)
:(''m'', ''n'') = (4, 1) のとき (''a'', ''b'', ''c'') = (8, 15, 17)
である。

原始ピタゴラス数 (''a'', ''b'', ''c'') について、次のような性質も成り立つ。
*''a'' または ''b'' は 4 の倍数
*''a'' または ''b'' は 3 の倍数
*''a'' または ''b'' または ''c'' は 5 の倍数
また、一般のピタゴラス数 (''a'', ''b'', ''c'') に対して、<math>S=\frac{1}{2} ab</math>（直角三角形の面積）は平方数でない。

=== Jesmanowicz 予想 ===
1956年に Jesmanowicz が以下の予想を提出した。

(''a'', ''b'', ''c'') を原始ピタゴラス数、''n'' を自然数とする。''x'', ''y'', ''z'' が
:<math>(an)^x+(bn)^y=(cn)^z</math>
で自然数解を持つには、
:<math>x=y=z=2</math>
であることが必要である。

== 一般化 ==
=== 角の一般化 ===
[[余弦定理]]
:''c''{{sup|2}} = ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} &minus; 2''ab'' cos ''C''
はピタゴラスの定理を <math>C=\frac\pi2=90^\circ \Leftrightarrow \cos C=0</math> の場合として含む。

=== 指数の一般化 ===
指数 2 を一般化すると
:''a{{sup|n}}'' + ''b{{sup|n}}'' = ''c{{sup|n}}''
となる。''n'' = 2 の場合は自明でない (''abc'' ≠ 0) 整数解は実質原始ピタゴラス数であり、無数に存在するが、''n'' ≧ 3 の場合には自明でない整数解は存在しない（[[フェルマーの最終定理]]）。

=== 次元の一般化 ===
3次元空間内に平面があるとき、その閉領域 ''S'' の面積は、''yz'' 平面，''zx'' 平面，''xy'' 平面への射影の面積 ''S{{sub|x}}'', ''S{{sub|y}}'', ''S{{sub|z}}'' を用いて
:<math>S^2={S_x}^2+{S_y}^2+{S_z}^2</math>
と表される。これは高次元へ一般化できる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{Refbegin|2}}
*{{Cite book|和書
|author = [[出光英則]]
|title = ピタゴラスがくれたおくり物　ピタゴラスの定理
|year = 1997
|month = 8
|publisher = 国土社
|series = 数学ワンダーランド 7
|editor = [[銀林浩]]編
|isbn = 4-337-56207-9
|url = http://www.kokudosha.co.jp/search/info.php?isbn=9784337562073
|ref = 出光1997
}}
*{{Cite book|和書
|author = [[大矢真一]]
|title = ピタゴラスの定理
|year = 1952
|publisher = 東海書房
|ref = 大矢1952
}}
**{{Cite book|和書
|author = 大矢真一
|title = ピタゴラスの定理
|year = 1975
|publisher = 東海大学出版会
|series = 東海科学選書
|ref = 大矢1975
}}
**{{Cite book|和書
|author = 大矢真一
|title = ピタゴラスの定理
|year = 2001
|month = 8
|publisher = 東海大学出版会
|series = Tokai library
|isbn = 4-486-01558-4
|url = http://www.press.tokai.ac.jp/bookdetail.jsp?isbn_code=ISBN978-4-486-01558-1
|ref = 大矢2001
}}
*{{Cite book|和書
|author = [[ロバート・カプラン]]
|coauthors = [[エレン・カプラン]]
|others = [[水谷淳]]訳
|title = 数学の隠れたハーモニー　ピタゴラスの定理のすべて
|year = 2011
|month = 12
|publisher = ソフトバンククリエイティブ
|isbn = 978-4-7973-6467-5
|url = http://www.sbcr.jp/products/4797364675.html
|ref = カプラン＆カプラン2011}} - 原タイトル：''Hidden harmonies''。
*{{Cite book|和書
|author = [[ジョセフ・H・シルヴァーマン]]
|others = [[鈴木治郎]]訳
|title = はじめての数論　発見と証明の大航海　ピタゴラスの定理から楕円曲線まで
|year = 2001
|month = 8
|publisher = ピアソン・エデュケーション
|isbn = 4-89471-421-3
|ref = シルヴァーマン2001
}} - 原タイトル：''A friendly introduction to number theory''。(2nd ed.)
**{{Cite book|和書
|author = ジョセフ・H・シルヴァーマン
|others = 鈴木治郎訳
|title = はじめての数論　発見と証明の大航海　ピタゴラスの定理から楕円曲線まで
|year = 2007
|month = 4
|publisher = ピアソン・エデュケーション
|edition = 原著第3版
|isbn = 978-4-89471-492-2
|url = http://www.pej-hed.jp/washo/32.html
|ref = シルヴァーマン2007
}} - 原タイトル：''A friendly introduction to number theory''。(3rd ed.)
*{{Cite book|和書
|author = [[エリ・マオール]]
|others = [[伊理由美]]訳
|title = ピタゴラスの定理　4000年の歴史
|year = 2008
|month = 2
|publisher = 岩波書店
|isbn = 978-4-00-005878-0
|url = http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/9/0058780.html|ref=マオール2008
}} - 原タイトル：''The Pythagorean theorem''。
*{{Cite book|和書
|author = [[森下四郎]]
|title = ピタゴラスの定理100の証明法　幾何の散歩道
|year = 2006
|month = 1
|publisher = プレアデス出版
|isbn = 4-7687-0879-X
|ref = 森下2006
}} - 発売：[[現代数学社]]。
**{{Cite book|和書
|author = 森下四郎
|title = ピタゴラスの定理100の証明法　幾何の散歩道
|edition = 改訂版
|year = 2010
|month = 8
|publisher = プレアデス出版
|isbn = 978-4-903814-36-0
|url = http://www.pleiades-publishing.co.jp/kikan/shizen.htm#22
|ref = 森下2010a
}}
*{{Cite book|和書
|author = 森下四郎
|title = ピタゴラスの定理をめぐる2つの謎　三平方の定理の謎
|year = 2010
|month = 12
|publisher = プレアデス出版
|isbn = 978-4-903814-39-1
|url = http://www.pleiades-publishing.co.jp/kikan/shizen.htm#25|ref=森下2010b
}}
{{Refend}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Pythagorean theorem}}
*[[計量テンソル]]
*[[ピタゴラス数]]
*[[プリンプトン322]]
*[[ユークリッド原論]]

== 外部リンク ==
*{{Yahoo!百科事典|三平方の定理|author=[[柴田敏男]]}}
*{{Kotobank|ピタゴラスの定理|2=百科事典マイペディア}}
*{{MathWorld|title=Pythagorean Theorem|urlname=PythagoreanTheorem}}

{{DEFAULTSORT:ひたこらすのていり}}
[[Category:定理]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]

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