トレミーの定理のソースを表示

'''トレミーの定理'''（とれみーのていり）とは[[円 (数学)|円]]に内接する[[四角形]] ''ABCD'' において、[[辺]]の長さに関する[[等式]]
:<math>AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC</math>
が成り立つという[[ユークリッド幾何学|幾何学]]の[[定理]]。トレミーとは[[古代ギリシア]]の[[天文学者]][[クラウディオス・プトレマイオス]]のことであり、それゆえ本定理はプトレマイオスの定理とも呼ばれる。

<div style="float:right;margin:0 0 1em 1em;">[[画像:トレミーの定理.jpg]]</div>

==証明==
計算の便宜をはかり、''a'' = ''AD'', ''b'' = ''AB'', ''c'' = ''BC'', ''d'' = ''DC'' とおくことにする。また、&ang;''A'' = &ang;''DAB'', &ang;''B'' = &ang;''ABC'', &ang;''C'' = &ang;''BCD'', &ang;''D'' = &ang;''CDA'' のこととする。

[[余弦定理]]および内接四角形の性質より、
:<math>BD^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos A</math>、
:<math>BD^2 = c^2 + d^2 -2cd \cos C = c^2 + d^2 +2cd \cos A</math>
が成り立つ。ここから cos ''A'' を消去して、
:<math>(ab + cd)BD^2 = (ad + bc)(ac + bd)</math>
を得る。また ''AC'' について同様にして
:<math>(ad + bc)AC^2 = (ab + cd)(ac + bd)</math>
となるから、2 式を掛けて
:<math>(ab + cd)(bc + ad)AC^2\cdot BD^2 = (ac + bd)^2(ad + bc)(ab + cd)</math>
を得る。これを整理すれば、
:<math>AC \cdot BD = ac + bd</math>
となる。すなわち、
:<math>AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC</math>
が示された。

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