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'''ビリアル定理'''(Virial theorem)とは、多粒子系(N粒子系)において、[[粒子]]が動き得る範囲が[[有限]]である場合に、[[古典力学]]、[[量子力学]]系のいずれにおいても成立する以下の関係式のことである。

:<math> \left\langle K \right\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^N { \mathbf{p}_i^2 \over {2 m_i} } \right\rangle = \sum_{i=1}^N \left\langle { \mathbf{p}_i^2 \over {2 m_i} } \right\rangle  = -{1 \over 2} \sum_{i=1}^N \left\langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle </math>

Kは[[系]]全体の[[運動エネルギー]]
:<math> K = \sum_{i=1}^N { \mathbf{p}_i^2 \over {2 m_i} } </math>
で、'''p'''<SUB>i</SUB>は粒子iの[[運動量]]、'''r'''<SUB>i</SUB>は粒子iの[[位置]]座標、'''F'''<SUB>i</SUB>は粒子iに働く[[力]]、m<SUB>i</SUB>は粒子iの[[質量]]である。<math> \left\langle \cdots \right\rangle </math>は[[物理量]]の平均操作(一般に長時間平均)を意味する。

粒子iに働く力'''F'''<SUB>i</SUB>が、系全体の[[ポテンシャルエネルギー]]<math> V = V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N) </math>を用いて<math> \mathbf{F}_i = - \nabla_{\mathbf{r}_i} V (\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_i, \cdots, \mathbf{r}_N) </math>と表せるならば、ビリアル定理は、

:<math> \left\langle K \right\rangle = {1 \over 2} \sum_{i=1}^N \left\langle \nabla_{\mathbf{r}_i} V \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle </math>

という形で表せる。

ポテンシャルエネルギーVが[[中心力]][[ポテンシャル]]で、粒子間の距離のn+1乗(r<SUP>n+1</SUP>)に比例する形、すなわち、

:<math> V(\mathbf{r}) = a\mathbf{r}^{n+1}</math>

という形で表せるならば、

:<math> \left\langle K \right\rangle = {n+1 \over 2} \left\langle V \right\rangle </math>

となる。中心力が[[電磁気力]]や[[重力]]の場合を考えると、n = -2であるから、

:<math> \left\langle K \right\rangle = -{1 \over 2}\left\langle V \right\rangle </math>

となる。ビリアル定理から次のことが言える。

*系全体の運動エネルギーKの時間平均は、系全体のポテンシャルエネルギーVの時間平均の-1/2に等しい。

また、同等のこととして、

*系全体のポテンシャルエネルギーVの時間平均は、系全体の全エネルギーの時間平均に等しい。

*系全体の運動エネルギーKの時間平均と系全体の全エネルギーの時間平均を加えた物は0。

ということが示される。

ビリアル定理という名前は'''ビリアル'''([[ラテン語]]で「力」の意)と呼ばれる値に由来している。ビリアルは<math>G = \sum_i \mathbf{r}_i  \cdot \mathbf{p}_i </math>によって定義される値で、[[1870年]][[クラウジウス]]が命名した。



==証明==
[[古典力学]]系の場合のビリアル定理の証明。ビリアル

:<math>G = \sum_i \mathbf{r}_i  \cdot \mathbf{p}_i </math>

を[[時間]]で[[微分]]すると、

:<math>{{d G} \over {dt}} = \sum_i {{d \mathbf{r}_i} \over {dt}}  \cdot \mathbf{p}_i 
+ \sum_i \mathbf{r}_i \cdot {{d \mathbf{p}_i} \over {dt}}
= \sum_i {\mathbf{p}_i \over m_i} \cdot \mathbf{p}_i + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i
= 2K + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i
</math>

つまり、
:<math>{{d G} \over {dt}} = 2K + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i </math>。

この式の両辺を0から時間tの範囲で[[積分]]してtで割り、<math>t \to \infty</math> の[[極限]]をとって長時間平均する。すると、粒子が動き得る範囲は有限なのでGも有限だから、左辺は

:<math> \lim_{t \to \infty} {{1 \over t} \int_{0}^{t} {{d G} \over {dt}}} dt
= \lim_{t \to \infty} {G(t)-G(0) \over t}
=0</math>。

したがって、

:<math> 0=2 \left\langle K \right\rangle + \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle</math>

つまり、ビリアル定理

:<math> \left\langle K \right\rangle = -{1 \over 2} \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle</math>

を得る。
次に、ポテンシャルエネルギーVが[[中心力]]ポテンシャルで、粒子間の距離のn+1乗(r<SUP>n+1</SUP>)に比例する形、すなわち、

:<math> V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N) 
= \sum_{i<j} a |\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n+1} </math>

のとき
（和は <math> i=1, 2, \cdot, N</math>、
<math> j=1, 2, \cdot, N</math>、<math> i < j</math>の2重の和）、
粒子iに働く力
<math> \mathbf{F}_i</math>
は，

:<math> \mathbf{F}_i 
= -\nabla_{\mathbf{r}_i} V
= -a (n+1) \sum_{j \ne i}  (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}) 
|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n-1} 
= \sum_{j \ne i} \mathbf{F}_{ij}
</math>。

ここで、

:<math> \mathbf{F}_{ij}= - a (n+1) (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j})
|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n-1}
</math> 

は、粒子jから粒子iに働く力である。これを、ビリアル定理の右辺に代入すると、

:<math> -{1 \over 2} \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle
= -{1 \over 2} \left\langle \sum_{i \ne j} 
\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ij} \right\rangle
</math>。

和は <math> i=1, 2, \cdot, N</math>、
<math> j=1, 2, \cdot, N</math>、<math> i \ne j</math>の2重の和である。
この和を<math> i > j</math>と<math> i < j</math>に分け，

:<math>
\sum_{i \ne j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}
= \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}
+ \sum_{i < j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}
</math>

第2項で添え字を入れ替えて
<math> \mathbf{F}_{ji}=-\mathbf{F}_{ij} </math>
に注意すると、

<math>
= \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}
+ \sum_{j < i} \mathbf{r}_j \cdot \mathbf{F}_{ij}
= \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}
- \sum_{j < i} \mathbf{r}_j \cdot \mathbf{F}_{ji}
= \sum_{i > j} (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) \cdot \mathbf{F}_{ji}
= -(n+1) V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N)
</math>。

したがって、

:<math> 
\left\langle K \right\rangle =
{n+1 \over 2} \left\langle V \right\rangle
</math>。

==応用==
ビリアル定理を[[太陽系]]や[[銀河]]を始めとする、非常に複雑な物理体系（重力[[多体問題|多体系]]）に適用することにより、計算結果を簡素化することができるので非常に便利である。

また、ビリアル定理が成り立つ場合、次式から系の[[圧力]]を求めることができる。

:<math> P = {1 \over {3 V}} (2 \left\langle K \right\rangle + \sum_{i=1}^N \left\langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle ) </math>

ここで、Pは[[圧力]]、Vは系の[[体積]]である。[[気体分子運動論]]では上式から圧力を求める。

==一般化==
一般化されたビリアル定理を、'''超ビリアル定理'''(Hypervirial theorem)と言う。座標'''r'''と運動量'''P'''（互いに[[共役]]である）を考え、この2つの量を変数とした[[関数]]<math> W(\mathbf{r},\mathbf{P}) </math>を考える。この関数は、冒頭での粒子系と同様な[[境界条件]]の基で任意に選べるとする。[[ハミルトニアン]]をHとして、[[ポアソン括弧]]（詳細は[[ハミルトン力学]]を参照）の時間平均、

:<math> \left\langle [W,H] \right\rangle = 0 </math>

となるのが古典的な超ビリアル定理である。量子力学では、上記[[交換関係]]の[[基底状態]]の平均がゼロとなる。

:<math> \left\langle 0|[W,H]|0 \right\rangle = 0 </math>

これが量子力学的な超ビリアル定理である。ここで、<math>W</math>として上記のビリアルをとる。すなわち、

:<math> W = \mathbf{r} \cdot \mathbf{P} </math>

とすれば、通常のビリアル定理が導かれる。 

==関連記事==
*[[統計力学]]
*[[物性物理学]]
*[[多体問題]]

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[[Category:天体物理学]]
[[Category:定理|ひりある]]