重力場

2014-05-14T20:48:55Z

180.63.102.5: 表現の変更

{{出典の明記|date=2011年8月28日 (日) 02:59 (UTC)}}
[[ファイル:Flamm.jpg|thumb|right|220px|重力場の概念図]]

'''重力場'''（じゅうりょくば、{{Lang-en|gravitational field}}）とは、[[万有引力]]（重力）が作用する時空中に存在する[[場]]のこと。

[[重力]]を記述する手法としては、[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]の重力理論に基づく手法と、[[アルベルト・アインシュタイン|アインシュタイン]]による[[一般相対性理論]]に基づく手法がある。

== ニュートン的な重力場 ==
位置 '''r''' にある[[質量]] m の粒子に作用する重力 '''F'''g は
{{Indent|
<math>\boldsymbol{F}_g = m \boldsymbol{g}(\boldsymbol{r})</math>
}}
と表される。
この '''g''' が重力場である。重力場は[[ベクトル]]場である。
比例係数は[[重力質量]]と呼ばれる質量であるが、[[等価原理]]により[[慣性質量]]と等しい。

ニュートンの重力理論によれば、位置 '''x''' に生じる重力場 '''g''' は、位置 '''r'''i にある質量 mi による重力の[[重ね合わせ]]であり、質量に比例し距離の 2 乗に反比例する<ref>[[#fujiwara|藤原]]</ref>。
{{Indent|
<math>\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})
= -G \sum_i \frac{m_i (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i)
}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i|^3}</math>
}}
ここで、比例係数 G は[[万有引力定数|ニュートンの重力定数]]である。

=== 重力ポテンシャル ===
重力場の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]を取ると、ゼロとなる。
従って、重力場にはポテンシャルが存在する。
[[スカラー]]場
{{Indent|
<math>\phi(\boldsymbol{x})
= -G \sum_i \frac{m_i}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i|}</math>
}}
を考えると重力場は
{{Indent|
<math>\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}) = -\nabla\phi(\boldsymbol{x})</math>
}}
と表される。
この φ は'''[[重力ポテンシャル]]'''と呼ばれる。
重力ポテンシャルを指して重力場と呼ぶ場合もある。

質量分布を
{{Indent|
<math>\rho(\boldsymbol{x})
=\sum_i m_i\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i)</math>
}}
で定義すれば、重力ポテンシャル
{{Indent|
<math>\phi(\boldsymbol{x}) =-G\int \frac{\rho(\boldsymbol{r}) \,
d^3\boldsymbol{r}}{| \boldsymbol{x} -\boldsymbol{r} |}</math>
}}
となる。重力ポテンシャルは[[ポアソン方程式]]
{{Indent|
<math>\triangle\phi(\boldsymbol{x}) =4\pi G\rho(\boldsymbol{x})</math>
}}
で決定される。

== 一般相対性理論的な重力場 ==
一般相対性理論においては、重力とは時空の歪みであると考える。
平坦な時空の中で重力によって曲がるのではなく、歪んだ時空の中を進んでいると考える。

時空の歪みは時空の[[計量]] g によって表される。
重力場が弱いときには[[世界間隔]]は
{{Indent|
<math>ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu
= \left( 1+\frac{2\phi}{c^2} \right) c^2 dt^2
-\left( 1-\frac{2\phi}{c^2} \right) (dx^2 +dy^2 +dz^2)</math>
}}
と表され、計量はニュートン的な極限で重力ポテンシャルと関係している。
歪んだ時空の中での進み方は[[測地線の方程式]]
{{Indent|
<math>\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} +\Gamma^\mu_{\rho\sigma}
\frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} =0</math>
}}
で記述される。Γ は[[クリストッフェル記号]]で、計量の微分によって書かれる。

時空の歪みは[[アインシュタイン方程式]]
{{Indent|
<math>G_{\mu\nu} +\Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}</math>
}}
によって決定される。

{{要出典範囲|ゆがんだ時空中では、物体の軌跡や光線が曲がる。これは質量やエネルギーや運動量のつくる重力によって軌跡や光線が曲げられたとみなされ、時空のゆがみが重力場と解釈できる。

ただし、一般相対性理論の基本原理である[[等価原理]]によると、加速する系における物体の運動と、重力場のなかでの物体の運動は（局所的には）区別できない。つまり、万有引力の源となる質量やエネルギーや運動量のない時空においても、[[座標変換]]によって重力場を作ることができることになる。

質量やエネルギーや運動量によってゆがんだ時空のみを重力場とみなすか、それとも「ロケットが加速すると重力場が生じる」という言い方も許容するか（[[座標系]]の取り方によって[[計量テンソル]]がミンコフスキーの計量テンソルからずれた時空も重力場とみなすか）という立場の違いによって、一般相対性理論における重力場には解釈の余地があることになる（もちろん、立場のちがいによって軌跡や光線の計算結果に差はない）。|date=2011年8月}}

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|title=物理学序論としての力学
|author=藤原邦男
|publisher=[[東大出版会]]
|series=基礎物理学
|year=1984
|isbn=4-13-062071-1
|ref=fujiwara
}}
* {{Cite book|和書
|title=場の古典論
|author=L.D.ランダウ, E.M.リフシッツ
|publisher=東京図書
|series=理論物理学教程
|year=1978
|isbn=4-489-01161-X
|ref=landau
}}

== 関連項目 ==
*[[アインシュタイン方程式]]（重力場の方程式）

{{DEFAULTSORT:しゆうりよくは}}
[[Category:重力]]
[[Category:重力理論]]

{{sci-stub}}

[[de:Gravitation#Gravitationsfeld]]

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