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'''クロス積(外積)'''（クロスせき、{{lang|en|cross product}}）、'''ベクトル積'''（ベクトルせき、{{lang|en|vector product}}）とは、[[ベクトル解析]]において、2 つの[[3次元]][[ベクトル]] '''a''' と '''b''' に対して定義される演算 '''a''' &times; '''b''' である。これは、[[外積]]の3次元での特殊ケースである。

== 定義 ==
3次元ベクトル '''a''', '''b''' の外積は次の定義による大きさと向きを持つ3次元ベクトルである。'''a''', '''b''' の[[ベクトルのなす角|なす角]]を &theta;とするとき、外積の大きさ |'''a''' &times; '''b'''| は、
: <math>|\mathbf a\times\mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta</math>
で与えられる。これからわかるように、外積の大きさは、二つのベクトルが作る[[平行四辺形]]の面積である。また、その向きは、[[右手系]]の場合、'''a''', '''b''' を含む平面で '''a''' をその始点の周りに (&theta;だけ) 回転させて '''b''' に重ねるとき、右ねじの進む向きである。すなわち，右手の親指を'''a'''、人差し指を'''b'''としたときに中指が外積の向きを表す。なお、[[左手系]]の場合、'''b''' をその始点の周りに (&theta;だけ) 回転させて '''a''' に重ねるとき、右ねじの進む向きである。すなわち、左手の親指を'''a'''、人差し指を'''b'''としたときに中指が外積の向きを表す。

[[成分]]で書くと、<math>\mathbf a = (a_x, a_y, a_z)</math> , <math>\mathbf b = (b_x, b_y, b_z)</math> のとき、
: <math>\mathbf a\times\mathbf b = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)</math>

[[エディントンのイプシロン]]<math>\epsilon_{ijk}</math>を用いると、
: <math>(\mathbf a\times\mathbf b)_i=\sum_{j,k}\epsilon_{ijk} a_j b_k</math>

[[行列式]]を使うと次のようにも書ける。
: <math>
 \mathbf a\times\mathbf b =
 \begin{vmatrix}
 a_x & a_y & a_z\\
 b_x & b_y & b_z\\
 \mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z
 \end{vmatrix} = 
 \left(
 \begin{vmatrix}a_y & a_z \\ b_y & b_z\end{vmatrix},
 \begin{vmatrix}a_z & a_x \\ b_z & b_x\end{vmatrix},
 \begin{vmatrix}a_x & a_y \\ b_x & b_y\end{vmatrix}
 \right)
 </math>

ここで、'''e'''<sub>''x''</sub>, '''e'''<sub>''y''</sub>, '''e'''<sub>''z''</sub> はそれぞれ ''x'' 軸, ''y'' 軸, ''z'' 軸の正の向きの単位ベクトル、'''e'''<sub>''x''</sub> = (1, 0, 0), '''e'''<sub>''y''</sub> = (0, 1, 0), '''e'''<sub>''z''</sub> = (0, 0, 1) である。

=== 座標系との関係 ===
クロス積の定義は、直交座標系の座標軸の正の順序（もしくはその[[対称群#互換|偶置換]]）<math>\, i,\,j,\,k</math>に基づき、<math>\, \boldsymbol{e}_i \times \boldsymbol{e}_j = \boldsymbol{e}_k</math>（例えば<math>\, \boldsymbol{e}_x \times \boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z</math>）となる。実空間でどのような方向関係にあるかは、座標系が[[右手系]]か[[左手系]]かに依存することになる。

== 外積の性質 ==
任意のベクトル '''a''', '''b''', '''c''' ∈ '''R'''<sup>3</sup>、任意の[[スカラー]] ''k'' ∈ '''R''' について、
# <math>\mathbf a\times\mathbf a = \mathbf 0</math>
# <math>\mathbf b\times\mathbf a = -\mathbf a\times\mathbf b</math>
# <math>(\mathbf a + \mathbf b)\times\mathbf c = \mathbf a\times\mathbf c + \mathbf b\times\mathbf c</math>
# <math>\mathbf a\times(\mathbf b + \mathbf c) = \mathbf a\times\mathbf b + \mathbf a\times\mathbf c</math>
# <math>(k\mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf a\times(k\mathbf b) = k(\mathbf a\times\mathbf b)</math>
# <math>\mathbf a\times\mathbf 0 = \mathbf 0\times\mathbf a = \mathbf 0</math>
# <math>\mathbf a\times(\mathbf b\times \mathbf c) + \mathbf b\times(\mathbf c\times \mathbf a) +
\mathbf c\times(\mathbf a\times \mathbf b) = \mathbf 0 </math>
# （[[ベクトル三重積]]）<math> \mathbf a \times ( \mathbf b \times \mathbf c) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)\mathbf b - (\mathbf a \cdot \mathbf b)\mathbf c </math>
が成立する。[[ドット積]]とは性質 
:1'.　<math>\mathbf a\cdot\mathbf a = |\mathbf a|^2</math>
:2'.　<math>\mathbf a\cdot\mathbf b = \mathbf b\cdot\mathbf a </math> 
が異なることに注意が必要。7式は、いわゆる[[ヤコビ恒等式]]('''Jacobi Identity''')である。

== ベクトル三重積性質の証明 ==
{{Main|ベクトル三重積}}
ベクトル三重積：<math> \mathbf a \times ( \mathbf b \times \mathbf c) </math>

ベクトル<math>\mathbf a</math>とベクトル<math>(\mathbf b \times \mathbf c)</math>の外積であるから、これはベクトルである。その''x'' 成分は

: <math>\begin{align}
\{a \times (b \times c) \}_x 
&= a_y (b \times c)_z - a_z (b \times c)_y \\
&= a_y (b_x c_y - b_y c_x) - a_z (b_z c_x -b_x c_z) \\
&= a_y b_x c_y - a_y b _y c_x - a_z b_z c_x + a_z b_x c_z \\
&= ( a_y c_y + a_z c_z) b_x - (a_y b_y + a_z b_z) c_x \\
&= (a_y c_y + a_z c_z) b_x + a_x b_x c_x - (a_y b_y + a_z b_z) c_x - a_x b_x c_x \\
&=(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) b_x - (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) c_x \\
&=(a \cdot c) b_x - (a \cdot b) c_x \end{align}</math>

同様にして、''y'' 成分、''z'' 成分は、
: <math>\begin{align}&\{a \times (b \times c) \}_y = (a \cdot c) b_y - (a \cdot b) c_y \\
& \{a \times (b \times c) \}_z = (a \cdot c) b_z - (a \cdot b) c_z \end{align}</math>

ゆえに、
: <math>a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c</math>

== 多次元への拡張 ==
=== 行列式を使った拡張 ===
行列式による定義
: <math> \mathbf a \times  \mathbf b =
 \begin{vmatrix}
 \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3 \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3
 \end{vmatrix} =
 \begin{vmatrix}
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3
 \end{vmatrix} =
 \left(
 \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix},
 \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix},
 \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}
\right) </math>

を拡張して、''n'' 次元ベクトルの ''n'' - 1 項演算としてのクロス積
: <math> \times(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \cdots, \mathbf a_{n-1}) = \mathbf a_1 \times \mathbf a_2 \times \cdots \times \mathbf a_{n-1} = (\pm)^{n+1}
 \begin{vmatrix}
 \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \cdots & \mathbf e_n \\
 a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
 a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n}
 \end{vmatrix} </math>
を定義できる。なお、2項演算以外では[[中置記法]] <math> a \times b </math> は不便なため、<math> \times(\cdots)</math> の関数表現を使った。

<math>(\pm)^{n+1}</math> は、奇数次元では1だが偶数次元では複号 <math>\pm</math> となることを意味する。これは、上の式では基底を1行目においたが、最後の行に置いた場合、偶数次元では上の行列式の-1倍になることに起因する。

たとえば、1、2、4次元ではそれぞれ[[定数]]、[[単項演算]]、[[三項演算]]
: <math> \times() = \det(\mathbf e_1) = (1) </math>
: <math> \times(\mathbf a) = \pm \begin{vmatrix} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 \\ a_1 & a_2 \end{vmatrix} = (\pm a_2, \mp a_1) </math>
: <math> \times(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c) = \mathbf a \times \mathbf b \times \mathbf c =
 \pm \begin{vmatrix}
 \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3 & \mathbf e_4 \\
 a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\
 b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\
 c_1 & c_2 & c_3 & c_4
 \end{vmatrix} = \left(
 \pm \begin{vmatrix} a_2 & a_3 & a_4 \\ b_2 & b_3 & b_4 \\ c_2 & c_3 & c_4 \end{vmatrix},
 \mp \begin{vmatrix} a_3 & a_4 & a_1 \\ b_3 & b_4 & b_1 \\ c_3 & c_4 & c_1 \end{vmatrix},
 \pm \begin{vmatrix} a_4 & a_1 & a_2 \\ b_4 & b_1 & b_2 \\ c_4 & c_1 & c_2 \end{vmatrix},
 \mp \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \right) </math>
となる（複合は同順）。

=== 多元数を使った拡張 ===
3次元のクロス積
:<math> (a_1, a_2, a_3) \times (b_1, b_2, b_3) = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1) </math>
は、[[4元数]]（<math>a + bi + cj + dk</math>）のベクトル成分（<math>bi + cj + dk</math> の部分）の[[乗算]]
:<math> (a_1 i + a_2 j + a_3 k) (b_1 i + b_2 j + b_3 k) = (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) + (a_2 b_3 - a_3 b_2) i + (a_3 b_1 - a_1 b_3) j + (a_1 b_2 - a_2 b_1) k \,</math>
のベクトル成分で定義できる。ちなみに、スカラー成分 <math> a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 </math> は[[内積]]になっている。

これを多元数に拡張すると、''n'' + 1 元数の乗算から ''n'' 次元でのクロス積を定義できる。つまり、[[実数]]（1元数）、[[複素数]]（2元数）、4元数、[[8元数]]の乗算から、0次元、1次元、3次元、7次元でのクロス積が定義できる（要素数が多くなるため縦ベクトルで表す）。

:<math>\begin{align} &() \times () = () \\
& (a_1) \times (b_1) = (0) \\
& \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix} \\

& \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 \\ a_7 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ b_5 \\ b_6 \\ b_7 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_2 b_3 - a_3 b_2 - a_4 b_5 + a_5 b_4 - a_6 b_7 + a_7 b_6 \\
-a_1 b_3 + a_3 b_1 - a_4 b_6 + a_5 b_7 + a_6 b_4 - a_7 b_5 \\
a_1 b_2 - a_2 b_1 - a_4 b_7 - a_5 b_6 + a_6 b_5 + a_7 b_4 \\
a_1 b_5 + a_2 b_6 + a_3 b_7 - a_5 b_1 - a_6 b_2 - a_7 b_3 \\
-a_1 b_4 - a_2 b_7 + a_3 b_6 + a_4 b_1 - a_6 b_3 + a_7 b_2 \\
a_1 b_7 - a_2 b_4 - a_3 b_5 + a_4 b_2 + a_5 b_3 - a_7 b_1 \\
-a_1 b_6 + a_2 b_5 - a_3 b_4 + a_4 b_3 - a_5 b_2 + a_6 b_1
\end{pmatrix} \end{align}</math>

これら以外の次元では、必要な[[対称性]]を持つ乗算が定義できないため、クロス積は定義できない。また、0次元では自明なことを確認できるにすぎず、1次元のクロス積は常に[[零ベクトル]]である。

===直積を使った拡張（外積）===
クロス積は、[[直積]]
:<math> \mathbf{a} \circ \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b}^{\operatorname{T}} = (a_i b_j) </math>
を使って
:<math> \mathbf a \times \mathbf b = \mathbf a \circ \mathbf b - \mathbf b \circ \mathbf a </math> (*)
と定義できる。ただしここで、[[反対称テンソル]]と[[擬ベクトル]]を等価
:<math> (x, y, z) = \begin{pmatrix} 0 & z & -y \\ -z & 0 & x \\ y & -x & 0 \end{pmatrix} </math>
としたが、これを[[ホッジ作用素]]で[[写像]]として明示すると
:<math> \mathbf a \times \mathbf b = * ( \mathbf a \circ \mathbf b - \mathbf b \circ \mathbf a) </math>
と書ける。

(*)式はそのまま、一般次元での定義に使える。ただし、これで定義できる積は、クロス積ではなく[[外積]]と呼び、

:<math> \mathbf a \wedge \mathbf b = \mathbf a \circ \mathbf b - \mathbf b \circ \mathbf a </math>

で表す。外積は3次元ではクロス積に一致するが、同義語ではないので注意が必要である。

外積は2階の反対称テンソルであり、これはホッジ作用素により、''n'' 次元では ''n'' - 2 階の[[擬テンソル]]に写像できる。つまり、2次元では[[擬スカラー]]（0階の擬テンソル）、3次元では[[擬ベクトル]]（1階の擬テンソル）に写像できるが、4次元以上ではテンソルとして扱うしかない。

== 関連項目 ==
* [[ドット積]]
* [[ウェッジ積]]

{{DEFAULTSORT:くろすせき}}
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:物理数学]]
[[Category:数学に関する記事]]