アーベル群のソースを表示

[[数学]]、とくに[[抽象代数学]]における'''アーベル群'''（アーベルぐん、{{lang-en-short|''abelian group''}}<ref group="注">[[エポニム|人名に由来する名称]]なので、通常は Abelian group と A を大文字にすべきところであるが、しばしばアーベル群は数学のあらゆるところに遍在するという意味を込めて "abelian" と記される。[http://www.maa.org/devlin/devlin_04_04.html Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel<!-- Bot generated title -->]</ref>）または'''可換群'''（かかんぐん、{{lang-en-short|''commutative group''}}）とは、定義される[[二項演算|乗法]]が[[交換法則|可換]]な[[群論|群]]のことである。名称は、ノルウェーの数学者[[ニールス・アーベル]]に因む。しばしば、演算は "+" を用いて[[加法|加法的]]に記されて'''加法群'''（かほうぐん、{{lang-en-short|''additive group''}}）ともよばれる<ref group="注">単純に言えば、アーベル群とは足し算と引き算が自由にできる代数的な対象である。</ref>。また、[[加群]]（かぐん、{{lang-en-short|''module''}}）とも呼ばれることがあるがこの場合、別の代数系からの作用とともに考えていることが多い（[[環上の加群]]、[[群上の加群]]など）。

== 定義 ==
[[集合]] ''G'' に[[二項演算]]（"*" と書くことにする）が定義されていて、以下の条件
# [[結合法則]]: <math>a * (b * c) = (a * b) * c</math>.
# [[単位元]]の存在:<math>\exists1;\ a * 1 = 1 * a = a</math>.
# [[逆元]]の存在: <math>\forall a, \exists a^{-1};\ a * a^{-1} = a^{-1} * a = 1</math>.
# [[交換法則]]: <math>a * b = b * a</math>.
（ただし、''a'', ''b'', ''c'' は ''G'' の任意の元）を全て満たすとき、''G'' と演算 "*" の組 (''G'', *) を'''アーベル群'''という。考えている演算があきらかなときは省略して単に ''G'' をアーベル群と呼ぶ。

アーベル群ではしばしば演算子を "+" と記す。このとき単位元を[[零元]]と呼んで 0 などで表し、逆元も &minus;''a'' のように[[プラス記号とマイナス記号|負符号]]を用いて表して'''マイナス元'''あるいは'''反数'''とよぶ。また、''a'' + (&minus;''b'') は ''a'' &minus; ''b'' と書かれ、''a'' から ''b'' を引くという[[減法]]が定義される。このような記法を'''加法的な記法'''と呼び、対して先に述べたような通常の群でよく使われる記法を'''乗法的な記法'''ということがある。アーベル群の定義を加法的に記せば
# 結合法則: <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math>.
# [[零元]]の存在: <math>\exists 0;\ a + 0 = 0 + a = a</math>.
# マイナス元の存在: <math>\forall a, \exists -a;\ a + (-a) = (-a) + a = 0</math>.
# 交換法則: <math>a + b = b + a</math>.
のようになる。以降ではアーベル群を主に加法的に記す。

== 例 ==
* [[整数]]の全体 '''Z'''、[[有理数]]の全体 '''Q'''、[[実数]]の全体 '''R'''、[[複素数]]の全体 '''C''' は全て通常の[[加法]]に関してアーベル群である。一方 [[自然数]]の全体 '''N''' は加法（の逆演算としての[[減法]]）に関して閉じていないのでアーベル群ではない。
* 乗法に関し、有理数全体の集合 '''Q''' は 0 の逆元が無いので群にならないが、'''Q''' から 0 を除いた集合（これを慣習的に '''Q'''<sup>*</sup> と書く）で乗法を考えたものは群になり（乗法群と言われる）、これもアーベル群の例である。同様に、0 以外の実数全体 '''R'''<sup>*</sup> や 0 以外の複素数全体 '''C'''<sup>*</sup> も乗法に関してアーベル群となる。また例えば 0 以外の整数の全体 '''Z'''<sup>*</sup> は乗法に関して群にはならないが、その部分集合 {&plusmn;1} は乗法に関するアーベル群である。
* [[楕円曲線]] ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + ''ax'' + ''b'' の解集合には、加法を定義することができ、アーベル群になる。

== アーベル群の準同型 ==
2 つのアーベル群 (''M'', +), (''N'', +') を考える。''M'' から ''N'' への写像 &rho;: ''M'' &rarr; ''N'' が任意の ''x'', ''y'' &isin; ''M'' について
: &rho;(''x'' + ''y'') = &rho;(''x'') +' &rho;(''y'')
をみたすとき、&rho; は (''M'', +) から (''N'', +') への'''アーベル群の[[準同型]]'''であるといい、さらに[[全単射]]ならばアーベル群の'''同型'''であるという。これは単に[[群論#群の準同型・同型|群としての準同型]] ({{lang-en-short|''group homomorphism''}}) とまったく同じ概念である。''M'' から ''N'' へのアーベル群の準同型全体の成す集合を Hom(''M'',''N'') などと記す。このとき、 
:<math>\mbox{Hom}(M,N):=\{\phi\colon M\to N\mid \phi\colon \mbox{homom.}\}</math>
には、&phi;, &psi; &isin; Hom(''M'', ''N'') に対して 
:<math>(\phi+\psi)(x) := \phi(x) + \psi(x) \quad (x \in M)</math>
として和 &phi; + &psi; をさだめる（これを「''N'' における和が Hom(''M'',''N'') に加法を誘導する」などという）ことができて、この加法に関して Hom(''M'', ''N'') はまたアーベル群となる。さらに、アーベル群 ''M'' の[[準同型#自己同型群・自己準同型環|自己準同型]]の全体 
:<math>\mbox{End}(M):= \mbox{Hom}(M,M)</math>
には ''M'' における和が導く加法が定まり、さらに写像の合成
:<math>(\phi\circ\psi)(x) := \phi(\psi(x))\quad
  (\phi, \psi \in \mbox{End}(M), x \in M)
</math>
を積として[[環論|環]]をなす。これを ''M'' 上の'''自己準同型環'''という。

== 性質 ==
=== 自明な性質 ===
一般の群においていくつかの条件によって規定されるような概念の中には、それがアーベル群においては特に何の制約も課さないこと（数学の文脈ではこれを自明な条件などと通常は言い表す）と等価になるようなものが見られる。例えば
* アーベル群の任意の部分群は[[群論#部分群|正規部分群]]である。
* 任意のアーベル群は[[群論#可解群・交換子群|可解]]である。
などが挙げられる。

=== 有限生成アーベル群の基本定理 ===
有限生成なアーベル群は、そうでない群と比べて著しく単純な構造を持つ：

アーベル群 ''G'' が[[生成 (数学)|有限生成]]であれば、''G'' は無限[[巡回群]] '''Z''' と素数べきの[[群論#位数|位数]]を持つ巡回群 '''Z''' / ''m''<sub>1</sub>'''Z''', ..., '''Z''' / ''m''<sub>''t''</sub>'''Z''' の[[直積]]
:<math>\mathbb{Z}^n \times \mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/m_t\mathbb{Z}</math>

に[[同型]]で、''n'' や ''m''<sub>1</sub>, ..., ''m''<sub>''t''</sub> は入れ替えを除いて一意的である（アーベル群 ''G'' の'''不変系'''と呼ばれる）。

少し形を変えて、''G'' を次のように書くことも出来る；
:<math>\mathbb{Z}^n \times \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/d_u\mathbb{Z}</math>

ここで、''d''<sub>1</sub> [[約数|<nowiki>|</nowiki>]] ''d''<sub>2</sub> | ... | ''d''<sub>''u''</sub> であり、''d''<sub>1</sub>,..., ''d''<sub>''u''</sub> は一意的に決まる。

有限生成アーベル群は有限の[[階数]]として、上の ''n'' を持つ。一方でこの逆は正しくなく、有限の階数を持つが有限生成でないアーベル群はたくさんある。

この定理によって有限生成なアーベル群、特に位数が有限なアーベル群は完全に分類できる。そのため、これは群論において大変有用な定理である。これに対して、有限生成でないアーベル群に関しては、今でも研究が進められている。特に、階数が無限のアーベル群は非常に複雑になる。

もう少し一般化して、[[単項イデアル整域]]上の有限生成加群に対しても全く同様の定理が証明できる。

== 関連項目 ==
* [[群論]]

== 注記 ==
<references group="注"/>

== 参考文献 ==
<references />

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[[Category:群論]]
[[Category:代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]