ベイズの定理

2013-05-23T13:14:10Z

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'''ベイズの定理'''（ベイズのていり、{{lang-en-short|Bayes' theorem}}）とは、[[条件付き確率]]に関し、[[トーマス・ベイズ]]によって示された[[定理]]である。

[[ベイズ統計学]]においては基礎として利用され、いくつかの未[[観測]]要素を含む推論等に応用される。例えば、[[スパム (メール)|迷惑メール]]の発見・分類といった作業のコンピュータを用いた自動化（[[フィルタリング]]）等の[[情報工学]]上の情報ふるい分けにも利用されている。

== ベイズの定理 ==
一般に、確率および[[条件付き確率]]に関して、下記の恒等式が成り立つ。
:<math>\bold{}P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}</math>
この定理は[[イギリス]]の牧師[[トーマス・ベイズ]]（[[1702年]](?) - [[1761年]]）によって発見され、ベイズの死後に[[リチャード・プライス]]によって[[1763年]]に発表され<ref>{{Cite journal|first1=Thomas|last1=Bayes|first2=Richard|last2=Price|title=An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chance. By the late Rev. Mr. Bayes, communicated by Mr. Price, in a letter to John Canton, M. A. and F. R. S.|journal=[[フィロソフィカル・トランザクションズ|Philosophical Transactions of the Royal Society of London]]|volume=53|issue=0|year=1763|publisher=[[王立協会|Royal Society]]|pages=370-418|url=http://www.stat.ucla.edu/history/essay.pdf|format=PDF|doi=10.1098/rstl.1763.0053}}</ref>、後に[[ピエール＝シモン・ラプラス]]によってその存在が広く認識されるようになった。

== ベイズ統計学におけるベイズの定理 ==
=== 概要 ===
事象Bの[[ベイズ確率]]について、
* ''P''(''B'') = 事象Aが起きる前の、事象Bの確率（'''[[事前確率]]''', prior probability）
* ''P''(''B''|''A'') = 事象Aが起きた後での、事象Bの確率（'''[[事後確率]]'''，'''条件付き確率''', posterior probability，conditional probability）

とする。ベイズの定理を使えば、'''[[事後確率]]''' ''P''(''B''|''A'') は下記に従って計算される。
:<math>\bold{}P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}</math>

すなわち、事象Aに関するある結果（データ）が得られたとすると、それを反映し、[[尤度]]''P''(''A''|''B'') の乗算によって、事象Bの確率は事前確率から事後確率へと更新される。なお事象Bの確率の観点からは、''P''(''A'') は規格化定数としての意味しかない。

[[ベイズ統計学]]（および[[ベイズ決定理論]]）は上記の手続きにその基礎をおき、名前の由来ともなっている。

===批判===
ベイズの定理は'''事前確率'''及び[[尤度]]を仮定した下で'''事後確率'''を与える、というあくまで相対的なメカニズムを表した定理にすぎない。したがって'''事後確率'''の計算結果の信憑性や有用性は、事前分布と尤度の設定にかかっており、慎重を期すことが必要である。これはベイズの定理を含む[[ベイズ統計学]]が、不確実性を含む問題を人によって異なる確率を用いて定式化することを許容する[[主観確率]] (subjective probability) という立場をとっていることによる。この立場はまだ解析対象となっていない新たな問題へのアプローチを可能にするという利点がある一方で、確率の決め方について客観性に欠けるという批判もある（[[客観確率]]）。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[R言語]]
* [[MCMC]]
* [[確率論]]
* [[人工知能]]
* [[単純ベイズ分類器]]
* [[ベイジアンフィルタ]]
* [[ベイズ確率]]
* [[計量経済学#ベイジアン計量経済学|ベイジアン計量経済学]]
* [[ベイズ決定理論]]
* [[ベイズ推定]]
* [[ベイズ統計学]]

== 外部リンク ==
*{{Yahoo!百科事典|ベイズの定理|author=[[古屋茂]]}}
*{{Kotobank|ベイズの定理|2=世界大百科事典第2版}}
*{{MathWorld|BayesTheorem|Bayes' Theorem}}

{{DEFAULTSORT:へいすのていり}}
[[Category:確率論]]
[[Category:ベイズ統計]]
[[Category:数学に関する記事]]

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