ヒルベルト空間のソースを表示

[[数学]]における'''ヒルベルト空間'''（ヒルベルトくうかん、{{lang-en-short|''Hilbert space''}}）は、[[ダフィット・ヒルベルト]]にその名を因む、[[ユークリッド空間]]の概念を一般化したものである。これにより、二次元の[[平面|ユークリッド平面]]や三次元のユークリッド空間における[[線型代数学]]や[[微分積分学]]の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、[[内積]]の構造を備えた[[ベクトル空間|抽象ベクトル空間]]（[[内積空間]]）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに[[完備距離空間]]の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。

ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の[[函数空間]]として、[[数学]]、[[物理学]]、[[工学]]などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間に[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]、[[エルハルト・シュミット|シュミット]]、[[リース・フリジェシュ|リース]]らによって始められた。ヒルベルト空間の概念は、[[偏微分方程式]]論、[[量子力学の数学的基礎|量子力学]]、[[フーリエ解析]]（[[信号処理]]や熱伝導などへの応用も含む）、[[熱力学]]の研究の数学的基礎を成す[[エルゴード理論]]などの理論において欠くべからざる道具になっている。これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、[[ジョン・フォン・ノイマン|フォン・ノイマン]]である。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、[[函数解析学]]の実りある時代のさきがけとなった。古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、[[自乗可積分函数]]の空間、[[数列空間|自乗総和可能数列の空間]]、[[超函数]]からなる[[ソボレフ空間]]、[[正則函数]]の成す[[ハーディ空間]]などが挙げられる。

ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、[[ピタゴラスの定理|三平方の定理]]や[[中線定理]]（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。より深いところでは、部分空間への直交射影（例えば、三角形に対してその「高さを潰す」操作の類似対応物）は、ヒルベルト空間論における最適化問題やその周辺で重要である。ヒルベルト空間の各元は、平面上の点がそのデカルト座標（直交座標）によって特定できるのと同様に、[[座標軸]]の集合（[[正規直交基底]]）に関する座標によって一意的に特定することができる。このことは、座標軸の集合が[[可算無限]]であるときには、ヒルベルト空間を[[ルベーグ空間|自乗総和可能]]な[[無限列]]の集合と看做すことも有用であることを意味する。ヒルベルト空間上の[[線型作用素]]は、ほぼ具体的な対象として扱うことができる。条件がよければ、空間を互いに直交するいくつかの異なる要素に分解してやると、線型作用素はそれぞれの要素の上では単に拡大縮小するだけの変換になる（これはまさに線型作用素の[[スペクトル論|スペクトル]]を調べるということである）。

== 定義と導入 ==
=== 動機付けとなる例 ===
最もよく知られたヒルベルト空間の例の一つは、三次元の[[ユークリッドベクトル|空間ベクトル]]全体の成す[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>3</sup> に[[点乗積]]を考えたものであろう。二つのベクトル '''x''', '''y''' の点乗積 '''x'''&thinsp;·&thinsp;'''y''' は実数を与える。'''x''' と '''y''' が[[直交座標系|デカルト座標系]]であらわされているときには、点乗積は
:<math>(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3) := x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math>
として定まる。この点乗積は、条件
# [[対称性]]: '''x'''&thinsp;·&thinsp;'''y'''&nbsp;=&nbsp;'''y'''&thinsp;·&thinsp;'''x'''.
# 第一引数に関する[[線型性]]:  (''a'''''x'''<sub>1</sub> + ''b'''''x'''<sub>2</sub>)&thinsp;·&thinsp;'''y''' = ''a'''''x'''<sub>1</sub>&thinsp;·&thinsp;'''y''' + ''b'''''x'''<sub>2</sub>&thinsp;·&thinsp;'''y''' （''a'', ''b'' は任意のスカラー、'''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, '''y''' は任意のベクトル）
# [[定符号双線型形式|正定値性]]: 任意のベクトル '''x''' に対して '''x'''&thinsp;·&thinsp;'''x'''&nbsp;≥&nbsp;0, 等号成立は '''x'''&nbsp;=&nbsp;0 [[必要十分条件|のとき、かつそのときに限る]]。
を満足する。

この点乗積のように、上記三つの性質を満足するベクトルの[[二項演算]]を（実）[[内積]]と呼び、そのような内積を備えた[[ベクトル空間]]は（実）[[内積空間]]と呼ばれる。任意の有限次元内積空間は、ヒルベルト空間でもある。ユークリッド幾何学に関わる点乗積の基本的な特徴というのは、ベクトルの長さ（[[ノルム]]）&#x2016;''x''&#x2016; と二つのベクトル '''x''', '''y''' の間の角度 θ の両方が
:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta</math>
なる式が成立するという意味で点乗積と関連付けられることである。
<!--[[Image:Completeness in Hilbert space.png|thumb|right|Completeness means that if a particle moves along the broken path (in blue) travelling a finite total distance, then the particle has a [[Well defined|well-defined]] net displacement (in orange).]]-->
ユークリッド空間における[[多変数微分積分学]]は[[極限]]が計算できること、および極限の存在を結論付ける有用な判定法を持つことに支えられている。'''R'''<sup>3</sup> のベクトルを項とする[[級数]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n</math>
は、そのノルムの和（これは実数を項とする通常の級数）が
:<math>\sum_{k=0}^\infty \|\mathbf{x}_k\| < \infty</math>
なる条件を満たすとき、[[絶対収斂]]するという<ref>{{harvnb|Marsden|1974|loc=§2.8}}</ref>。スカラー項級数の場合と全く同じく、絶対収斂するベクトル項級数は
:<math>\left\|\mathbf{L}-\sum_{k=0}^N\mathbf{x}_k\right\|\to 0\quad\text{as }N\to\infty</math>
なる意味で、このユークリッド空間の適当な極限ベクトル '''L''' に収斂する。このような性質（絶対収斂級数は通常の意味でも収斂する）は、ユークリッド空間の'''完備性''' {{lang|en|(''completeness'')}} として表される。

=== 定義 ===
''H'' が'''ヒルベルト空間'''であるとは、''H'' は[[実数|実]]または[[複素数|複素]][[内積空間]]であって、さらに内積によって誘導される距離函数に関して[[完備距離空間]]をなすことを言う<ref name="General">この節における数学的な題材は、{{Harvtxt|Dieudonné|1960}}, {{Harvtxt|Hewitt|Stromberg|1965}}, {{Harvtxt|Reed|Simon|1980}}, {{Harvtxt|Rudin|1980}} など、およそまともな函数解析学の教科書を見れば載っている。</ref>。ここで、''H'' が複素内積空間であるというのは、''H'' は複素線型空間であって、その上に内積、即ち ''H'' の元の対 ''x'', ''y'' に複素数 &lang;''x'',''y''&rang; を対応させる写像であって、条件
# &lang;''y'',''x''&rang; は &lang;''x'',''y''&rang; の[[複素共軛]]である：<div style="margin: 1ex 2em;"><math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.</math></div>
# &lang;''x'',''y''&rang; は第一引数に関して[[線型写像|線型]]である<ref>第二引数に関して線型であると約束する場合もある。</ref>： 任意の複素数 ''a'', ''b'' に対して<div style="margin: 1ex 2em;"><math>\langle ax_1+bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle.</math>
# 内積 &lang;•,•&rang; は[[定符号双線型形式|正定値]]である：<div style="margin: 1ex 2em;"><math>\langle x,x\rangle \ge 0</math></div>かつ等号成立は ''x''&nbsp;=&nbsp;0 と同値。
を満たすものが存在することをいう。条件の 1 と 2 を併せると、複素内積は第二引数に関して反線型 {{lang|en|(antilinear)}} となることが従う。即ち、
:<math>\langle x, ay_1+by_2\rangle = \bar{a}\langle x, y_1\rangle + \bar{b}\langle x, y_2\rangle</math>
が成り立つ。実内積空間も同様に定められ（''H'' が実線型空間であることと、内積が実数値であることとが違うだけである）、この場合の内積は双線型（各引数について線型）になる。

内積 &lang;•,•&rang; によって定義される[[ノルム]]
:<math>\|x\| := \sqrt{\langle x,x \rangle}</math>
は実数値函数であり、このノルムを用いて ''H'' の二点 ''x'', ''y'' 間の距離が
:<math>d(x,y):=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}</math>
と定められる。これが距離であるというのは、(1)「''x'' と ''y'' に関して対称」で、(2)「''x'' と ''x'' 自身との距離は 0 に等しく、かつそれ以外のときは ''x'' と ''y'' との距離は必ず正」で、(3)「[[三角不等式]] 
:<math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)</math>
を満たす、即ち三角形 ''xyz'' の一辺の長さは他の二辺の長さの和を超えない」という三性質を満たすことを意味する。
<!--[[File:Triangle inequality in a metric space.svg|300px|center]]-->
三つ目の性質は、突き詰めればより基本的な[[コーシー・シュヴァルツの不等式]]
:<math>|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|</math>
（ただし等号成立は ''x'', ''y'' の[[線型独立性]]と同値）からの帰結である。

このようにして定義される距離函数に関して、任意の内積空間は[[距離空間]]となる。内積空間のことを'''前ヒルベルト空間'''と呼ぶこともある<ref>{{harvnb|Dieudonné|1960|loc=§6.2}}</ref>。距離空間として[[完備距離空間|完備]]であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。完備性は、''H'' 内の列に対する[[コーシーの判定法]]の形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 ''H'' が完備となるのは、任意の[[コーシー列]]がノルムに関する意味で ''H'' 内の元に収斂することである。完備性は、次のような条件
: ベクトル項級数 &sum;{{su|b=''k''{{=}}0|p=&infin;}}&thinsp; ''u''<sub>''k''</sub> が<div style="margin: 1ex 2em;"><math>\sum_{k=0}^\infty\|u_k\| < \infty</math></div>なる意味で絶対収斂するならば、もとの級数は（部分和が ''H'' の元に収斂するという意味で） ''H'' において収斂する。
によっても特徴付けることができる。

完備なノルム空間であるという点で、定義によりヒルベルト空間は[[バナッハ空間]]でもある。これらは[[位相線型空間]]であり、[[開集合]]や[[閉集合]]といった[[位相空間論|位相的概念]]を定めることができる。特に重要になるのが、ヒルベルト空間の閉[[部分線型空間|部分空間]]の概念である。完備距離空間の閉部分集合は（そこへ距離を制限すれば）それ自身完備距離空間となるから、ヒルベルト空間の閉部分空間は（そこへ内積を制限するとき）それ自身ヒルベルト空間をなす。

=== もう少し自明でない例 ===
複素数を項とする[[数列|無限数列]] '''z'''&nbsp;=&nbsp;(''z''<sub>''1''</sub>, ''z''<sub>2</sub>, …) で[[級数]]
:<math>\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2</math>
が[[収斂級数|収斂]]するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す[[数列空間]]を ℓ<sup>2</sup> で表す。ℓ<sup>2</sup> 上の内積は[[エルミート積]]として
:<math>\langle \mathbf{z},\mathbf{w}\rangle = \sum_{n=1}^\infty z_n\bar{w}_n</math>
で定義される。この右辺の級数が収斂することはコーシー・シュヴァルツの不等式からの帰結である。

空間 ℓ<sup>2</sup> の完備性は「ℓ<sup>2</sup> の元からなる級数が（ノルムの意味で）絶対収斂するならば必ず、その級数が ℓ<sup>2</sup> の何らかの元に収斂する」ことを示せば言える。このことの証明は[[解析学]]の初歩であり、この空間の元からなる級数は複素数（あるいは有限次元ベクトル空間のベクトル）からなる級数と同程度容易に扱うことができる<ref>{{harvnb|Dieudonné|1960}}</ref>。

== 歴史 ==
[[Image:Hilbert.jpg|thumb|right|[[ダフィット・ヒルベルト]]]]
ヒルベルト空間が開発される以前にも、数学や物理学においてユークリッド空間を一般化する別な概念が知られていた。特に、19世紀の終わりに掛けていくつかの流れの中から[[ベクトル空間|抽象線型空間]]の概念が獲得される<ref>[[オーグスト・フェルディナント・メビウス|メビウス]]の後押しを受けた[[ヘルマン・グラスマン|グラスマン]]の手によるところが大きい {{harv|Boyer|Merzbach|1991|pp=584–586}}。抽象線型空間の現代的にきちんとした公理的取り扱いは、1888年の[[ジゼッペ・ペアノ|ペアノ]]が最初である ({{harvnb|Grattan-Guinness|2000|loc=§5.2.2}}; {{harvnb|O'Connor|Robertson|1996}})。</ref>。これは、その元同士の加法と（[[実数]]や[[複素数]]のような）スカラーによる乗法とを備えた空間のことを指すのであって、必ずしも物理的な系における運動量や位置といった[[幾何ベクトル|「幾何学的な」ベクトル]]をその元が同一視される必要はないという性質のものである。20世紀に入ると、数学者たちは新たな対象を扱うようになり、特に[[数列]]の空間（[[級数]]論も含む）や函数の空間<ref>ヒルベルト空間の詳しい歴史は {{harvnb|Bourbaki|1987}} に扱われている。</ref> は自然に線型空間と看做すことができる。実際に、函数の場合なら、函数同士の和や定数をスカラーとする乗法が定義できて、それらの演算は空間ベクトルの加法とスカラー倍が従うのと同じ代数法則に従う。

20世紀の最初の10年間で、ヒルベルト空間の導入に繋がる展開が同時並行的に現れた。その一つは、[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]と[[エルハルト・シュミット|シュミット]]の[[積分方程式]]論の研究過程で見出された<ref>{{harvnb|Schmidt|1908}}</ref>。区間 &#x5b;''a'',''b''&#x5d; 上の二つの[[自乗可積分]]な実数値函数 ''f'', ''g'' は「内積」
:<math>\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx</math>
を持ち、これがよく知られたユークリッド空間の点乗積の性質の多くを有していた。これにより特に、函数からなる[[正規直交系]]の概念が意味を持つようになる。シュミットは、この内積と通常の点乗積との類似性として、
:<math>f(x) \mapsto \int_a^b K(x,y) f(y)\, dy</math>
（ただし、''K'' は ''x'', ''y'' に関して対称）なる形の作用素に対して[[スペクトル分解]]の類似物を示した。得られる[[固有函数]]展開は函数 ''K'' を
:<math>K(x,y) = \sum_n \lambda_n\varphi_n(x)\varphi_n(y)\,</math>
なる形の級数として表す。ただし、函数系 φ<sub>''n''</sub> は、''n'' &ne; ''m'' なるとき常に &lang;φ<sub>''n''</sub>,φ<sub>''m''</sub>&rang; = 0 を満たすという意味で、直交系を成す。この級数の個々の項は、基本積解 (elementary product solution) と呼ばれることもある。しかし、この固有函数展開には、適当な意味で自乗可積分函数に収斂するものとそうでないものがある。収斂を保証するには完備性（系の完全性）が不可欠なのである<ref>{{harvnb|Titchmarsh|1946|loc=§IX.1}}</ref>。

いま一つは、[[アンリ・ルベーグ|ルベーグ]]が[[リーマン積分]]に替わるものとして1904年に導入した[[ルベーグ積分]]である<ref>{{harvnb|Lebesgue|1904}}。積分論の歴史の詳細は {{harvtxt|Bourbaki|1987}} と {{harvtxt|Saks|2005}} にある。</ref>。ルベーグ積分は、より広範なクラスの函数で積分を定義することを可能にした。1907年に、[[リース・フリジェシュ|リース]]と[[エルンスト・シギスムント・フィッシャー|フィッシャー]]はそれぞれ独立にルベーグ自乗可積分函数全体の成す空間 ''L''<sup>2</sup> が[[完備距離空間]]であることを示した<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987}}.</ref>。このような幾何学的議論と系の完全性の議論が合わさった帰結として、19世紀に得られた[[ジョゼフ・フーリエ|フーリエ]]、[[フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセル|ベッセル]]、{{仮リンク|パーセヴァル|en|Marc-Antoine Parseval}}らの[[三角級数]]についての成果を、これらのより一般の空間へ容易に持ち込むことができた。そうて得られした幾何学的かつ解析学的な仕組みは今日ではふつう[[リース・フィッシャーの定理]]として知られる<ref>{{harvnb|Dunford|Schwartz|1958|loc=§IV.16}}</ref>。

更なる基本的結果が20世紀の初め頃に証明されていく。例えば、[[リースの表現定理]]は1907年に[[モーリス・フレシェ|フレシェ]]と[[リース・フリジェシュ|リース]]がそれぞれ独立に示した<ref>{{harvtxt|Fréchet|1907}} と {{harvtxt|Riesz|1907}} の結果を併せて {{harvtxt|Dunford|Schwartz|1958|loc=§IV.16}} は「L<sup>2</sup>[0,1] 上の任意の線型汎函数は積分で表される」と書いている。「ヒルベルト空間の双対がもとの空間と同一視される」という一般な形の主張は {{harvtxt|Riesz|1934}} で述べられている。</ref> [[ジョン・フォン・ノイマン|フォン・ノイマン]]は自身の非有界[[エルミート作用素]]の研究において「'''抽象ヒルベルト空間'''」という用語を創作した<ref>{{Harvnb|von Neumann|1929}}.</ref>。他の[[ヘルマン・ワイル|ワイル]]や[[ノーバート・ウィーナー|ウィーナー]]のような数学者は（しばしば物理学的な興味を動機として）既に特定のヒルベルト空間については極めて詳細な研究を行っていたのだけれども、一般のヒルベルト空間をきちんと、しかも公理的に取り扱ったのはフォン・ノイマンが最初である<ref>{{harvnb|Kline|1972|p=1092}}</ref>。後にフォン・ノイマンは、量子力学の基礎付けに関する金字塔的研究<ref>{{Harvnb|Hilbert|Nordheim|von Neumann|1927}}.</ref>においてこのヒルベルト空間の概念を用いており、[[ユージン・ウィグナー|ウィグナー]]へと続いていく。「ヒルベルト空間」という呼称は瞬く間に他へ広まり、例えばワイルは自身の量子力学と群論の教科書<ref name="Weyl31">{{Harvnb|Weyl|1931}}.</ref>で用いている。

ヒルベルト空間の概念の重要性は、それが最も適切な[[量子力学の数学的基礎]]の提供を実現したことで強く認識されるようになった<ref>{{harvnb|Prugovečki|1981|pp=1–10}}.</ref>。簡単に言えば、量子力学系の状態はある種のヒルベルト空間におけるベクトルであり、可観測量はその空間上の[[エルミート作用素]]であり、系の[[対称性 (物理学)|対称性]]は[[ユニタリ作用素]]であり、[[量子測定|測定]]は[[直交射影]]である。量子力学的対称性とユニタリ作用素との間の関係は、1928年のワイル<ref name="Weyl31" />に始まる[[群 (数学)|群]]の[[ユニタリ表現|ユニタリ]][[群の表現論|表現論]]の発展の原動力となった。他方、1930年代の初め頃には、古典的な[[力学系]]のある種の性質が、[[エルゴード理論]]の枠組みのもとでヒルベルト空間を用いた方法で調べられるようになり、明らかにされた<ref name="von Neumann 1932">{{harvnb|von Neumann|1932}}</ref>。

量子力学における[[可観測量]]の代数は、[[ヴェルナー・ハイゼンベルグ|ハイゼンベルグ]]の[[行列力学]]による量子論の定式化に従って、自然に或るヒルベルト空間上で定義される作用素環となる。1930年代のうちにフォン・ノイマンがヒルベルト空間上の作用素の成す[[環 (数学)|環]]としての[[作用素代数|作用素環]]を調べ始め、フォン・ノイマンやその時代の人々が研究した種類の作用素環は、今日では[[フォン・ノイマン環]]と呼ばれている。1940年代には、[[イズライル・ゲルファント|ゲルファント]]、{{仮リンク|マーク・ナイマーク|en|Mark Naimark|label=ナイマーク}}、{{仮リンク|アーヴィング・ジーゲル|en|Irving Segal|label=ジーゲル}}らが[[C*代数| ''C''<sup>&lowast;</sup>-環]]と呼ばれる種類の作用素環の定義を与えた。これはヒルベルト空間の基盤となることはない一方で、それまで知られていた作用素環のもつ有用な特徴が当てはまる。特に、存在する殆どのヒルベルト空間論の根底にある、自己随伴作用素のスペクトル定理が ''C''<sup>&lowast;</sup>-環に対して一般化された。これらの手法は今や抽象調和解析や表現論において基本となっている。

== 例 ==
=== ルベーグ空間 ===
{{Main|ルベーグ空間}}

ルベーグ空間は[[測度空間]] (''X'', ''M'', μ) （''X'' は集合で、''M'' は ''X'' の部分集合からなる[[完全加法族]]、μ は ''M'' 上の[[完全加法的測度]]）に付随する[[函数空間]]である。''L''<sup>2</sup>(''X'',μ) を、''X'' 上の複素数値可測函数で、その[[絶対値]]の平方の[[ルベーグ積分]]が有限となるようなもの全体の成す空間とする。即ち、''L''<sup>2</sup>(''X'',μ) に属する函数 ''f'' は必ず
:<math> \int_X |f|^2 d \mu  < \infty</math>
を満たす。ただし、[[零集合|測度零の集合]]の上でだけ異なる（[[ほとんど (数学)|殆ど至る所一致する]]）ような函数は全て同一視するものとする。

''L''<sup>2</sup>(''X'',μ) に属する函数 ''f'', ''g'' の内積は
:<math>\langle f,g\rangle=\int_X f(t) \overline{g(t)} \ d \mu(t)</math>
で与えられる。''L''<sup>2</sup> の元 ''f'', ''g'' に対して、右辺の積分が存在することはコーシー・シュヴァルツの不等式から示されるから、これは確かに内積を定義している。このように定義された内積に関して ''L''<sup>2</sup> は実は完備になる<ref>{{Harvnb|Halmos|1957|loc=Section 42}}.</ref>。積分がルベーグ積分であることは完備性を保証するために本質的である。例えば、実数からなる領域上で[[リーマン積分#可積分性|リーマン可積分函数]]を考えるのでは十分でない<ref>{{Harvnb|Hewitt|Stromberg|1965}}.</ref>。

多くの自然な設定の下でルベーグ空間を考えることができる。''L''<sup>2</sup>('''R''') および ''L''<sup>2</sup>([0,1]) をそれぞれ実数直線および単位閉区間上で定義される（[[ルベーグ測度]]に関する）自乗可積分函数全体の成す空間とすると、それぞれの自然な定義域上でフーリエ変換とフーリエ級数が定義できる。別な状況では、実数直線上の通常のルベーグ測度ではない何か別の測度を用いることもある。例えば、任意の正値可測函数 ''w'' をとり、区間 &#x5b;0,1&#x5d; 上の可測函数 ''f'' で
:<math>\int_0^1 |f(t)|^2w(t)\,dt < \infty</math>
を満たすもの全体の成す空間は[[重み付きルベーグ空間|重み付き ''L''<sup>2</sup>-空間]]と呼ばれ、''w'' を重み函数と呼ぶ。内積は
:<math>\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t) \overline{g(t)} w(t) \, dt</math>
で与えられる。重み付き空間 ''L''{{su|p=2|b=''w''}}([0,1]) はヒルベルト空間 ''L''<sup>2</sup>([0,1],μ) に等しい。ただし測度 μ は可測集合 ''A'' に対して
:<math>\mu(A) = \int_A w(t)\,dt</math>
を満たすものと定める。このような重み付き ''L''<sup>2</sup> 空間は[[直交多項式]]を調べるのによく用いられる（これは種々の直交多項式系は、それぞれ別な重み函数に関する意味で直交することによる）。

=== ソボレフ空間 ===
[[ソボレフ空間]] ''H''<sup>''s''</sup> あるいは ''W''<sup>''s'',2</sup> はヒルベルト空間になる。これらの空間は[[微分]]が行えるような[[函数空間]]の一種で、（[[ヘルダー空間]]のようなほかのバナッハ空間とは異なり）内積の構造も持つ特別な場合になっている。微分が使えることで、ソボレフ空間は[[偏微分方程式論]]に対して都合がよい<ref name="BeJoSc81" />。また[[変分法における直接法]]の基礎も与えている。<ref>{{Harvnb|Giusti|2003}}.<!--Find a reference more specific to the case p=2--></ref>

非負整数 ''s'' と領域 Ω ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup> に対し、ソボレフ空間 ''H''<sup>''s''</sup>(Ω) は ''s'' 階までの[[弱微分]]が全て L<sup>2</sup> に属するような L<sup>2</sup>-函数を全て含む。''H''<sup>s</sup>(Ω) における内積は
:<math>\langle f,g\rangle = \int_\Omega f(x)\bar{g}(x)\,dx + \int_\Omega D f\cdot D\bar{g}(x)\,dx + \cdots + \int_\Omega D^s f(x)\cdot D^s \bar{g}(x)\, dx</math>
で与えられる。ただし、右辺の点乗積は各階の偏導函数全体の成すユークリッド空間における点乗積である。''s'' が整数でない場合にもソボレフ空間は定義できる。

ソボレフ空間は、（ヒルベルト空間のより具体的な構造に依拠する）スペクトル論の観点からも研究される。適当な領域 Ω に対してソボレフ空間 ''H''<sup>''s''</sup>(Ω) を[[ベッセルポテンシャル]]全体の成す空間として定義することができる<ref>{{harvnb|Stein|1970}}</ref>。これはだいたい
:<math>H^s(\Omega) = \{ (1-\Delta)^{-s/2}f | f\in L^2(\Omega)\}</math>
のようなものである。ここで Δ は[[ラプラス作用素]]、(1&nbsp;&minus;&nbsp;Δ)<sup>&minus;''s''/2</sup> は[[スペクトル写像定理]]によって捉えることができる。非負整数 ''s'' に対するソボレフ空間の意味のある定義を与える必要があることをひとまず置いておけば、ソボレフ空間の定義は[[フーリエ変換]]のもとで特に望ましい性質を持ち、[[擬微分作用素]]の研究に対して理想的である。これらの方法を[[コンパクト空間|コンパクト]][[リーマン多様体]]上で用いれば、例えば[[ホッジ理論]]の基礎を成す[[ド・ラームコホモロジー#ホッジ分解|ホッジ分解]]が得られる<ref>詳細は {{harvtxt|Warner|1983}} に見つかる。</ref>。

=== 正則函数の空間 ===
; ハーディ空間
:[[複素解析]]や[[調和解析]]で用いられる[[ハーディ空間]]は、その元が複素領域上の[[正則函数]]となっているような函数空間の一種である<ref>ハーディ空間の一般論は {{harvtxt|Duren|1970}} を見よ。</ref>。''U'' をガウス平面上の[[単位円板]]とすると、ハーディ空間 ''H''<sup>2</sup>(''U'') は ''U'' 上の正則函数 ''f'' で、その平均<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  M_r(f) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^2\,d\theta
</math></div>がまた ''r'' &lt; 1 で抑えられるようなもの全体の成す空間として定義される。このハーディ空間上のノルムは<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  \|f\|_2 = \lim_{r\to 1} \sqrt{M_r(f)}
</math></div>で与えられる。この円板上のハーディ空間はフーリエ級数と関係があり、正則函数 ''f'' が ''H''<sup>2</sup>(''U'') に属するための必要十分条件は、<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  f(z) =\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\qquad\left(\sum_{n=0}^\infty|a_n|^2 <\infty\right)
</math></div>なる形に書けることである。従って、空間 ''H''<sup>2</sup>(''U'') は、単位円板上の L<sup>2</sup>-函数で、負の周波数に対するフーリエ係数が消えているようなもの全体からなる。

; ベルグマン空間
: 正則函数の成すヒルベルト空間の別なクラスに[[ベルグマン空間]]がある<ref>{{harvnb|Krantz|2002|loc=§1.4}}</ref>。''D'' を[[ガウス平面]]（または高次元の複素空間）の有界開集合とし、''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') を ''D'' 上の正則函数 ''f'' で<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  \|f\|^2 = \int_D |f(z)|^2\,d\mu(z) < \infty
</math></div>なる意味で ''L''<sup>2</sup>(''D'') にも属するようなもの全体の成す集合とする。ただし積分は ''D'' におけるルベーグ測度に関してとる。明らかに ''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') は ''L''<sup>2</sup>(''D'') の部分空間であり、実は閉部分空間になっているので、それ自身ヒルベルト空間を成す。このことは、''D'' の[[コンパクト空間|コンパクト部分集合]] ''K'' の上で有効な評価<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  \sup_{z\in K} |f(z)| \le C_K \|f\|_2
</math></div>からの帰結である。この評価自体は[[コーシーの積分公式]]から出る。従って、''L''<sup>2</sup>(''D'') に属する正則函数列の収斂は[[コンパクト収斂]]でもあるから、極限函数もまた正則になる。先の評価不等式の別な帰結として、''D'' の一点において函数 ''f'' を評価する線型汎函数は、実際には ''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') 上で連続であることがわかる。リースの表現定理によれば、この評価函数を表現する ''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') の元が存在するから、各 ''z''&nbsp;∈&nbsp;''D'' に対して函数 η<sub>''z''</sub>&nbsp;∈&nbsp;''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') で<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  f(z) = \int_D f(\zeta)\overline{\eta_z(\zeta)}\,d\mu(\zeta)
</math></div>をすべての ''ƒ''&nbsp;∈&nbsp;''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') に対して満たすようなものが取れる。被積分函数の因子<div style="margin: 1ex 2em;"><math>K(\zeta,z) = \overline{\eta_z(\zeta)}</math></div>は ''D'' の[[ベルグマン核]]と呼ばれる[[積分核]]で、再生性<div style="margin: 1ex 2em;"><math>f(z) = \int_D f(\zeta)K(\zeta,z)\,d\mu(\zeta)</math></div>を満足する。

ベルグマン空間は[[再生核ヒルベルト空間]]（函数からなるヒルベルト空間で、先と同様の再生性を持つ積分核 ''K''(ζ,''z'') を備えたもの）の例になっている。ハーディ空間 ''H''<sup>2</sup>(''D'') にも[[セゲー核]]と呼ばれる再生核を持つ<ref>{{harvnb|Krantz|2002|loc=§1.5}}</ref>。再生核は数学のほかの分野でもよく用いられる。たとえば、[[調和解析]]における[[ポアソン核]]は[[単位球体]]上の自乗可積分[[調和函数]]全体の成すヒルベルト空間（これがヒルベルト空間を成すことは調和函数に対する中間値の定理からわかる）に対する再生核である。

== 応用 ==
ヒルベルト空間の応用の多くは、ヒルベルト空間において[[射影作用素|射影]]や[[基底変換]]といったような単純な幾何学的概念が、ふつうの有限次元の場合に考えられるそれらの自然な一般化になっているという事実に依拠して行われている。特に、ヒルベルト空間上の[[連続写像|連続]][[自己随伴作用素|自己随伴]][[線型作用素]]の[[スペクトル論]]は、[[行列]]のふつうの[[スペクトル分解]]の一般化であり、これはヒルベルト空間論を他の数学や物理学の分野に応用する際にしばしば大きな役割を果たす。

=== スツルム・リウヴィル理論 ===
{{Main|スツルム・リウヴィル理論|常微分方程式のスペクトル論}}
[[Image:Harmonic partials on strings.svg|right|thumb|振動元の[[倍音]]。これらはスツルム・リウヴィル問題の[[固有函数]]で、固有値 {{math|1,1/2,1/3,…}} は[[倍音列]]を成す。]]
[[常微分方程式]]論において、微分方程式の固有函数および固有値の振る舞いを調べるのに適当なヒルベルト空間上のスペクトル法が利用できる。例えば、ヴァイオリンの弦やドラムの調波の研究から生じた[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式|スツルム・リウヴィル問題]]は、常微分方程式論の中心的な問題である<ref>{{harvnb|Young|1988|loc=Chapter 9}}.</ref>。スツルム・リウヴィル問題は区間 &#x5b;''a'',''b''&#x5d; 上の未知函数 ''y'' に対する常微分方程式
:<math> -\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{ dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y</math>
で、一般斉次[[ロビン境界条件]]
:<math>\begin{cases}
\alpha y(a)+\alpha' y'(a)=0\\
\beta y(b) + \beta' y'(b)=0.
\end{cases}</math>
を満足するものである。函数 ''p'', ''q'', および ''w'' は所与で、方程式の解となる函数 ''y'' および定数 &lambda; を求める。同問題は、この系の固有値と呼ばれる特定の値の &lambda; に対してだけ開を持つのだが、それのことはこの系に対する[[グリーン函数]]によって定まる[[積分作用素]]に[[コンパクト作用素]]のスペクトル論を適用した結果として得られる。さらにはこの一般論からの別な帰結として、固有値 &lambda; を無限大に発散する単調増大列に並べることができる<ref>フレドホルム核の固有値は 1/λ でこれは 0 に近づく。</ref>。

=== 偏微分方程式論 ===
ヒルベルト空間は[[偏微分方程式]]を調べる基本的な道具である<ref name="BeJoSc81">{{harvnb|Bers|John|Schechter|1981}}.</ref>。即ち、[[楕円型偏微分方程式|楕円型線型方程式]]のような偏微分方程式の多くのクラスでは、考える函数のクラスを拡張して[[弱解]]と呼ばれる超函数解を考えることができるが、弱解の定式化（弱定式化）の多くはヒルベルト空間を成す[[ソボレフ空間|ソボレフ函数]]のクラスを含むものになっているのである。解を求めたり、あるいはしばしばより重要な、与えられた境界条件に対する解の存在および一意性を示したりする解析学的な問題が、適当な弱定式化によって幾何学的問題に還元される。楕円型線型方程式に対して、かなりのクラスの問題が一意的に解けることを保証する幾何学的結果の一つが[[ラックス・ミルグラムの定理]]である。この方法論は、偏微分方程式の数値解法に対する[[ガレルキン法]]（[[有限要素法]]の一つ）の基盤をなしている<ref>この観点からの有限要素法の詳細が {{harvtxt|Brenner|Scott|2005}} にある。</ref>。

典型的な例が、'''R'''<sup>2</sup> の有界領域 Ω における[[ポアソン方程式]] −Δ''u'' = ''g'' の[[ディリクレ境界条件|ディリクレ境界問題]]である。弱定式化は、境界上で消えている Ω 上連続的微分可能な任意の函数 ''v'' に対して
: <math>\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v = \int_\Omega gv</math>
を満たすような函数 ''u'' を求めることからなる。これは、''u'' およびその弱偏導函数がともに境界上で消えている Ω 上の自乗可積分函数となるような函数 ''u'' からなるヒルベルト空間 ''H''{{su|p=1|b=0}}(Ω) の言葉で書き直すことができて、問題はこの空間 ''H''{{su|p=1|b=0}}(Ω) の任意の元 ''v'' に対して
:<math>a(u,v) = b(v)</math>
を満たすような ''u'' を空間 ''H''{{su|p=1|b=0}}(Ω) の中で求めることに帰着される。ただし、''a'' および ''b'' はそれぞれ
: <math>a(u,v) = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v,\quad b(v)= \int_\Omega gv</math>
で与えられる連続な[[双線型形式]]および連続な[[線型汎函数]]である。ポアソン方程式は[[楕円型偏微分方程式|楕円型]]だから、ポアンカレの不等式から双線型形式 ''a'' が[[強圧的函数|強圧的]] {{lang|en|(coercive)}} であることが従う。故に、ラックス・ミルグラムの定理は、この方程式の解の存在と一意性を保証する。

多くの楕円型偏微分方程式に対して同様のやり方でヒルベルト空間による定式化ができるので、それ故にラックス・ミルグラムの定理はそれらの解析における基本的な道具となる。同様の方法は[[放物型偏微分方程式|抛物型偏微分方程式]]やある種の[[双曲型偏微分方程式]]に対しても、適当な修正を施せば通用する。

=== エルゴード理論 ===
[[File:BunimovichStadium.png|thumb|right|[[ブニモヴィチスタジアム]]における[[力学的ビリヤード]]球の軌道は、エルゴード[[力学系]]で記述される。]]
[[エルゴード理論]]の分野では、[[カオス理論|カオス]][[力学系]]の長期的振る舞いを研究する。エルゴード理論が有効な原型的な場合というのは、[[熱力学]]における系である。この系の微視的な状態は（微粒子の間の個々の衝突の集まりとしては理解できないという意味で）極めて複雑であるにも拘らず、十分長期間にわたるその平均的振る舞いは素直であり、[[熱力学の法則]]が主張するのはこのような平均的挙動である。特に、[[熱力学の第0法則]]は「十分長い時間スケールを経れば平衡状態にある熱力学系の、その機能的に独立な測度は、[[温度]]の形でのその全エネルギーのみである」などと定式化できる。

エルゴート力学系は、（[[ハミルトニアン]]で測られる）エネルギーを除けば、[[相空間]]上の機能的に独立な[[保存量]]を持たないような系である。詳しく述べれば、エネルギー ''E'' を固定して、Ω<sub>''E''</sub> をエネルギーが ''E'' となる状態すべてからなる相空間の部分集合（エネルギー面）とし、''T''<sub>''t''</sub> で相空間上の発展演算子を表せば、力学系がエルゴードとなるのは、Ω<sub>''E''</sub> 上の定数でない連続函数で、Ω<sub>''E''</sub> の任意の ''w'' と任意の時間 ''t'' において
:<math>f(T_tw) = f(w)</math>
を満たすものがない場合に限る。[[リウヴィルの定理 (物理学)|リウヴィルの定理]]によれば、エネルギー面上の[[測度]] &mu; で時間並進不変なものが存在する。結果として時間並進は、エネルギー面 Ω<sub>''E''</sub> 上の自乗可積分函数に内積を
:<math>\langle f,g\rangle_{L^2(\Omega_E,\mu)} = \int_E f\bar{g}\,d\mu</math>
で入れたヒルベルト空間 ''L''<sup>2</sup>(Ω<sub>''E''</sub>,μ) の[[ユニタリ変換]]になる。

[[フォンノイマンの平均エルゴード定理]]<ref name="von Neumann 1932"> {{harvtxt|von Neumann|1932}} </ref>の主張は次のようなものである。
* ''U''<sub>''t''</sub> がヒルベルト空間 ''H'' 上のユニタリ作用素からなる（強連続）一径数半群で、''P'' を ''U''<sub>''t''</sub> の同時不動点全体の成す集合{''x''∈''H''&nbsp;|&nbsp;''U''<sub>''t''</sub>''x''&nbsp;=&nbsp;''x'' for all ''t''&nbsp;&gt;&nbsp;0} の上への直交射影とすると<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  Px = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^TU_tx\,dt
</math></div>が成り立つ。

エルゴード系では、時間発展の固定集合は定数函数のみから成るので、先のエルゴード定理から任意の ''f''&nbsp;∈&nbsp;''L''<sup>2</sup>(Ω<sub>''E''</sub>,μ) に対し
:<math>\underset{T\to\infty}{L^2\!\text{-}\!\lim{}} \frac{1}{T}\int_0^T f(T_tw)\,dt = \int_{\Omega_E} f(y)\,d\mu(y)</math>
となることが従う<ref>{{harvnb|Reed|Simon|1980}}</ref>。つまり、観測可能な ''f'' の長期平均は、そのエネルギー面に亘ってとった期待値に等しい。

=== フーリエ解析 ===
[[File:Sawtooth Fourier Analysys.svg|thumb|right|正弦波基底函数（下）の重ね合わせが鋸歯状波（上）になる。]]
[[File:Harmoniki.png|thumb|right|球面上の自乗可積分函数全体の成すヒルベルト空間の正規直交基底を成す[[球面調和函数]]を、半径方向に沿ってグラフ化したもの]]
[[フーリエ解析]]の基本目的の一つは、函数を付随する[[フーリエ級数]]、即ち与えられた基底函数族の（必ずしも有限とは限らない）[[線型結合]]に分解することである。区間 &#x5b;0,1&#x5d; 上の函数 ''f'' に付随する古典フーリエ級数とは
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{2\pi in\theta}\quad (a_n := \int_0^1f(\theta)e^{-2\pi in\theta}\,d\theta)</math>
なる形の級数である。

鋸歯状波函数に対するフーリエ級数の最初の数項を足し上げた例を図に示す。鋸歯状波函数の波長を λ とすると、（基本波、つまり ''n'' = 1 を除いて）それよりも短い波長 λ/''n''（''n'' は整数）をもつ正弦波が基底函数である。全ての基底函数が鋸歯状波の折れるところで交わり（結点）を持つが、基本波を除く全ての基底函数はそれ以外にも結点を持つ。鋸歯の周りでの基底函数の部分和の振動は[[ギブズ現象]]と呼ばれるものである。

古典フーリエ級数論の特徴的な問題の一つに「函数 ''f'' のフーリエ級数がもとの函数に収斂する（ことが仮にあったとする）ならば、それはどのような意味においての収斂であるか」を問う問題がある。これに対して、ヒルベルト空間を用いた方法で答えを与えることができる<ref>この観点からのフーリエ級数の扱いは、例えば {{harvtxt|Rudin|1987}} や {{harvtxt|Folland|2009}} を参照。</ref>。函数族 ''e''<sub>''n''</sub>(θ)&nbsp;:= e<sup>''2πinθ''</sup> はヒルベルト空間 L<sup>2</sup>([0,1]) の正規直交基底を成すから、それ故に任意の自乗可積分函数 ''f'' が
:<math>f(\theta) = \sum_n a_n e_n(\theta),\quad (a_n := \langle f,e_n\rangle)</math>
なる級数の形で表せて、さらにこの級数は L<sup>2</sup>([0,1]) の元として収斂する（即ち、L<sup>2</sup>-収斂、[[平均収斂|自乗平均収斂]]）。

この問題を抽象的な観点からも見ることができる。任意のヒルベルト空間は[[正規直交基底]]を持ち、ヒルベルト空間の各元はそれら基底に属する元の定数倍の和として一意的に表すことができるが、この展開に現れる各基底元の係数のことをその元の抽象フーリエ係数と呼ぶことがある<ref>{{harvnb|Halmos|1957|loc=§5}}</ref>。このような抽象化は、''L''<sup>2</sup>([0,1]) などの空間で別の基底函数系を用いることがより自然であるようなときに、特に有用である。函数を三角函数系に分解することは不適当だが、例えば[[直交多項式系]]や[[ウェーブレット]]<ref>{{harvnb|Bachman|Narici|Beckenstein|2000}}</ref>および高次元において[[球面調和函数]]<ref>{{harvnb|Stein|Weiss|1971|loc=§IV.2}}.</ref>へ展開することが適当であるような状況はたくさんある。

例えば、''e''<sub>''n''</sub> を ''L''<sup>2</sup>[0,1] の任意の正規直交基底函数系とすると、与えられた ''L''<sup>2</sup>[0,1] の函数は有限線型結合
:<math>f(x) \approx f_n (x) = a_1 e_1 (x) + a_2 e_2(x) + \cdots + a_n e_n (x)</math>
で近似することができる<ref>{{harvnb|Lancos|1988|pp=212&ndash;213}}</ref>。右辺の係数 {''a''<sub>''j''</sub>} は、差の大きさ &#x2016;&fnof; − &fnof;<sub>''n''</sub>&#x2016;<sup>2</sup> をできるだけ小さくするように定める。幾何学的には、[[#最適近似|最適近似]]は {''e''<sub>''j''</sub>} の線型結合全体の成す部分空間の上への &fnof; の[[#直交補空間と射影作用素|直交射影]]であり、
:<math>a_j = \int_0^1 \overline{e_j(x)}f (x) \, dx</math>
によって計算することができる<ref>{{harvnb|Lanczos|1988|loc=Equation 4-3.10}}</ref>。これが &#x2016;&fnof; − &fnof;<sub>''n''</sub>&#x2016;<sup>2</sup> を最小化することは[[#ベッセルの不等式とパーセヴァルの公式|ベッセルの不等式とパーセヴァルの公式]]からの帰結である。

種々の物理学的問題においては、函数を物理的に意味を持つ[[微分作用素]]（典型的なものは[[ラプラス作用素]]）の[[固有函数]]系に分解することができ、微分作用素の[[スペクトル定理|スペクトル]]に関連して、函数のスペクトル研究の基礎を成している<ref>スペクトル法の古典的文献は {{harvnb|Courant|Hilbert|1953}}。より今日的な取り扱いは {{harvnb|Reed|Simon|1975}} を参照。</ref>。物理学への具体的な応用として[[太鼓の形を聴く]] (hearing the shape of a drum) 問題が挙げられる。これは「太鼓の皮が引き起こす基本振動モードを与えたとき、太鼓自身の形が推定できるか」というものである<ref>{{harvnb|Kac|1966}}</ref>。この問題の数学的定式化は、平面上のラプラス作用素の[[ディリクレ固有値]]に関わるものになる（これはヴァイオリンの弦の基本振動モードを表す整数の直接の対応物である）。

スペクトル論も函数の[[フーリエ変換]]のある種の側面を下支えしている。フーリエ解析では[[コンパクト集合]]上定義された函数を（ヴァイオリンの弦や太鼓の皮の振動に対応する）ラプラス変換の離散スペクトルに分解するのに対して、函数のフーリエ変換はユークリド空間の全域で定義された函数をラプラス作用素の[[連続スペクトル]]に関する成分に分解する。フーリエ変換があるヒルベルト空間（「時間領域」）から別なヒルベルト空間（「周波数領域」）への[[等距変換]]であることを主張する[[プランシュレルの定理]]として、フーリエ変換は幾何学的な意味を持つ。このフーリエ変換の等距性は、例えば[[非可換調和解析]]に現れる[[球函数に対するプランシュレルの定理]]などが示すとおり、抽象的な[[調和解析]]では繰り返し登場する主題である。

=== 量子力学 ===
[[Image:HAtomOrbitals.png|right|thumb|[[水素原子]]における[[電子]]の[[原子軌道|軌道]]は[[エネルギー]]の[[固有函数]]である。]]
[[ポール・ディラック|ディラック]]<ref>{{harvnb|Dirac|1930}}</ref>と[[ジョン・フォン・ノイマン|フォンノイマン]]<ref>{{harvnb|von Neumann|1955}}</ref>によって発展した量子力学の数学的に厳密な定式化は、量子力学系の取りうる状態（より正確には[[純粋状態]]）が、[[状態空間]]と呼ばれる可分な複素ヒルベルト空間に属する[[単位ベクトル]]（状態ベクトルという）によって（位相因子と呼ばれるノルム 1 の複素数の[[up to|違いを除いて]]）表現される。つまり、取りうる状態はあるヒルベルト空間の[[射影空間|射影化]]（ふつうは[[複素射影空間]]と呼ばれる）の元である。このヒルベルト空間が実際にどのようなものになるかは系に依存する。例えば、一つの非相対論的スピン 0 粒子の位置と運動量の状態は[[自乗可積分函数]]全体の成す空間であり、いっぽう一つの陽子のスピンの状態は[[スピノル]]の成す二次元複素ヒルベルト空間の長さ 1 の元である。各可観測量は状態空間上に作用する[[自己随伴作用素|自己随伴]][[線型作用素]]として表現され、可観測量の固有状態はその作用素の[[固有ベクトル]]に、固有ベクトルに対応する固有値は固有状態にある可観測量の値にそれぞれ対応する。

量子状態の時間発展は[[シュレーディンガー方程式]]によって記述され、そこに現れる[[ハミルトニアン]]（[[全エネルギー]]に対応する[[作用素]]）は時間発展を生み出す。

二つの状態ベクトルの間の内積は[[確率振幅]]として知られる複素数になる。量子力学系の理想的な測定の間で、系が与えられた初期状態から特定の固有状態に崩壊する確率は、初期状態から終期状態の間の確率振幅の[[絶対値]]の平方によって与えられる。測定の結果として可能なのは、作用素の固有値であり（これは自己随伴作用素のとり方を説明する）、全ての固有値は実数でなければならない。与えられた状態の可観測量の確率分布は対応する作用素のスペクトル分解を計算すれば求められる。

一般の系では、状態は典型的には純粋ではないが、[[密度行列]]（ヒルベルト空間上のトレース 1 の自己随伴作用素）で与えられる純粋状態の統計的混合（あるいは混合状態）として表される。さらに、一般の量子力学系では、単独の測定の効果は系のほかの部分に影響を及ぼしうるが、それは測度が[[正の作用素値測度]]で取り替えたものとして記述される。従って、一般論として状態と可観測量の両方の構造は、純粋状態の理想化したものより相当に複雑である。

ハイゼンベルグの[[不確定性原理]]は、ある種の可観測量に対応する作用素が互いに可換でなく、特定の形の[[交換子]]を与えるという主張として表される。

== 性質 ==
=== 三平方の定理 ===
ヒルベルト空間 ''H'' の二つのベクトル ''u'', ''v'' が直交するのは、&lang;''u'', ''v''&rang; = 0 のときである。このとき ''u'' ⊥ ''v'' と書く。更に一般に、''H'' の部分集合 ''S'' に対して ''u'' ⊥ ''S'' と書けば、これは ''u'' が ''S'' の各元と直交することを意味する。

''u'' と ''v'' とが直交するとき、等式
:<math>\|u + v\|^2 = \langle u + v, u + v \rangle = \langle u, u \rangle + 2 \, \mathrm{Re} \langle u, v \rangle + \langle v, v \rangle= \|u\|^2 + \|v\|^2</math>
が成り立つ。これは個数 ''n'' に関する帰納法で拡張することができて、任意の互いに直交する ''n'' 本のベクトルの族
''u''<sub>1</sub>, …, ''u<sub>n</sub>'' に対して
:<math>\|u_1 + \cdots + u_n\|^2 = \|u_1\|^2 + \cdots + \|u_n\|^2</math>
が成り立つ。三平方の定理の主張は任意の内積空間で有効であるにも拘らず、この等式を級数（無限和）に対して拡張するには完備性を課さねばならない。互いに直交するベクトルからなる級数 &sum;&thinsp;''u<sub>k</sub>'' が ''H'' において収斂するための必要十分条件は、各項のノルムの平方からなる級数が収斂し、かつ
:<math>\left\|\sum_{k=0}^\infty u_k \right\|^2 = \sum_{k=0}^\infty \|u_k\|^2</math>
が満たされることである。更に言えば、互いに直交するベクトルからなる級数の和は、それらのベクトルの和をとる順番に依らずに定まる。

=== 中線定理と極化公式 ===
[[Image:Color parallelogram.svg|right|thumb|幾何学的には、中線定理の式は AC<sup>2</sup> + BD<sup>2</sup> = 2(AB<sup>2</sup> + AD<sup>2</sup>) なることを示すものである。言葉で書けば、対角線の平方和は任意の隣り合う二辺の平方和の二倍に等しい。]]
定義から、任意のヒルベルト空間は[[バナッハ空間]]であり、さらに[[中線定理]]
: <math>\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2(\|u\|^2+\|v\|^2)</math>
も成立する。逆に中線定理が成り立つような任意のバナッハ空間はヒルベルト空間になり、その内積は[[極化恒等式]]によってノルムから一意的に定まる<ref>{{harvnb|Young|1988|p=23}}.</ref>。実ヒルベルト空間における極化恒等式は
:<math>\langle u,v\rangle = \frac{1}{4}(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2)</math>
であり、複素ヒルベルト空間の場合は
:<math>\langle u,v\rangle = \frac{1}{4}(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2+i\|u+iv\|^2-i\|u-iv\|^2)</math>
で与えられる。中線定理は、任意のヒルベルト空間が[[一様凸バナッハ空間]]となることを示している<ref>{{harvnb|Clarkson|1936}}.</ref>。

=== 最適近似 ===
ヒルベルト空間 ''H'' の空でない閉凸部分集合を ''C'' とし、''H'' の点 ''x'' をとると、''x'' との距離を最小化する ''C'' の元 ''y'' がただ一つ存在する<ref>{{harvnb|Rudin|1987|loc=Theorem 4.10}}</ref>。

:<math> {}^{\exists!}y \in C,\quad \|x - y\| = \mathrm{dist}(x, C) = \min \{ \|x - z\| : z \in C \}.</math>

これは、''C'' を平行移動した凸集合 ''D'' := ''C'' &minus; ''x'' にノルムが最小となる点が存在するとも言い換えられる。このことは、任意の最小化列 (''d<sub>n</sub>'')&nbsp;⊂ ''D'' が（中線定理により）コーシー列となること、従って（完備性により）''D'' 内の点に収斂するが、それがノルム最小であることを示すことで証明できる。もっと一般に、一様凸バナッハ空間でこのことは成り立つ<ref>{{harvnb|Dunford|Schwartz|1958|loc=II.4.29}}</ref>。

この結果を ''H'' の閉部分空間 ''F'' に適用するとき、''y''&nbsp;∈ ''F'' が ''x'' に最近接することは
:<math> y \in F, \quad x - y \perp F</math>
によって特徴付けることができる<ref>{{harvnb|Rudin|1987|loc=Theorem 4.11}}</ref>。この点 ''y'' というのは ''x'' の ''F'' の上への'''直交射影'''に他ならない。このとき、写像 ''P<sub>F</sub>'': ''x'' &#x21a6; ''y'' は線型である（[[#直交補空間と射影|後述]]）。この結果は、[[最小自乗法]]の基礎を成すもので、[[応用数学]]、特に[[数値解析]]において有意である。

特に ''F'' が全体空間 ''H'' 自身とは一致しないとき、''F'' に直交する非零ベクトル ''v'' が取れる（''F'' に属さない ''x'' をとって、''v'' := ''x'' &minus; ''y'' と置けばよい）。これを応用して、閉部分集合 ''F'' が ''H'' の部分集合 ''S'' によって生成されるかを見るのに有効な判定法が得られる。即ち、
: ''H'' の部分集合 ''S'' が生成する部分空間が ''H'' で稠密となるのは、''S'' に直交するベクトル ''v'' &isin; ''H'' が零ベクトル 0 のみであるとき（かつそのときに限る）である。

=== 双対性 ===
ヒルベルト空間 ''H'' の[[連続的双対空間]] ''H''<sup>∗</sup> とは、''H'' からその係数体への[[連続写像|連続]]な線型写像全体の成す空間のことをいう。この空間には
:<math>\|\varphi\| = \sup_{\|x\|=1,\atop x\in H} |\varphi(x)|</math>
で定義される自然なノルムが入る。このノルムは中線定理を満足するので、この双対空間もまた内積空間になる。またこれは完備であり、従ってそれ自身ヒルベルト空間を定める。

[[リースの表現定理]]は、この双対空間の簡便な記述を与えてくれる。即ち、''H'' の各元 ''u'' に対して、
:<math>\varphi_u(x) = \langle x,u\rangle</math>
で定まる ''H''<sup>∗</sup> の元 φ<sub>''u''</sub> がただ一つ存在し、写像 ''u'' &#x21a6; φ<sub>''u''</sub> は ''H'' から ''H''<sup>∗</sup> への[[反線型写像]]になる。リースの表現定理はこの写像が反線型同型であるというのである<ref>{{harvnb|Weidmann|1980|loc=Theorem 4.8}}</ref>。故に、双対空間 ''H''<sup>∗</sup> の各元 &phi; に対し ''H'' の元 ''u''<sub>φ</sub> がただ一つ存在して、''H'' の任意の元 ''x'' について
:<math>\langle x, u_\varphi\rangle = \varphi(x)</math>
を満たす。双対空間 ''H''<sup>∗</sup> 上に定まるこの内積は
:<math> \langle \varphi, \psi \rangle = \langle u_\psi, u_\varphi \rangle</math>
を満たす。右辺で順番が逆になっているのは ''u''<sub>φ</sub> の反線型性から φ の線型性を回復するためである。実係数の場合は、''H'' からその双対空間への反線型同型は実際には線型同型になるから、実ヒルベルト空間はその双対空間と自然に同型になる。

表現ベクトル ''u''<sub>φ</sub> を得るには以下のようにする。φ&nbsp;≠ 0 のとき、[[核 (数学)|核]] ''F''&nbsp;= ker&thinsp;φ は ''H'' の閉部分空間であって、''H'' には一致しないから、''F'' に直交する非零ベクトル ''v'' が存在する。ベクトル ''u'' を ''v'' の適当なスカラー倍 λ''v'' として、φ(''v'')&nbsp;= &lang;''v'',&nbsp;''u''&rang; が
:<math> u = \langle v, v \rangle^{-1} \, \overline{\varphi (v)} \, v</math>
を満たすようにする。この対応関係 φ ↔ ''u'' は[[物理学]]ではお馴染みの[[ブラ・ケット記法]]で大いに活用されている。物理学ではふつうは内積 &lang;''x''&thinsp;|&thinsp;''y''&rang; の右側の項に関して線型なので、
:<math>\langle x\mid y \rangle := \langle y, x \rangle</math>
とすると、この &lang;''x''&thinsp;|&thinsp;''y''&rang; は、ブラベクトルと呼ばれる線型汎函数 &lang;''x''| がケットベクトルと呼ばれるベクトル |''y''&rang; に作用したものと見ることができる。

リースの表現定理は内積の存在に関して基本的であるばかりでなく、双対空間の完備性に関しても基本的である。事実、定理からは任意の内積空間の[[位相的双対]]がもとの空間の完備化と同一視できることが導かれる。リースの表現定理から直ちに導かれる結果としては他にも、ヒルベルト空間 ''H'' の[[回帰空間|回帰性]]、即ち ''H'' からその二重双対空間への自然な写像が同型となることも挙げられる。

=== 弱収斂列 ===
{{main|弱収斂 (ヒルベルト空間)}}
ヒルベルト空間 ''H'' において、点列 {''x''<sub>''n''</sub>} がベクトル ''x''&nbsp;∈ ''H'' に[[弱収斂]]するとは、任意の ''v'' ∈ ''H'' に対し
:<math>\lim_n \langle x_n, v \rangle = \langle x, v \rangle</math>
をみたすことをいう。

例えば、任意の正規直交列 {ƒ<sub>''n''</sub>} は 0 に弱収斂することが、[[#ベッセルの不等式|ベッセルの不等式]]から従う。任意の弱収斂列 {''x''<sub>''n''</sub>} は[[一様有界性原理]]により有界である。

逆に、ヒルベルト空間における任意の有界列は弱収斂する部分列を含む（[[アラオグルの定理]]） <ref>{{harvnb|Weidmann|1980|loc=§4.5}}</ref>。この結果は、'''R'''<sup>''d''</sup> 上の連続函数に対して[[ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理]]を用いるのと同じやり方で、連続[[凸函数]]に対する最小値定理の証明に用いられる。これにはいくらか異なった述べ方があるが、以下のような形が簡便であろう<ref>{{harvnb|Buttazzo|Giaquinta|Hildebrandt|1998|loc=Theorem 5.17}}</ref>
: ƒ: ''H'' → '''R''' が凸函数で、&#x2016;''x''&#x2016; &rarr; ∞ のとき ƒ(''x'') &rarr;  +∞ を満たすとき、ƒ は ''H'' の適当な点 ''x''<sub>0</sub> ∈ ''H'' で最小値を持つ。

この事実（とその種々の一般化）は[[変分法における直接法]]の基礎を成している。有界閉凸函数に対する最小値の存在は、もう少し抽象的な、ヒルベルト空間 ''H'' 内の有界閉凸部分集合が ''H'' の回帰性により[[弱コンパクト]]になるという事実からも直接的に得られる。弱収斂部分列の存在性は、{{仮リンク|エーベルライン・スムリアンの定理|en|Eberlein–Šmulian theorem}}の特別の場合である。

=== バナッハ空間の性質 ===
[[バナッハ空間]]が一般に持つ性質はヒルベルト空間においても成立する。[[開写像定理 (函数解析学)|開写像定理]]の主張は「バナッハ空間からバナッハ空間への[[連続写像|連続]]かつ[[全射]]な線型写像は、開集合を開集合に写すという意味で[[開写像]]である」ことをいい、その系としての[[有界逆写像定理]]は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続[[全単射]]な線型写像は（逆写像も連続であるような連続線型写像の意味で）同型である」ことを主張する。ヒルベルト空間版のこの定理の証明は、一般のバナッハ空間でやるよりも随分と簡単になる<ref>{{harvnb|Halmos|1982|loc=Problem 52, 58}}</ref>。開写像定理は[[閉グラフ定理]]と同値である。後者は「バナッハ空間からバナッハ空間への線型写像が連続となるための必要十分条件がそのグラフが[[閉集合]]となることである」ことを主張するものである<ref>{{harvnb|Rudin|1973}}</ref>。ヒルベルト空間の場合には、これが[[非有界作用素]]の研究において基本になる（[[閉作用素]]参照）。

（幾何学的な）[[ハーン・バナッハの定理]]は、閉凸集合をその外にある任意の点からヒルベルト空間の[[超平面]]によって分割できることを示すものである。これは[[#最適近似|最適近似性]]から直ちに得られる。即ち、''y'' が閉凸集合 ''F'' の元で ''x'' に最近接するものとすると、線分 ''xy'' に垂直で、その中点を通る平面が求める分割超平面である<ref>{{harvnb|Trèves|1967|loc=Chapter 18}}</ref>。

== ヒルベルト空間上の線型作用素 ==
=== 有界作用素 ===
ヒルベルト空間 ''H''<sub>1</sub> から別のヒルベルト空間 ''H''<sub>2</sub> への[[連続写像|連続]][[線型作用素]] ''A'': ''H''<sub>1</sub> → ''H''<sub>2</sub> は[[有界集合]]を有界集合へ写すという意味で「有界」である。逆に、有界な線型作用素は連続になる。二つの有界線型作用素の和および合成は、ふたたび有界かつ線型であり、このような[[有界線型作用素]]全体の成す空間には、[[作用素ノルム]]と呼ばれる[[ノルム]]
:<math>\lVert A \rVert = \sup\{\,\lVert Ax \rVert : \lVert x \rVert \leq 1\}</math>
が定義される。また、''H''<sub>2</sub> の元 ''y'' に対して、''x''&nbsp;∈ ''H''<sub>1</sub> を &lang;''Ax'', ''y''&rang; へ写す写像は線型かつ連続である。リースの表現定理によれば、有界線型作用素は必ず ''H''<sub>1</sub> の適当なベクトル ''A''<sup>∗</sup>''y'' に対する
:<math>\langle x, A^* y \rangle = \langle Ax, y \rangle</math>
の形で表現可能である。この定義から、もう一つの有界線型作用素（''A'' の[[エルミート随伴|随伴作用素]]）''A''<sup>∗</sup>: ''H''<sub>2</sub>&nbsp;→ ''H''<sub>1</sub> が定まる。このとき、''A''<sup>∗∗</sup> = ''A'' であることが確かめられる。

''H'' 上の有界線型作用素全体の成す集合 B(''H'') に、作用素の加法と合成および作用素ノルムと随伴作用素を考えたものは、[[作用素環]]の一種である[[C*代数| ''C''<sup>∗</sup>-環]]を成す。

B(''H'') の元 ''A'' は ''A''<sup>∗</sup>&nbsp;= ''A'' を満たすとき'''自己随伴作用素'''もしくは'''エルミート作用素'''と呼ばれる。エルミート作用素 ''A'' が &lang;''Ax'', ''x''&rang; ≥ 0 を任意の ''x'' で満たすとき、''A'' は'''非負'''であるといい、''A''&nbsp;≥&nbsp;0; で表す。さらに等号成立が ''x''&nbsp;=&nbsp;0 のときに限るならば ''A'' は'''正'''であるという。また、
: ''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''B''&nbsp;≥&nbsp;0 ならば ''A''&nbsp;≥&nbsp;''B''
なるものと定義すれば、自己随伴作用素全体の成す集合に[[半順序]] &ge; が導入できる。作用素 ''A'' が適当な ''B'' に対して ''A'' = ''B''<sup>∗</sup>''B'' なる形に書けるならば、''A'' は非負であり、さらに ''B'' が可逆のとき ''A'' は正になる。また、非負作用素 ''A'' に対して
:<math>A = B^2=B^*B</math>
を満たす非負[[作用素の平方根|平方根]] ''B'' が一意に定まるという意味で逆が成り立つ。これは、[[#スペクトル論|スペクトル論]]によって精緻化することができ、自己随伴作用素を「実」作用素と看做すことが有効であると分かる。B(''H'') の元 ''A'' が ''A''<sup>∗</sup>''A'' = ''A''&nbsp;''A''<sup>∗</sup> を満たすとき、''A'' は'''正規'''であるという。正規作用素は、自己随伴作用素と自己随伴作用素の虚数倍の和
:<math>A = \frac{A+A^*}{2} + i\frac{(A-A^*)}{2i}</math>
に分解され、各項は互いに可換になる。正規作用素をその実部と虚部とに分けて考えることも有用である。

B(''H'') の元 ''U'' が可逆かつその逆作用素が ''U''<sup>∗</sup> で与えられるとき、''U'' は[[ユニタリ作用素|ユニタリ]]であるという。この条件は「''U'' が全射かつ ''H'' の各元 ''x'', ''y'' に対して &lang;''Ux'', ''Uy''&rang; = &lang;''x'', ''y''&rang; を満たすこと」とも言い換えられる。''H'' 上のユニタリ作用素の全体は、合成に関して ''H'' の[[等距変換群]]と呼ばれる[[群 (数学)|群]]を成す。

B(''H'') の元が[[コンパクト作用素|コンパクト]]であるとは、それが有界集合を[[相対コンパクト]]集合へ写すときに言う。同じことだが、有界作用素 ''T'' について、任意の有界列 {''x''<sub>''k''</sub>} に対して列 {''Tx''<sub>''k''</sub>} が収斂部分列を持つとき ''T'' はコンパクトである。多くの[[積分作用素]]はコンパクトであり、事実[[ヒルベルト・シュミット作用素]]として知られるコンパクト作用素のクラスが[[積分方程式論]]において特に重要な働きをする。[[フレドホルム作用素]]は恒等変換の定数倍の分だけコンパクト作用素とは違うけれども、[[核 (数学)|核]]と[[余核]]が有限であるような作用素としても特徴付けられる。フレドホルム作用素の指数 (index) は
:<math>\operatorname{index}\, T = \dim\ker T - \dim\operatorname{coker}\, T.</math>
で定義される。この指数は[[ホモトピー不変量]]であり、[[アティヤ・シンガーの指数定理]]を通じて[[微分幾何学]]で深い役割を果たす。

=== 非有界作用素 ===
ヒルベルト空間においては[[非有界作用素]]もある程度きれいに扱うことができ、[[量子力学]]にも重要な応用を持つ<ref>See {{harvtxt|Prugovečki|1981}}, {{harvtxt|Reed|Simon|1980|loc=Chapter VIII}}, {{harvtxt|Folland|1989}}.</ref>。ヒルベルト空間 ''H'' 上の非有界作用素 ''T'' は、その定義域 ''D''(''T'') が ''H'' の線型部分空間であるような線型作用素であるものとして定義される。定義域が ''H'' の稠密な部分集合となることもよくあり、そのような作用素 ''T'' は[[稠密に定義された作用素|密定義作用素]]と呼ばれる。

密定義非有界作用素の随伴は、本質的に有界作用素の場合と同じ方法で定義される。[[自己随伴非有界作用素]]は量子力学の数学的基礎において可観測量の役割を持つ。ヒルベルト空間 ''H'' = ''L''<sup>2</sup>('''R''') 上の自己随伴非有界作用素の例としては、
* 微分作用素の適当な拡張 <div style="margin: 1ex 3em;"><math> (A f)(x) = i \frac{d}{dx} f(x),</math></div> ただし、''i'' は虚数単位、''f'' は台がコンパクトな可微分函数。
* ''x'' による掛け算作用素 <div style="margin: 1ex 3em;"><math> (B f) (x) = x f(x).</math></div>
などが挙げられる<ref>{{harvnb|Prugovečki|1981|loc=III, §1.4}}</ref>。これらはそれぞれ、[[運動量]]と[[位置演算子|位置]]の可観測量に対応する。この ''A'' も ''B'' も ''H'' の全域で定義されてはいないことに注意すべきである。''A'' の場合は微分が存在しないものがあること、''B'' の場合は ''x'' が掛けられた函数が自乗可積分とは限らないことがその理由である。何れの場合にも、引数にとり得る函数全体の成す集合は ''H'' の稠密な部分集合になる。

== ヒルベルト空間の構成 ==
=== 直和 ===
二つのヒルベルト空間 ''H''<sub>1</sub> および ''H''<sub>2</sub> を足し併せて、[[加群の直和|（直交）直和]]と呼ばれる別のヒルベルト空間 ''H''<sub>1</sub> &oplus; ''H''<sub>2</sub> を作ることができる<ref>{{harvnb|Dunford|Schwartz|1958|loc=IV.4.17-18}}</ref>。この空間は(''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>) (''x''<sub>''i''</sub> ∈ ''H''<sub>''i''</sub>, ''i'' = 1,2) なる[[順序対]]の全体からなる集合を台に持ち、その上の内積を
:<math>\langle (x_1,x_2), (y_1,y_2)\rangle_{H_1\oplus H_2} := \langle x_1,y_1\rangle_{H_1} + \langle x_2,y_2\rangle_{H_2}.</math>
で定めたものになっている。より一般に、''i'' ∈ ''I'' を添字とするヒルベルト空間の族 ''H''<sub>''i''</sub> に対して、その（外部）直和 <math>\textstyle\bigoplus_{i\in I}H_i</math> が、''H''<sub>''i''</sub> の[[直積集合|デカルト積]]の元 <math>\textstyle x=(x_i\in H_i\mid i\in I) \in \prod_{i\in I}H_i</math> で条件 <math>\textstyle\sum_{i\in I} \|x_i\|^2 < \infty</math> を満たすもの全体から成る集合を台とし、内積を
:<math>\langle x, y\rangle = \sum_{i\in I} \langle x_i, y_i\rangle_{H_i}</math>
で定めることによって定義される。このとき、各空間 ''H''<sub>''i''</sub> は直和空間の中へ閉部分空間として埋め込まれる。もっと言えば、埋め込まれた各 ''H''<sub>''i''</sub> はどの二つも互いに直交する。逆に、一つのヒルベルト空間において閉部分空間の族 ''V''<sub>''i''</sub> (''i'' ∈ ''I'') で各空間がどの二つも互いに直交しているようなものが与えられているとき、それら全ての和集合が全体空間 ''H'' の中で稠密になるならば、''H'' は本質的に ''V''<sub>''i''</sub> たちの直和に同型である。この場合、''H'' は ''V''<sub>''i''</sub> たちの内部直和であると言われる。（内部でも外部でも）直和には、''i''-番目の直和因子 ''H''<sub>i</sub> の上への直交射影 ''E''<sub>''i''</sub> の族が伴う。これらの直交射影はどれも有界・自己随伴かつ[[冪等]]な作用素であって、直交性条件
:<math>E_iE_j = 0\quad (i\ne j)</math>
が成り立つ。

ヒルベルト空間 ''H'' 上の自己随伴[[コンパクト作用素]]に対する[[スペクトル論]]によれば、''H'' は或る作用素の固有空間の直交直和に分解され、またその作用素はその固有空間への射影の直和として明示的に表される。ヒルベルト空間の直和は、（素粒子を変数にもつ系の[[フォック空間]]など）量子力学においても用いられ、そこでは直和の各成分たるヒルベルト空間と量子力学系の余剰自由度とが対応する。[[群の表現論|表現論]]における{{仮リンク|ピーター・ワイルの定理|en|Peter–Weyl theorem}}によれば、ヒルベルト空間上で定義される[[コンパクト群]]の[[ユニタリ表現]]は必ず有限次元表現の直和に分解されることが保証される。

=== テンソル積 ===
{{Main|ヒルベルト空間のテンソル積}}
二つのヒルベルト空間 ''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub> に対し、それらの（代数的な）[[テンソル積]]の上に、次のように内積を定めることができる。まず（生成元である）[[単純テンソル]]に対して
:<math> \langle x_1 \otimes x_2, \, y_1 \otimes y_2 \rangle := \langle x_1, y_1 \rangle \, \langle x_2, y_2 \rangle</math>
と定め、これを[[半双線型形式|半双線型]] (Sesquilinearly) に <math> H_1 \otimes H_2</math> 全体で定義される内積に拡張する。''H''<sub>1</sub> と ''H''<sub>2</sub> とのヒルベルトテンソル積 <math>H_1\hat{{}\otimes{}}H_2</math> とは、いま定義した内積に付随する距離位相に関して ''H''<sub>1</sub> &otimes; ''H''<sub>2</sub> を完備化して得られるものをいう<ref>{{harvnb|Weidmann|1980|loc=§3.4}}</ref>。

ヒルベルト空間 ''L''<sup>2</sup>([0,&nbsp;1]) を使って例を考えよう。''L''<sup>2</sup>([0,&nbsp;1]) の二つのコピーのヒルベルトテンソル積は、正方形 [0,&nbsp;1]<sup>2</sup> 上の自乗可積分函数の空間 ''L''<sup>2</sup>([0,&nbsp;1]<sup>2</sup>) に等距かつ線型に同型である。この同型で単純テンソル ''f''<sub>1</sub> &otimes; ''f''<sub>2</sub> は
:<math> (s, t) \mapsto f_1(s)\, f_2(t) </math>
なる正方形上の函数に写される。

この例は以下のような意味で典型的である<ref>{{harvnb|Kadison|Ringrose|1983|loc=Theorem 2.6.4}}</ref>。即ち、各単純テンソル積 ''x''<sub>1</sub> &otimes; ''x''<sub>2</sub> には（連続的）双対 ''H''<sub>1</sub><sup>∗</sup> から ''H''<sub>2</sub> への 1-階作用素
:<math> x^* \in H_1^* \to x^*(x_1) \, x_2</math>
が対応し、この単純テンソル上定義された写像を拡張して、''H''<sub>1</sub> &otimes; ''H''<sub>2</sub> と ''H''<sub>1</sub><sup>∗</sup> から ''H''<sub>2</sub> への有限階作用素全体の成す空間とを同一視する線型同型が得られる。これを拡張して、ヒルベルトテンソル積 <math>H_1\hat{{}\otimes{}}H_2</math> は ''H''<sub>1</sub><sup>∗</sup> から ''H''<sub>2</sub> への[[ヒルベルト・シュミット作用素]]全体の成すヒルベルト空間 ''HS''(''H''<sub>1</sub><sup>∗</sup>, ''H''<sub>2</sub>) に等距線型同型になることがわかる。

== 正規直交基底 ==
{{main|正規直交基底}}
線型代数学で言うような[[正規直交基底]]の概念を、ヒルベルト空間に対するものへ一般化することができる<ref>{{harvnb|Dunford|Schwartz|1958|loc=§IV.4}}.</ref>。ヒルベルト空間 ''H'' における正規直交基底とは、''H'' の元からなる族 {''e''<sub>''k''</sub>}{{nowrap|<sub>''k'' ∈ ''B''</sub>}} で、条件
# '''直交性''': ''B'' のどの相異なる二元についても、対応する ''H'' の元は互いに直交する（⟨''e''<sub>''k''</sub>, ''e''<sub>''j''</sub>⟩ = 0 for all ''k'', ''j'' in ''B'' with ''k'' ≠ ''j''）。
# '''正規性''': 族 ''e''<sub>''k''</sub> (''k'' ∈ ''B'') の各元のノルムは 1 である（&#x2016;''e''<sub>''k''</sub>&#x2016;&nbsp;=&nbsp;1 for all ''k'' in ''B''）。
# '''完全性''': 族 ''e''<sub>''k''</sub> (''k'' ∈ ''B'') の[[線型包|張る部分空間]]は ''H'' において[[稠密集合|稠密]]である。
を満足するものを言う。

上記基底の条件の最初の二つを満たすようなベクトルの集合は[[正規直交系]]と呼ばれる（''B'' が[[可算集合|可算]]のときは、正規直交列とも呼ぶ）。正規直交系は常に[[線型独立|一次独立系]]である。ヒルベルト空間のベクトルの成す正規直交系については、その完全性条件を次のように言い換えることもできる。
: 全ての ''k'' ∈ ''B'' に対して ⟨''v'', ''e''<sub>''k''</sub>⟩ = 0 を満たす ''v'' ∈ ''H'' が存在するならば、必ず ''v'' = '''0''' である。

このことは「稠密な部分集合に対して直交するようなベクトルは零ベクトルに限る」という事実と関係がある。実際、''S'' を任意の正規直交系とし、ベクトル ''v'' が ''S'' に直交するものとすると、''v'' は ''S'' の張る部分空間の閉包とも直交するが、''S'' が完全であるならばそのような閉包は全空間に他ならない。

正規直交基底の例としては、
* 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} は点乗積に関して '''R'''<sup>3</sup> の正規直交基底になる。
* 指数函数列 {''ƒ''<sub>''n''</sub> : ''n'' ∈ '''Z'''} (''ƒ''<sub>''n''</sub>(''x'') = exp(2π''inx'')) は L<sup>2</sup>([0,1]) の正規直交基底になる。
等を挙げることができる。

無限次元の場合には、正規直交基底は[[線型代数学]]でいう意味での基底にはならない（これを区別する意味で後者を[[ハメル基底]]とも呼ぶ）。基底ベクトルの張る部分空間が全空間において稠密であるということから、空間の各ベクトルが基底ベクトルの無限線型和として書けることが従う。また直交性からはそのような和としての表示の一意性が従う。

=== 数列空間の場合 ===
自乗総和可能な複素数列の空間 ℓ<sup>2</sup> とは、各項が複素数の無限数列
: <math> (c_1, c_2, c_3, \dots)</math>
で、条件
: <math> |c_1|^2 + |c_2|^2 + |c_3|^2 + \cdots < \infty</math>
を満たすもの全体からなる集合（に、項ごとの和、スカラー倍、標準内積を入れたもの）である。この空間には標準的な正規直交基底
:<math>\begin{align}
e_1 &= (1,0,0,\dots)\\
e_2 &= (0,1,0,\dots)\\
& \quad  \vdots
\end{align}</math>
が存在する。より一般に、任意の集合 ''B'' に対して、''B'' 上の自乗総和可能数列の成す空間 ℓ<sup>2</sup>(''B'') が
:<math> \ell^2(B) =\left\{ x\colon B \to \mathbb{C}\ \left|\quad \sum_{b \in B} |x(b)|^2 < \infty \right. \right\}</math>
で定義される。ただし ''B'' 上の総和というのを、ここでは
:<math>\sum_{b \in B} |x(b)|^2 = \sup\sum_{n=1}^N |x(b_n)|^2</math>
で定める（[[上限]]は ''B'' の有限部分空間すべてに亘って取る）。このようにすると、この和が有限であるところの ℓ<sup>2</sup>(''B'') の各元は、可算個の例外を除いた全ての項が 0 になることがわかる。ℓ<sup>2</sup>(''B'') の任意の元 ''x'', ''y'' に対して、
:<math>\langle x, y \rangle = \sum_{b \in B} x(b)\overline{y(b)}</math>
と内積を定めれば、この空間は実際にヒルベルト空間となる。右辺の和は、0 でない項が高々可算個しかないから意味を持ち、またコーシー・シュヴァルツの不等式によって無条件収斂であることがわかる。

ℓ<sup>2</sup>(''B'') の正規直交基底の一つは、
:<math>e_b(b') = \begin{cases}
1&\text{if } b=b'\\
0&\text{otherwise.}
\end{cases}</math>
で与えられる ''B'' で添字付けられた族によって与えられる。

=== ベッセルの不等式とパーセヴァルの公式 ===
''H'' の有限正規直交系 ƒ<sub>1</sub>, &hellip;, ƒ<sub>''n''</sub> と ''H'' の任意のベクトル ''x'' に対して
:<math>y = \sum_{j=1}^n \langle x, f_j \rangle f_j</math>
と置くと、各 ''k'' = 1, …, ''n'' に対して &lang;''x'', ƒ<sub>''k''</sub>&rang;&nbsp;= &lang;''y'', ƒ<sub>''k''</sub>&rang; が成り立つ。故に ''x'' − ''y'' は各ƒ<sub>''k''</sub> に直交し、従って ''x'' − ''y'' は ''y'' に直交する。三平方の定理を二度使い
:<math>\|x\|^2 = \|x - y\|^2 + \|y\|^2 \ge \|y\|^2 = \sum_{j=1}^n|\langle x, f_j \rangle|^2</math>
が得られる。さらに {''ƒ''<sub>''i''</sub>} (''i'' ∈ ''I'') を ''H'' の任意の正規直交系とするとき、''I'' の任意の有限部分集合 ''J'' に対して先ほどの不等式を適用すれば、（非負実数の任意濃度の族の和の定義に従って）'''ベッセルの不等式'''
:<math>\sum_{i \in I}|\langle x, f_i \rangle|^2 \le \|x\|^2, \quad x \in H</math>
が得られる<ref>添字集合が有限の場合は例えば {{harvnb|Halmos|1957|loc=§5}}、無限の場合は  {{harvnb|Weidmann|1980|loc=Theorem 3.6}} を参照。</ref>。

幾何学的には、ベッセルの不等式が言っているのは、''x'' の ''f''<sub>''i''</sub> たちが生成する部分空間の上への直交射影のノルムは ''x'' のノルムを超えないということである。二次元の場合で言えば、これは正三角形の足の長さは斜辺の長さを越えないということになる。

ベッセルの不等式はからは、より強力な[[パーセヴァルの等式]]が得られる。これはベッセルの不等式の不等号を等号に取り替えたものになっている。{''e''<sub>''k''</sub>}<sub>''k'' ∈ ''B''</sub> が ''H'' の正規直交基底ならば、''H'' の各元 ''x'' は
:<math>x = \sum_{k \in B} \langle x, e_k \rangle e_k</math>
という形に書くことができる。ベッセルの不等式によって ''B'' が非可算の場合にも、このような表示が[[well-defined|意味を持ち]]、可算個の例外を除く各項が 0 に等しいことが保証される。このような和を ''x'' の'''フーリエ展開'''と呼び、個々の係数 &lang;''x'',''e''<sub>''k''</sub>&rang; を ''x'' の'''フーリエ係数'''と呼ぶ。このとき、パーセヴァルの等式は
:<math>\|x\|^2 = \sum_{k\in B}|\langle x, e_k\rangle|^2</math>
と書ける。逆に、正規直交系 {''e''<sub>''k''</sub>} が任意の ''x'' においてパーセヴァルの等式を満足するならば、{''e''<sub>''k''</sub>} は正規直交基底になる。

=== ヒルベルト次元 ===
[[ツォルンの補題]]の帰結として、「任意の」ヒルベルト空間が少なくとも一つの正規直交基底を持つことが分かる。さらに、一つの空間ではどの二つの正規直交基底も必ず同じ[[濃度 (数学)|濃度]]を持つことが示されるので、その濃度をしてその空間のヒルベルト次元と呼ぶ<ref>{{harvnb|Levitan|2001}}。様々な文献（例えば {{harvtxt|Dunford|Schwartz|1958|loc=§IV.4}} など）ではこれを単に次元と呼ぶが、考えているヒルベルト空間が有限次元の場合を除けば、これは通常の線型空間の意味での次元（ハメル基底の濃度）と同じものではない。</ref> 例えば、''B'' 上の自乗総和可能数列の空間 ℓ<sup>2</sup>(''B'') は ''B'' で添字づけられる正規直交基底を持つから、そのヒルベルト次元は ''B'' の濃度（これは有限な整数かもしれないし、可算あるいは非可算の基数であるかもしれない）である。

パーセヴァルの等式の帰結として、{''e''<sub>''k''</sub>}<sub>''k'' ∈ ''B''</sub> が ''H'' の正規直交基底ならば、Φ(''x'') := (&lang;x, ''e''<sub>''k''</sub>&rang;)<sub>''k''∈''B''</sub> で定まる写像 Φ: ''H'' → ℓ<sup>2</sup>(''B'') はヒルベルト空間の等距同型、即ち、全単射な線型写像であって、''H'' の各元 ''x'', ''y'' に対して
: <math>\langle \Phi(x), \Phi(y) \rangle_{\ell^2(B)} = \langle x, y \rangle_H</math>
を満たすことがわかる。''B'' の[[濃度 (数学)|濃度]]は ''H'' のヒルベルト次元に等しい。従って、任意のヒルベルト空間は、適当な集合 ''B'' に対する数列空間 ℓ<sup>2</sup>(''B'') に等距同型である。

=== 可分ヒルベルト空間 ===
ヒルベルト空間が[[可分空間|可分]]であるための必要十分条件は、それが[[可算]]な正規直交基底を持つことである。従って、任意の無限次元可分ヒルベルト空間は ℓ<sup>2</sup> に等距同型になる。

かつてはヒルベルト空間の定義の中に可分であることを含めることが多かった<ref>{{harvnb|Prugovečki|1981|loc=I, §4.2}}</ref>。物理学に現れる殆どの空間は可分であったことや、どの無限次元可分ヒルベルト空間も全て互いに同型であったことから、任意の無限次元可分ヒルベルト空間に言及するときは「唯一の (''the'') ヒルベルト空間」とかあるいは単に「ヒルベルト空間」と呼ぶこともしばしばであった<ref>{{harvtxt|von Neumann|1955}} はヒルベルト空間は可算ヒルベルト基底を持つものと定義したので、そのようなものは全て ℓ<sup>2</sup> に等距同型である。量子力学の厳密な取り扱いにおいて殆どの場合この規約が用いられている（例えば {{harvnb|Sobrino|1996|loc=Appendix B}} を参照）。</ref>。[[場の量子論]]においてさえ、殆どのヒルベルト空間は事実可分であり、[[ワイトマンの公理]]として明記された。しかし、場の量子論において非可分なヒルベルト空間も重要であるというような反論が時には為された。これは大まかには理論における系が無限個の[[自由度]]を持ちうることと（1 より大きい次元を持つ空間の）無限個のテンソル積はどれも非可分であることが理由である<ref name="Streater">{{harvnb|Streater|Wightman|1964|pp=86&ndash;87}}</ref>。例えば[[ボソン|ボソン場]]は自然に、その因子が空間の各点において調和振動子で表現されるようなテンソル積の元と考えることができる。この観点からは、ボソンの空間は非可分であると見るのが自然である<ref name="Streater"/>が、しかし全テンソル積の小さな可分部分空間にしか（その上で可観測量が定義できる）物理的に意味のある場が含まれていない。もう一つの非可分ヒルベルト空間モデルは、空間の非有界領域に存在する無限個の素粒子の状態である。この空間の正規直交基底は素粒子の密度を表すある連続なパラメータによって添字付けられる。これは非可算となりうるから、基底は可算ではない<ref name="Streater"/>。

== 直交補空間と射影作用素 ==
''S'' をヒルベルト空間 ''H'' の部分集合として、''S'' に直交するベクトル全体の成す集合
:<math>S^\perp = \left\{ x \in H : \langle x, s \rangle = 0\ \forall s \in S \right\}</math>
を考える。''S''<sup>⊥</sup> は ''H'' の[[閉集合|閉]]部分空間である（これは内積の連続性と線型性用いて容易に示せる）から、それ自身ヒルベルト空間になる。''V'' が ''H'' の閉部分空間のとき、''V''<sup>⊥</sup> は ''V'' の'''直交補空間'''と呼ばれる。事実、''H'' の各元 ''x'' は ''x'' = ''v'' + ''w'' (''v'' &isin; ''V'', ''w'' &isin; ''V''<sup>⊥</sup>) なる形に一意的に表すことができる。従って、''H'' は ''V'' と ''V''<sup>⊥</sup> との内部直和になっている。

この ''x'' を ''v'' へ写す線型作用素 P<sub>''V''</sub>: ''H'' → ''H'' を ''V'' の上への'''直交射影'''と呼ぶ。''H'' の閉部分空間全体の成す集合と有界自己随伴作用素 ''P'' で ''P''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''P'' を満たすもの全体の成す集合との間に[[自然変換|自然な]]一対一対応が存在する。

; 定理: 直交射影 P<sub>''V''</sub> は ''H'' のノルム ≤ 1 なる自己随伴作用素で条件 P{{su|p=2|b=''V''}} = P<sub>''V''</sub> を満足する。さらに任意の自己随伴線型作用素  ''E'' で ''E''<sup>2</sup> = ''E'' を満たすものは、''E'' の値域を ''V'' として P<sub>''V''</sub> の形に表される。また ''H'' の各元 ''x'' に対して、P<sub>''V''</sub>(''x'') は距離 &#x2016;''x'' − ''v''&#x2016; を最小にする ''V'' の唯一の元 ''v'' になる。

このことから、''V'' の元による ''x'' の最適近似であるという P<sub>''V''</sub>(''x'') の幾何学的解釈が得られる<ref>{{harvnb|Young|1988|loc=Theorem 15.3}}</ref>。

二つの射影 ''P''<sub>''U''</sub>, ''P''<sub>''V''</sub> が互いに直交するとは、''P''<sub>''U''</sub>''P''<sub>''V''</sub>&nbsp;=&nbsp;0 が成り立つときにいう。これは  ''U'', ''V'' が ''H'' の部分空間として直交することと同値である。二つの射影 ''P''<sub>''U''</sub>, ''P''<sub>''V''</sub> の和が再び射影となるのは ''U'' と ''V'' とが互いに直交するときに限られる。このとき ''P''<sub>''U''</sub> + ''P''<sub>''V''</sup> = ''P''<sub>''U''+''V''</sub> が成り立つ。合成 ''P''<sub>''U''</sub>''P''<sub>''V''</sub> は一般には射影にならない。事実、合成が射影となる必要十分条件は二つの射影が可換となることであり、その場合 ''P''<sub>''U''</sub>''P''<sub>''V''</sub> = ''P''<sub>''U''∩''V''</sub> が成り立つ。

直交射影 ''P''<sub>''V''</sub> の終域をヒルベルト空間 ''V'' へ制限することにより、射影 &pi;: ''H'' &rarr; ''V'' が生じる。これは[[包含写像]] ''i'': ''V'' &rarr; ''H'' に対して
:<math>\langle i x, y\rangle_H = \langle x, \pi y\rangle_V\quad (x\in V,y\in H)</math>
を満たすという意味での随伴になっている。零でない閉部分空間の上への射影 ''P'' の作用素ノルムは
:<math>\|P\| = \sup_{x\in H,\atop x\neq 0} \frac{\|Px\|}{\|x\|}=1</math>
に等しい。従って、ヒルベルト空間の任意の閉部分空間 ''V'' は、ノルム 1 で ''P''<sup>2</sup> = ''P'' を満たす適当な作用素 ''P'' の像になっている。この適当な射影作用素がとれるという性質はヒルベルト空間を特徴付ける性質である<ref>{{harvnb|Kakutani|1939}}</ref>。即ち、

* 2 より大きな次元のバナッハ空間が（等距的に）ヒルベルト空間となるための必要十分条件は、任意の部分空間 ''V'' に対し、その像が ''V'' となるようなノルム 1 の作用素 ''P''<sub>''V''</sub> で ''P''{{su|b=''V''|p=2}} = ''P''<sub>''V''</sub> を満たすものが存在することである。

この結果はヒルベルト空間の距離構造を特徴付けるものだが、[[位相線型空間]]としてのヒルベルト空間の構造は補空間の存在の言葉で特徴付けられる<ref>{{harvnb|Lindenstrauss|Tzafriri|1971}}</ref>。即ち、
* バナッハ空間 ''X'' が何らかのヒルベルト空間に位相線型同型（同相かつ線型同型）であるための必要十分条件は、その任意の閉部分空間 ''V'' に対し、閉部分空間 ''W'' で ''X'' が内部直和 ''V'' &oplus; ''W'' に一致するようなものが存在することである。

直交補空間については、いくつかのより初等的な事実が成立する。「''U'' &sub; ''V'' ならば ''V''<sup>&perp;</sup> &sube; ''U''<sup>&perp;</sup> で、等号成立は ''V'' が ''U'' の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]に含まれるとき、かつそのときに限る」という意味で、直交補空間をとる操作は[[単調写像]]である。これは[[ハーン・バナッハの定理]]の特別の場合である。部分空間の閉包は直交補空間の言葉で完全に特徴付けることができる。即ち、''V'' が ''H'' の部分空間ならば、''V'' の閉包は''V''<sup>&perp;&perp;</sup> に一致する。従って、直交補空間をとる操作は、ヒルベルト空間の部分空間全体の成す[[半順序集合]]上の[[ガロワ対応]] (Galois connection) になっている。一般に、部分空間の合併の直交補空間は直交補空間の交わりに一致する<ref>{{harvnb|Halmos|1957|loc=§12}}</ref>。即ち
: <math>\Big(\sum_i V_i\Big)^\perp = \bigcap_i V_i^\perp</math>
が成り立つ。さらに ''V''<sub>''i''</sub> が閉ならば
: <math>\overline{\sum_i V_i^\perp} = \Big(\bigcap_i V_i\Big)^\perp</math>
を得る。

== スペクトル論 ==
ヒルベルト空間における自己随伴作用素の[[スペクトル論]]も広く研究が成されている。これには、実係数の場合の[[対称行列]]や複素係数の場合の[[自己随伴行列]]の研究と大まかな類似がある<ref>ヒルベルト空間におけるスペクトル論の一般的な説明が {{harvtxt|Riesz|Sz Nagy|1990}} にある。C<sup>&lowast;</sup>-環の言葉を用いたより高度な説明は {{harvtxt|Rudin|1973}} や {{harvtxt|Kadison|Ringrose|1997}} を参照。</ref>。同様の意味で、自己随伴作用素を適当な直交射影作用素の和（実際には積分）として表す「対角化」もできる。

作用素 ''T'' のスペクトル σ(''T'') とは、''T''&nbsp;&minus;&nbsp;λ が連続な逆作用素を持たないような複素数 &lambda; 全体の成す集合のことである。''T'' が有界ならば、そのスペクトルは必ずガウス平面内の[[コンパクト集合]]で、円板 {|''z''| &le; &#x2016;''T''&#x2016;} の内側に入る。''T'' が自己随伴ならばそのスペクトルは実であり、事実として区間 [''m'',''M''] に含まれる。ただし、
:<math>m=\inf_{\|x\|=1}\langle Tx, x\rangle,\quad M=\sup_{\|x\|=1}\langle Tx, x\rangle</math>
とする。さらに言えば ''m'' と ''M'' はともに実際にはスペクトルに含まれる。

作用素 ''T'' の固有空間は
:<math>H_\lambda = \ker(T-\lambda)</math>
で与えられる。有限次元の行列の場合と異なり、''T'' のスペクトルの元は必ずしも固有値にはなるとは限らず、線型作用素 ''T''&nbsp;&minus;&nbsp;λ が逆を持たないときだけである（これは全射ではないから）。作用素のスペクトルの元は一般に「スペクトル値」と呼ばれる。スペクトル値は固有値とは限らないので、スペクトル分解は有限次元の場合よりは扱いが難しいことが多い。

しかし、自己随伴作用素 ''T'' の[[スペクトル論]]は、さらに[[コンパクト作用素]]であるという仮定を加えれば特に簡単な形にすることができる。自己随伴コンパクト作用素のスペクトル論の主張は<ref>たとえば {{harvtxt|Riesz|Sz Nagy|1990|loc=Chapter VI}} や {{harvnb|Weidmann|1980|loc=Chapter 7}} を参照。この結果は、積分核から生じる作用素の場合には、既に {{harvtxt|Schmidt|1907}} で知られている。</ref>
* 自己随伴コンパクト作用素 ''T'' は高々可算個のスペクトル値しか持たない。''T'' のスペクトルがガウス平面において[[集積点]]を持つ可能性は 0 以外にはない。''T'' の固有空間は ''H'' の直交直和<div style="margin: 1ex 2em"><math>H=\bigoplus_{\lambda\in\sigma(T)}H_\lambda</math></div>に分解する。さらに固有空間 ''H''<sub>&lambda;</sub> の上への直交射影を ''E''<sub>&lambda;</sub> と書けば<div style="margin: 1ex 2em"><math>T = \sum_{\lambda\in\sigma(T)} \lambda E_\lambda</math></div>と表せる。ただし和は B(''H'') のノルムに関して収斂する。
多くの積分作用素、特に[[ヒルベルト・シュミット作用素]]から生じるものはコンパクトであり、この定理は[[積分方程式]]論において基本的な役割を果たす。

自己随伴作用素に対する一般のスペクトル論には、無限和というよりもある種の作用素値[[リーマン・スティルチェス積分]]が関係してくる<ref>{{harvnb|Riesz|Sz Nagy|1990|loc=§§107–108}}</ref>。''T'' に伴う「スペクトル族」には、各実数 λ に対して作用素 (''T'' &minus; &lambda;)<sup>+</sup> の零空間の上への射影 ''E''<sub>λ</sub> が対応している。ただし <sup>+</sup> は
:<math>A^+ = \frac{1}{2}(\sqrt{A^2}+A)</math>
で定義される自己随伴作用素の正部分を表す。作用素 ''E''<sub>λ</sub> は自己随伴作用素の間に定義される半順序に関して単調増大である。固有値はちょうど跳躍不連続点に対応しており、
:<math>T = \int_\mathbb{R} \lambda\, dE_\lambda</math>
なるスペクトル論が得られる。右辺の積分はリーマン・スティルチェス積分として理解され、B(''H'') のノルムに関して収斂する。特に、通常のスカラー値積分表現
:<math>\langle Tx, y\rangle = \int_{\mathbb{R}} \lambda\,d\langle E_\lambda x,y\rangle</math>
が得られる。正規作用素に対してもある程度似たようなスペクトル分解が成立するが、この場合実数でない複素数がスペクトルに含まれるから、作用素値スティルチェス測度 ''dE''<sub>λ</sub> は[[1の分解| 1 の分解]]で置き換えられなければならない。

スペクトル法の主な応用は[[スペクトル写像定理]]で、これにより、積分
:<math>f(T) = \int_{\sigma(T)} f(\lambda)\,dE_\lambda</math>
を作って、自己随伴作用素 ''T'' に ''T'' のスペクトル上で定義される連続な複素函数を施すことができるようになる。このような[[連続汎函数計算]] (continuous functional calculus) は特に[[擬微分作用素]]への応用を持つ<ref>{{harvnb|Shubin|1987}}</ref>。

「非有界」な自己随伴作用素のスペクトル論は、有界作用素に対するものと比べてさほど難しいわけではない。非有界作用素のスペクトルは有界作用素に対するのと全く同じやり方で定義される。つまり、λ がスペクトル値となるのは[[レゾルベント作用素]]
:<math>R_\lambda = (T-\lambda)^{-1}</math>
が連続作用素として定義されないときである。''T'' の随伴性から、やはりスペクトルが実であることが保証される。従って、非有界作用素に特有な議論の本質の部分は、&lambda; が実でないようなレゾルベント ''R''<sub>λ</sub> を見るところにある。このレゾルベントは'''有界'''正規作用素で、これをスペクトル表現したものを使って ''T'' 自身のスペクトル表現が得られる。同様の方法論で、例えばラプラス作用素のスペクトルも調べられる。作用素を直接扱うよりも、それに付随する[[リースポテンシャル]]や[[ベッセルポテンシャル]]のようなレゾルベントを見るのである。

非有界自己随伴作用素の場合に成立するスペクトル定理は以下のようなものである<ref>{{harvnb|Rudin|1973|loc=Theorem 13.30}}.</ref>。
: ヒルベルト空間 ''H'' 上稠密に定義された自己随伴作用素 ''T'' が与えられたとき、'''R''' のボレル集合族上で定義された[[1の分解| 1 の分解]] ''E'' が一意に対応して<div style="margin: 1ex 2em"><math>
  \langle Tx, y\rangle = \int_\mathbb{R} \lambda\,dE_{x,y}(\lambda)\quad(x\in D(T),y\in H)
</math></div>を満たす。スペクトル測度 ''E'' は ''T'' のスペクトル上に集中する。
非有界正規作用素に対するスペクトル定理も存在する。

== 関連項目 ==
* [[ヒルベルトC*-加群]]
* [[ヒルベルト代数]]
* [[ヒルベルト多様体]]
* [[艤装ヒルベルト空間]]
* [[作用素論]]
* [[アダマール空間]]

== 注記 ==
{{reflist|colwidth=30em}}

== 参考文献 ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
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*{{citation|last=Stein|first=E|title= Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, |publisher=Princeton Univ. Press|year=1970| isbn= 0-691-08079-8}}.
*{{citation|last1=Stein|first1=Elias|authorlink1=Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|authorlink2=Guido Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=978-0-691-08078-9|location=Princeton, N.J.}}.
* {{citation|last1=Streater|first1=Ray|authorlink1=Ray Streater|last2=Wightman|first2=Arthur|authorlink2=Arthur Wightman|title= PCT, Spin and Statistics and All That|year=1964|publisher=W. A. Benjamin, Inc}}.
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{{Refend}}
*日本数学会 『岩波数学辞典（第3版）』 岩波書店、1985年。ISBN 4000800167

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|url=HilbertSpace|title=Hilbert space}}
* [http://terrytao.wordpress.com/2009/01/17/254a-notes-5-hilbert-spaces/ 245B, notes 5: Hilbert spaces] by [[Terence Tao]]

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