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'''ツォルンの補題'''（ツォルンのほだい、Zorn's lemma）、または、'''クラトフスキ・ツォルンの補題'''（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは、「任意の空でない帰納的順序集合（定義は後述）は、[[極大元]]を持つ」という定理である。数学者の[[マックス・ツォルン]]に因み、この名で呼ばれる。この定理は[[選択公理]]と同値である。

== 概要 ==
'''帰納的順序集合'''（inductively ordered set）とはある条件をみたす[[順序集合]]であるが、もっぱらツォルンの補題の説明に用いられる。「順序集合 (''X'', ≤) が、帰納的順序集合である」とは、「''X'' の任意の[[全順序]]部分集合が、''X'' の中に[[上界]]をもつこと」を意味する。

抽象的な外観をしているが、大変有用な定理でもある。特に代数学においてしばしば用いられる。この定理から、例えば「全ての[[ベクトル空間]]は基底を持つ」という定理を以下のようにして簡単に証明することができる。ベクトル空間 ''V'' が任意に与えられたとき、''V'' の[[一次独立]]な部分集合全体の集合 ''X'' は、包含関係 ⊂ を順序と考えて帰納的順序集合である。これの極大元の存在がツォルンの補題で示されるが、この極大元が ''V'' の[[基底]]となっている。この証明を選択公理を直接に適用して行うのは難しい。

==関連項目==
* [[選択公理]]
* [[カジミェシュ・クラトフスキ]]
* [[マックス・ツォルン]]

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[[Category:集合論]]
[[Category:代数学]]
[[Category:定理]]
[[Category:数学に関する記事]]