二次関数

2014-05-30T03:12:22Z

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[[ファイル:Polynomialdeg 2.svg|thumb|200px|二次関数はグラフでは[[放物線]]を表す。図はy = ''x''2 − ''x'' − 2のグラフ。]]

'''二次関数'''（にじかんすう、{{lang-en-short|''quadratic function''}}）とは、次数が2の[[多項式]]によってあらわされる[[関数 (数学)|関数]]のことである。

== 概要 ==
二次関数とは
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)</math>
の形で表される[[関数 (数学)|関数]]のことである。係数 ''a'', ''b'', ''c'' が実数値の[[定数]]で、''x'' が実数値をとる変数とすると、その[[グラフ (関数)|グラフ]]は ''xy''-[[座標系]]において[[放物線]]を描く。

これは集合と写像の概念を用いて、
:実数全体のなす集合 '''R''' から '''R''' への写像
:: ''f'': '''R''' → '''R'''; ''x'' → ''ax''2 + ''bx'' + ''c''
:を考えたとき、そのグラフ {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''2 | ''y'' = ''f''(''x'')} は '''R'''2 内の放物線を描く。
と言っても同じことである。

本項目では実数値関数としての二次関数に着目して、[[解析幾何学]]でよく知られた事項を記す。

== 定義 ==
次数が2の多項式によって定義される[[関数 (数学)|関数]]
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)</math>
のことを''x''を独立変数とする'''二次関数'''という。特に''b'' = ''c'' =0のときは、「二乗に比例する関数」とも言う。

:''f''(''x'') = ''ax''2 + ''bx'' + ''c''
の形に表された二次関数を'''一般形'''（いっぱんけい、''standard form''）という。式変形によって一般形に変形できる関数も二次関数と呼ばれ、特に
:''f''(''x'') = ''a''(''x''−''p'')2 + ''q''
の形の二次関数を'''標準形'''（ひょうじゅんけい、''vertex form''）といい
:''f''(''x'') = ''a''(''x''−''s'')(''x''−''t'')
の形の二次関数を'''因数分解形'''（いんすうぶんかいけい、''factored form''）もしくは単に分解形という。

一般形で ''b''=0 のときは標準形でもあり、標準形で ''q''=0 のときは因数分解形でもある。因数分解形で ''s''=''t'' のときは標準形でもあり、さらに ''s''=''t''=0 のときは一般形でもある。

標準形や因数分解形を展開すれば一般形が得られ、一般形を[[因数分解]]すれば因数分解形が得られる。また、一般形を[[二次方程式#平方完成|平方完成]]すれば、標準形が得られる。

== 表現形式の特徴 ==
[[ファイル:Quadratic-func.png|thumb|300px|''x''2, ''x''2/2 - 10, -2''x''2 + 60, (''x'' - 10)2 のグラフ]]

一般形
:''f''(''x'') = ''ax''2 + ''bx'' + ''c''
は多項式の一般論を適用するときに便利であり、標準形
:''f''(''x'') = ''a''(''x''−''p'')2 + ''q''
や因数分解形
:''f''(''x'') = ''a''(''x''−''s'')(''x''−''t'')
は座標平面上に描かれる[[放物線]]を通して二次関数の性質を調べるときに便利な形である。
:''y'' = ''a''(''x''−''p'')2 + ''q''
の形であらわされる[[直交座標系|xy-平面]]上の放物線の軸は ''x'' = ''p'' であり、頂点の座標は (''p'', ''q'') となる。
:''y'' = ''a''(''x''−''s'')(''x''−''t'')
の形で表される放物線は ''s'',''t'' が[[実数]]ならば ''x'' 軸と ''x''=''s'',''t'' で交わる。特に ''s''=''t'' ならば放物線は ''x'' 軸に接する。

== 関連項目 ==
* [[写像]]
* [[グラフ (関数)|グラフ]]
* [[多項式]]
* [[二次方程式]]
* [[放物線]]
* [[一次関数]]

{{DEFAULTSORT:にしかんすう}}

[[Category:解析幾何学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]

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