パルス幅変調のソースを表示

{{変調方式}}
'''パルス幅変調'''（パルスはばへんちょう、{{lang-en|pulse width modulation}}、'''PWM'''）とは[[変調]]方法の一つであり、パルス波の[[デューティー比]]を変化させて変調すること。
* [[機械工学]]などにおいては、スイッチオン／オフの比率を変化させる手法。
* [[シンセサイザー]]で、[[パルス波]]のデューティー比を変化させること。

== パルス幅変調の式 ==
パルス幅変調の数学的扱いは次のようになる<ref>初等的な信号変調の教科書にならどの本でも書いてある。例えば、F.R.コナー著、高原幹夫訳、電子通信工学シリーズ5 変調入門、森北出版、1985年、ISBN 4-627-73350-Xなどを参照。</ref>。簡単のため、入力信号として正弦波 <math>\;v(t) = v \sin \omega t\;</math> の場合を考える。
ここで <math>\;v\;</math> は次元を持ったある定数、<math>\;\omega\;</math>、<math>\;t\;</math> はそれぞれ角振動数、時間である。
また、変調されていないときのパルス波は、周期 <math>\;T\;</math> ごとに幅 <math>\;\tau\;</math> （ただし<math>\;0<\tau<T\;</math>）の
パルスを出力するものと仮定する。
このとき、パルス幅変調された信号 <math>\;S(t)\;</math> は、周期 <math>\;T\;</math> ごとに幅 <math>\;\Delta T= \tau(1+ m \sin \omega t)\;</math> のパルスが出力されるように変調される。
<math>\;m\;</math> は変調度で、<math>\;0<\Delta T<T\;</math> でなければならないので
<math>\;0 < m <  \frac{T}{\tau}- 1\;</math> を満足しなければならない。
:<math>\;S(t) = W \sum^\infty_{n=-\infty}\left(\Theta\left(t - n T\right) - \Theta\left(t - \left(nT + \Delta T\right)\right)\right),\;</math>
ここで、<math>\;\Theta(x)\;</math>はHeaviside step function、
<math>\;W\;</math>は次元を持ったなんらかの定数である。
Heaviside step functionの[[フーリエ変換]]表示
:<math>\;\Theta(x) = \lim_{\epsilon\to +0}\int^\infty_{-\infty} \frac{dp}{2 \pi i}
\frac{1}{p - i\epsilon} e^{ i p x}, \quad i :=\sqrt{-1\,},\;</math>
や公式
:<math>\;\frac{1}{2\pi}\sum^\infty_{n=-\infty}e^{2\pi i n x} = \sum^\infty_{l=-\infty}\delta(x-2\pi l),
\qquad x\in\mathbb{R},\;</math>
を用い(ただし、<math>\;\delta(x)\;</math>は[[ディラック]]の[[デルタ関数]])
<ref><math>\;x\;</math>の定義域に注意。<math>\;x\;</math>は有限区間<math>\;[0,1]\;</math>に制限されていないので右辺の<math>\;l\;</math>の和を忘れてはいけない。</ref>、
適時積分と和の入れ替えを行うと、
<math>\;S(t)\;</math>は
:<math>\;S(t) = S_0(t) + S'(t),\;</math>
:<math>\;\begin{align}S_0 (t) &= \lim_{l,\epsilon\rightarrow +0}\frac{W}{2\pi i l + \epsilon}
\left(e^{2\pi i l t/T} - e^{2\pi i l (t - \Delta T)/T}\right) = W \frac{\Delta T}{T},\\
S'(t) &= \sum_{l\neq 0} \frac{W}{i}\frac{1}{2\pi l - i \epsilon}e^{2\pi i l t/T}(1 - e^{-2\pi i l \Delta T / T})\end{align}\;</math>
と書ける。
ここで、<math>\;S(t)\;</math>が時間の並進<math>\;t\longrightarrow t + \Delta T /2 \;</math>に対して
不変であることを用いると<ref><math>\;t\in(-\infty,\infty)\;</math>なので有限の並進に対して不変である。</ref>、
<math>\;S'(t)\;</math>をもう少しきれいに書き直すことができて、
:<math>S'(t)=\sum^\infty_{l=1}\frac{2W}{\pi l }\cos\left(\frac{2\pi l }{T}t\right) \sin\left(\frac{\pi l }{T}\Delta T\right)</math>
である。最後の項<math>\;\sin\left(\pi l / T \Delta T\right)\;</math>に<math>\;\Delta T = \tau(1 + m \sin \omega t)\;</math>を代入すると、
これは[[FM]]変調の式であることがわかる。

<math>\;S_0 (t) = W \frac{\tau}{T} (1 + m \sin \omega t)\;</math>であるから、
ローパスフィルタで<math>\;S'(t)\;</math>を除去できれば、<math>\;W\frac{\tau}{T}\;</math>分シフトされて
元の信号が復調される。

== PWM (アナログシンセサイザー) ==
[[エンベロープ]]ジェネレーターや[[LFO (電子楽器)|LFO]]など[[サブオシレータ]]でパルス幅を変化させ、
* 発振するほどの高速変化により、独特の非整数[[倍音]]を生成すること。
* 音量エンベロープのような低速変化により、連続的に音色変化（パルス波から矩形波など）させること。

== PWM (音源チップ) ==

* [[ゲームボーイアドバンス]]で使用されている。
* [[P/ECE]]で使用されている。
* [[スーパー32X]]で使用されている。{{要検証|date=2012年6月}}
* [[ファミリーコンピュータ ディスクシステム]]音源が[[波形メモリ音源|波形メモリ]]からの出力に採用しているとの説あり。{{要検証|date=2012年6月}}
** ファミコンディスクシステム音源は波形メモリに[[位相変調]]をかけることができ、出力はPWM、という説あり。{{要検証|date=2012年6月}}
* [[ワンダースワン]]音源が[[波形メモリ音源|波形メモリ]]からの出力に採用しているとの説あり。{{要検証|date=2012年6月}}

== PWM（電源回路）==
[[インバータ]]により[[直流]]を[[交流]]に変換したり、[[チョッパ制御]]により直流電圧を制御する他、[[直流電化#整流方式|整流器]]としても用いられる。いずれも電源電圧より高い電圧を得るためには[[リアクトル]]の充放電機能を用いる。また[[脈流]]や[[高調波]]となって出力されるため、やはりリアクトルを用いてそれらを平滑化する必要がある。

=== チョッパ制御 ===
[[ファイル: Chopper_jp_02.gif|thumb|right|チョッパ制御におけるPWMの例]]
{{main|チョッパ制御}}
高周波分巻式を除くチョッパ制御の場合、パルスの周波数は一定であり、パルスの幅だけを変化させることで平均電圧を可変とする。パルス幅が狭い場合は平均電圧が下がり、パルス幅が広いときは平均電圧が上がる。例えば次のパルスまでを10等分したとして、ON:OFFを2:8とすれば元の電圧の2/10つまり1/5になり、8:2なら8/10=4/5の電圧が得られる。

<br style="clear:both" />
=== インバータ ===
[[ファイル: Pwm-VVVF.png|thumb|right|インバータにおけるPWMの例]]
{{main|インバータ}}
PWMで制御するインバーターの場合は[[マイクロコンピュータ|マイコン]]により、[[スイッチング電源|スイッチング素子]]のゲート電極に信号を流すタイミングを決めるために、搬送波と呼ばれる[[三角波 (波形)|三角波]]と、基本波と呼ばれる[[正弦波]]が生成される<ref>搬送波はスイッチング素子の動作周波数を示し、基本波は出力する交流の波形を示している</ref>。ゲート電極に信号を流すゲートドライブが搬送波と基本波の交点を検出し、2個（単相交流）または4個（3レベルインバーターによる単相交流）、6個（三相交流）または12個（3レベルインバーターによる三相交流）のスイッチング素子をオン／オフする。すると右図のようなパルス（黄色い矩形）が得られ、その平均電圧（赤い線）が疑似正弦波交流になるのである。

<br style="clear:both" />

==脚注==
<references/>

{{DEFAULTSORT:はるすははへんちよう}}

[[Category:電子音源の合成方式]]
[[Category:音声処理]]
[[Category:変調方式]]