チューリングマシンのソースを表示

{{出典の明記|date=2011年12月}}
'''チューリングマシン '''({{lang-en-short|''Turing Machine''}}) は[[計算模型]]のひとつで、[[計算機]]を[[数学]]的に[[議論]]するための単純化・[[理想]]化された[[仮想機械]]である。

== 歴史 ==
[[1936年]]に[[イギリス]]の数学者[[アラン・チューリング]]の論文「計算可能数について──[[決定問題]]への応用」で発表された。同様の考え方は同年に[[エミール・ポスト]] (Emil Post) も独自に発表している。構想の理由、動機についてはポストの論文が明確だが、仮想機械自体に関する記述はチューリングの論文が詳細である。

== 概要 ==
[[Image:Turing Machine.png|right|300px|thumb|'''チューリングマシンの模式図''' 無限に長い節からできたテープと、テープの節を読み書きするヘッドから構成されている。ヘッドは読み取った節の内容を記憶できる。]]
チューリングの仮想機械は、
#無限に長いテープ
#その中に格納された情報を読み書きするヘッド
#機械の内部状態を記憶するメモリ
で構成され、内部状態とヘッドから読み出した情報の組み合わせに応じて、次の動作を実行する。
*ヘッド位置のテープに情報を書き込む
*機械の内部状態を変える
*ヘッドを右か左に一つ移動する
上の動作を、機械は内部状態が停止状態になるまで反復して実行し続ける。

== 現実の計算との関係 ==
実際の計算機の基本的動作も、突き詰めて考えれば、このチューリング機械の原理に従っているといえる。実用上の電子計算機はチューリング機械よりも遥かに複雑であり、また有限の記憶領域しか持たないが、「計算機で原理上解ける問題」は「チューリング機械で解ける問題」と同じであるといわれている。このため計算理論では、[[アルゴリズム|算法]]あるいは[[算譜]]をチューリング機械と同一視する（[[チャーチ＝チューリングのテーゼ]]）。

数学の[[形式体系]]はすべてこの仮想機械の動作に還元できるといわれている。この機械で決定できない命題も存在する。例えば与えられたチューリング機械が停止するかどうかをチューリング機械で決定することはできない（[[停止性問題]]）。これは[[ゲーデルの不完全性定理]]の別表現とみなすことができる。

== 形式的定義 ==
チューリング機械とは次の<math>7</math>つ組<math>M = \langle Q, \mathit\Gamma, b, \mathit\Sigma, \delta, q _{\mathrm{init}}, q _{\mathrm{acc}} \rangle</math>である。
* Q は[[有限集合]]であり、その元を'''状態'''という。
* ''Γ'' は ''Q'' に交わらない有限集合であり、'''[[アルファベット (計算機科学)|字母]]'''とよばれる。その元を'''記号'''という。
* b は ''Γ'' の元であり、'''空白記号'''とよばれる。
* ''Σ'' は ''Γ'' - {b} の部分集合であり、'''入力字母'''とよばれる。その元を'''入力記号'''という。
* δ は Q &times; ''Γ'' から Q &times; ''Γ'' &times; {left, right} への写像であり、'''遷移函数'''とよばれる。δ(q, a) = (q', a', m) は、「現在の状態が q であり、着目位置にある記号が a であれば、状態を q' に移し、着目位置に記号 a' を書き込んでから、着目位置を m 方向に1つずらす」と読む。
* q<sub>init</sub> は Q の元であり、'''初期状態'''とよばれる。
* q<sub>acc</sub> は Q の元であり、'''受理状態'''とよばれる。
M の'''状況'''とは、<math>\mathit\Gamma \cup Q</math>上の（片側）無限列のうち、Q の元がちょうど1度現れ、また b 以外の記号が有限回しか現れないものをいう。遷移函数 δ は、状況から状況への写像を自然に定める。M が文字列<math>x \in \Sigma ^*</math>を'''受理'''するとは、状況<math>q _{\mathrm{init}} x b b \cdots</math>にこの写像を有限回施すことで状況<math>q _{\mathrm{acc}} b b \cdots</math>が得られることをいう。その最小回数を M の x に対する'''実行時間'''とよぶ。その過程における状況中の q の最右位置を、M が x に対して使用する'''記憶領域量'''という。

M が言語<math>L \subseteq \mathit\Sigma ^*</math>を'''認識'''するとは、M が L の元のみをみな受理することをいう。そのようなチューリング機械 M が存在するとき、L は'''帰納可枚挙'''（recursively enumerable）あるいは'''計算可枚挙'''（computably enumerable）であるという。L と<math>\mathit\Sigma ^* \setminus L</math>がともに帰納可枚挙であるとき、Lは'''帰納的'''（recursive）あるいは'''決定可能'''（decidable）であるという。

より精細に、自然数から自然数への写像 t に対し、M が L を'''時間計算量'''［ないし'''空間計算量'''］t で認識するとは、M が L を認識し、かつ各<math>x \in L</math>に対する<math>M</math>の実行時間［ないし記憶領域量］が<math>t (\left| x \right|)</math>以下であることをいう。ここで<math>\left| x \right|</math>は文字列 x の長さを表す。

== 変種 ==
=== 細かい相違 ===
次の各項目について上記の定義に変更を施しても、帰納可枚挙な言語は変わらず、また時間計算量や空間計算量に対する影響も小さい。このため、チューリング機械の定義の詳細は文献によって異なっている。
* 字母<math>\mathit\Gamma</math>の大きさ（それが<math>\mathit\Sigma</math>を含む有限集合であるかぎり）。
* 遷移函数が着目位置を左右に必ず動かすか、同じ位置に留まる事を許すか。
* 文字列を受理するさい、テープ上の記号をすべて<math>b</math>にする必要があるか、受理状態へ移るだけでよいか。
* テープが両方向に無限であるか、片側に終端があるか。
* さらに、記憶領域が一次元のテープであるか、より複雑な形状をしているか。
* テープの本数。
空間計算量を細かく調べるときには、書き換えできない入力専用テープを設けて、そこでの使用領域量を無視することがある。すなわち、遷移函数<math>\delta</math>を<math>Q \times \mathit\Gamma ^2</math>から<math>Q \times \mathit\Gamma \times \{\mathrm{left}, \mathrm{right}\} ^2</math>への写像とし、状況の定義も適切に変更する。

=== 変換機 ===
言語を認識するだけでなく、<math>\mathit\Sigma ^*</math>から<math>\mathit\Sigma ^*</math>への部分函数<math>f</math>を'''計算'''する機械を考えることもできる。すなわち機械<math>M</math>は、各<math>x \in \mathrm{dom} (f)</math>に対しては文字列<math>f (x)</math>をテープに書いてから初めて受理状態へ移り、<math>x \notin \mathrm{dom} (f)</math>に対しては決して受理状態へ移らない。このような<math>M</math>が存在するとき、<math>f</math>は'''部分帰納的'''あるいは'''[[計算可能性理論|計算可能]]'''（computable）であるという。

=== 決定的と非決定的 ===
遷移関数<math>\delta</math>において、現在の状態 q と着目位置にある記号 a の、ある組 (q, a) に対し、値（すなわちその時にすべき動作）が、高々一つならば、そのチューリングマシンは「決定的」（deterministic）である。これに対し、動作が複数の場合は「非決定的」（non-deterministic）であり、受理の意味も再定義して、[[非決定性チューリングマシン]]や乱択チューリングマシンが定義される。

=== 神託つき機械 ===
{{main|神託機械}}
質問状態を加える。

== 万能チューリングマシン ==
遷移規則をうまく構成することで、驚くべきことに、いかなるチューリングマシンであろうとも、それを模倣することが可能なチューリングマシン（'''万能チューリングマシン'''）が可能である。万能チューリングマシンは、与えられた、別のチューリングマシンを記述した記号列と、そのチューリングマシンへの入力記号列を読みこみ、それに従って動く。（[[エミュレータ (コンピュータ)|エミュレータ]]の原理）
<!--また全てのチューリングマシンは万能チューリングマシンであることも証明されている。すなわち究極的にはひとつのコンピュータアーキテクチャだけで事足りるということである。

しばしば誤って説明されがちであるが、万能チューリングマシンとはコンピュータで別のコンピュータをシミュレートできる原理であって、[[ノイマン型|ノイマンコンピュータ]]の原理とは無関係である。
ノイマンコンピュータとは本来のチューリングマシンのあらゆる計算を可能にする能力を生かすために、あらゆるコンピュータプログラムを入れ替え可能なストアードプログラムとして次々にメモリに入れ替えて実行させ、実際に、あらゆる計算可能性に近づける工夫である。--><!-- とりあえずコメントアウトしておくが多分チューリング完全についてわかってない奴が書いたように思う -->

==関連項目==
{{commons|Category:Turing machine}}
{{Refbegin|2}}
* [[チューリング完全]]
* [[非決定性チューリングマシン]]
* [[コルモゴロフ複雑性]]
* [[ライフゲーム]]
* [[停止性問題]]
* [[可逆チューリングマシン]]
* [[オートマトン]]
{{refend}}

== 外部リンク ==
=== 解説 ===
* {{Spedia|Turing_machine|Turing machine}}
{{SEP|turing-machine/|Turing Machines}}
* {{MathWorld|urlname=TuringMachine|title=Turing Machine}}

=== その他 ===
* [http://wired.jp/wv/2007/10/26/%e3%80%8c%e3%82%a6%e3%83%ab%e3%83%95%e3%83%a9%e3%83%a0%e6%b0%8f%e3%81%ae%e3%83%81%e3%83%a5%e3%83%bc%e3%83%aa%e3%83%b3%e3%82%b0%e3%83%9e%e3%82%b7%e3%83%b3%e3%80%8d%e3%82%9220%e6%ad%b3%e3%81%ae%e5%ad%a6/ 「ウルフラム氏のチューリングマシン」を20歳の学生が証明]

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[[Category:理論計算機科学]]
[[Category:計算モデル]]
[[Category:形式手法]]
[[Category:数学に関する記事]]
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