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'''エバルトの方法'''（エバルトのほうほう、Ewald method）は、[[分子動力学法]]、[[量子化学的手法]]、[[バンド計算]]手法などで、[[単位胞]]（または[[スーパーセル法|スーパーセル]]）内の[[原子核]]（または[[イオン芯]]）同士の[[クーロン相互作用]]を効率良く計算する手法。

計算対象を[[実空間]]での計算が都合のよい部分と、[[逆格子空間]]での計算が都合のよい部分との二つに分けて別々に計算を行い、これら二つの計算結果の和が求めるべき答となる。

==具体例==
格子点<math>\mathbf{l}</math>におかれたイオンの作る静電ポテンシャル<math>\phi(\mathbf{r})</math>を例にとって説明する。<math>\phi(\mathbf{r})</math>は[[係数]]を省略すれば次の式で書ける。
:<math>
\phi(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{l}} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|}
</math>
静電ポテンシャル<math>\phi(\mathbf{r})</math>を、関数<math>f(\mathbf{r})</math>を用いて、次のように分割する。
:<math>
\phi(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{l}} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|}f(\mathbf{r})+\sum_{\mathbf{l}} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|}(1-f(\mathbf{r}))
</math>
ここで、<math>f(\mathbf{r})</math>として短距離で0に[[収束]]する関数をうまく選び、第１項の和が実空間で短距離で0に収束し、第２項の和が逆格子空間で短距離で0に収束すると計算上都合がよい。
実際には、<math>f(\mathbf{r})</math>として[[相補誤差関数]]''erfc'' がよく使われる。Gを任意の定数として<math>f(\mathbf{r})=\operatorname{erfc}(G\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|)</math>を、<math>1-f(\mathbf{r})</math>は[[誤差関数]]の定義式を代入すると
:<math>
\phi(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{l}} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|}\operatorname{erfc}(G\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|) + \sum_{\mathbf{l}} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{G\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|} e^{-t^2}\,\mathrm dt
</math>
第２項で<math>t=\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|\rho</math>とおいて変数変換する。
:<math>
\phi(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{l}} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|}\operatorname{erfc}(G\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|) + \int_0^G \sum_{\mathbf{l}} \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|^2\rho^2}\,\mathrm d\rho </math>
第２項の被積分関数は、格子の周期を持つ<math>\mathbf{r}</math>の関数であるから、[[フーリエ級数]]に展開できる。単位格子の体積を<math>v_{cell}</math>とおくと、次のように第２項を展開できる。
:<math>\begin{align}
 \phi(\mathbf{r}) & = \sum_{\mathbf{l}} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|}\operatorname{erfc}(G\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|) + \int_0^G \sum_{\mathbf{g}} \frac{2\pi}{v_{cell}} \frac{1}{\rho^3} e^{-\left|\mathbf{g}\right|^2/4\rho^2} e^{i\mathbf{g}\cdot\mathbf{r}}\,\mathrm d\rho \\
& = \sum_{\mathbf{l}} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|}\operatorname{erfc}(G\left|\mathbf{r}-\mathbf{l}\right|) + \frac{4\pi}{v_{cell}} \sum_{\mathbf{g}} \frac{e^{-\left|\mathbf{g}\right|^2/4G^2}}{\left|\mathbf{g}\right|^2} e^{i\mathbf{g}\cdot\mathbf{r}}
\end{align} </math>
よって、<math>\operatorname{erfc}(x)</math>や<math>e^{-x}</math>といった、<math>x</math>について速やかに0に収束する関数が現れる形に変形することができた。
後は、各項がそれぞれ<math>\mathbf{l}</math>と<math>\mathbf{g}</math>に対して速く収束するように適当なGの値を選べば効率よく計算できる。

==関連項目==
*[[マーデルングエネルギー]]
*[[計算物理]]
*[[第一原理バンド計算]]

{{DEFAULTSORT:えはるとのほうほう}}
[[Category:固体物理学]]
[[Category:計算物理学]]