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力のモーメント

2014-08-13T11:18:03Z

124.110.222.82:

{{出典の明記|date=2011年10月}}
{{古典力学}}
{{物理量
| 名称 =
| 英語 = moment of force
| 画像 = [[ファイル:Palanca-ejemplo.jpg|thumb|300px]]
| 記号 = ''N''
| 次元 = [[質量|M]] [[長さ|L]]{{sup|2}} [[時間|T]]{{sup-|2}}
| SI = [[ニュートンメートル]]
}}
'''力のモーメント'''（ちからのモーメント、{{lang-en|moment of force}}）とは、[[力学]]において、物体に[[回転]]を生じさせるような[[力]]の性質を表す量である。'''力の能率'''（ちからののうりつ）とも呼ばれる。また、明らかな場合は単に'''モーメント'''と呼ばれることもある。とくに機械などで固定された[[回転軸]]をもつ場合、その回転軸のまわりの力のモーメントを'''[[トルク]]'''（{{en|torque}}）またはねじりモーメントと呼ぶ。
単位として通常は[[ニュートンメートル]]（[[ニュートン|N]] [[メートル|m]]）が用いられる。

== 概要 ==
物体に2つの力が作用するとき、2つの力が釣り合う条件は
# 2つの力の大きさが等しい
# 2つの力の方向が反対
# 2つの力の作用線が一致する

1番目と2番目の条件は、力を[[ベクトル]]として表したとき、力のベクトル和がゼロと表される。
3番目の条件は、力のモーメントが導入することで、モーメントの和がゼロと表される。

2つの力の作用線が一致していないとき、つまり、力のモーメントの和がゼロでないとき、物体は作用線を一致させるように回転する。
言い換えれば、力のモーメントは物体を回転させるような力の性質である。
物体を回転させるために必要な力の大きさは、力が作用する位置によって異なり、回転中心からの作用線の距離に反比例する（'''[[てこの原理]]'''）。
力のモーメントを作用線の距離に比例するように定義することで、等しい力のモーメントに対して物体は同じように回転する。
従って、力のモーメントは一次の[[モーメント]]である。

物体に3つ以上の力が作用するとき、それらの力が釣り合う条件は、力のベクトル和とモーメントの和がそれぞれにゼロとなることである。
力のベクトル和がゼロであるが、モーメントがゼロでないような力はとくに'''[[偶力]]'''と呼ばれる。
一般に、力のモーメントは中心をどこに選ぶかによって変わる。
しかし、作用する力のベクトルの和がゼロであるときは中心の選び方によらない。
つまり、釣り合い条件はモーメントの中心の選び方によらない。
また、偶力はモーメントの中心の選び方によらない。

物体に作用する2つの力の系で、力のベクトルの和とモーメントの和がそれぞれに等しいとき、それらは等価である。
変形が無視できる[[剛体]]に作用する等価な力の系は同等で、それぞれ置き換えることができる。
特に、一点に集中して作用する力と偶力の系に置き換えることができる。

== 定義 ==
適当な点 P のまわりの力のモーメントは、力を '''F'''、力の[[作用点]]の点 P からの[[位置]]を '''r''' とすれば
{{Indent|
<math>\boldsymbol{N} =\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}</math>
}}
で定義される。ここで × は[[クロス積|ベクトル積]]である。
従って、力のモーメントの大きさは
{{Indent|
<math>N =rF\sin\theta</math>
}}
となる。ここで θ は '''F''' と '''r''' のなす角である。
作用線の点 P からの距離を d とすれば、d=rsinθ であり、N=Fd となる。
また、力のモーメントは作用線と点 P を含む平面と直交し、向きは[[右手の法則]]で定まる。
従って、大きさが等しい力で、作用点が同一の作用線上にあれば、それらの力のモーメントは等しい。
これはベクトルの計算によっても導くことができる。
作用線に沿って作用点の位置を '''r''''='''r'''+'''a''' と移動したとき、力のモーメントは
{{Indent|
<math>\boldsymbol{N}' =\boldsymbol{r}'\times \boldsymbol{F}
=\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} +\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{F}
=\boldsymbol{N} +\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{F}</math>
}}
となるが、作用線に沿って動かしているので '''a''' は '''F''' と平行で、第二項はゼロとなり力のモーメントは変化しない。

=== モーメント中心の移動 ===
力のモーメントは、どの点のまわりで考えるかによって変化する。
物体に複数の力が作用しているとき、その物体に作用する力のモーメントは全ての力のモーメントのベクトルとしての和となるが、
和をとる場合には同じ点のまわりのモーメントを考える必要がある。

点 P から位置ベクトル '''q''' で表される点 Q を考える。
点 Q のまわりのモーメントは
{{Indent|
<math>\boldsymbol{N}_\text{Q} =\sum_i(\boldsymbol{r}_i -\boldsymbol{q})\times \boldsymbol{F}_i
=\sum_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{F}_i
-\boldsymbol{q} \times \sum_i \boldsymbol{F}_i
=\boldsymbol{N}_\text{P} -\boldsymbol{q} \times \sum_i \boldsymbol{F}_i</math>
}}
となる。
モーメント中心の移動によるモーメントの変化量は、
中心の移動量と、作用する力のベクトル和によって定まる。
特に、作用する力のベクトル和がゼロならば、
モーメントは中心の選び方によらない。

== 運動方程式 ==
物体の[[慣性モーメント]]I、[[角加速度]]α、力のモーメント N のあいだには、[[ニュートンの運動方程式]]とよく似た関係が成り立つ。
:<math>I\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{N}</math>

== 回転運動と直線運動 ==
回転運動に関する量のあいだには、直線運動で成り立つ法則に対応する類似の法則を見出すことができる。というよりも法則が似るように回転運動での量を定義したのである。したがってトルクは力ではなく力のモーメントであり、慣性モーメントは質量に距離の2乗をかけたものである。対応する量は[[次元]]からみて別のものであることに注意する必要がある。

{{回転運動と直線運動の対応一覧}}

== 関連項目 ==
*[[加速度]]
*[[慣性計測装置]]

{{DEFAULTSORT:ちからのもめんと}}
[[Category:力学]]
[[Category:回転]]
[[Category:力 (自然科学)]]

[[en:Moment (physics)]]
[[eo:momanto (fiziko)]]
[[fi:Vääntömomentti]]
[[fr:Moment (mécanique)]]
[[it:Momento di una forza]]
[[fi:Momentti]]
[[sv:Moment]]
[[tr:Moment (fizik)]]

剛体の力学

2014-08-09T06:58:06Z

124.110.222.82: /* 剛体の静力学 */ ref

{{出典の明記|date=2011年7月}}
{{古典力学}}
'''剛体'''（ごうたい、{{Lang-en|rigid body}}）とは、[[力]]の作用の下で変形しない物体のことである。
物体を[[質点]]の集まり（質点系）と考えたとき、質点の[[相対位置]]が変化しない系として表すことができる。
剛体は物体を理想化した[[モデル]]であり、現実の物体には完全な意味での剛体は存在せず、どんな物体でも力を加えられれば少なからず変形する。
しかし、大きな力を加えなければ、多くの[[固体]]や[[結晶体]]は変形を無視することができて剛体として扱うことができる。
剛体は、変形を考えないことから、その運動のみが扱われる。剛体の運動を扱う[[動力学]]は'''剛体の力学'''（{{Lang-en|rigid body dynamics}}）と呼ばれる。大きさを無視した質点の力学とは異なり、大きさをもつ剛体の力学は姿勢の変化（転向）が考えられる。
[[独楽|こま]]の回転運動などは剛体の力学で扱われるテーマの一つである。

なお、物体の変形を考える理論として、[[弾性体]]や[[塑性体]]の理論がある。
また、[[気体]]や[[液体]]は比較的自由に変形され、これを研究するのが[[流体力学]]である。
これらの変形を考える分野は[[連続体力学]]と呼ばれる。

剛体の[[動力学]]は、剛体の質量が[[重心]]に集中したものとしたときの並進運動に関する[[ニュートンの運動方程式]]と、重心のまわりの回転に関する[[オイラーの運動方程式]]で記述できる。

== 剛体の静力学 ==
物体に作用する[[力]]を表現するには、大きさ（{{en|magnitude}}）、方向（{{en|direction}}）、[[作用点]]（{{en|point of application}}）の3つの要素が必要となる<ref name="nakamura">[[#nakamura|中村他『建築構造力学』]] pp.9-10</ref>。
物体が広がりを持たない質点の場合は、力の作用点は質点の位置に一致するため考える必要がない。
一方、広がりを持つ物体の場合は作用点がどこにあるかを考える必要がある。しかし、変形を考えない剛体の場合は、作用点を力の方向に[[平行]]な直線に沿って動かしても力が及ぼす効果は変わらない<ref name="nakamura"/>。作用点を通り、力の方向に平行な直線は力の'''[[作用線]]'''（{{en|line of action}}）と呼ばれる。

大きさと方向を持つ力は[[ベクトル]]量として表される。剛体の場合はこれに加えて作用線の情報が必要となる。作用線の情報は適当な点のまわりの[[力のモーメント]]として表される。
剛体の釣り合いを考える際は、力の釣り合い（力のベクトル的な和がゼロ）の条件とともに、力のモーメントの釣り合い（力のモーメントのベクトル的な和がゼロ）の条件が必要となる。

== 並進運動、回転運動 ==
{{節stub}}
剛体の[[運動]]は[[三次元空間]]では6[[自由度]]であり、[[重心]]等適切な代表点を決め、代表点の運動（移動）三次元とその代表点を中心とする回転運動（転向）三次元に分解して扱う事ができる。

剛体は連続系として[[積分]]形式を用いる事が多いが、ここでは、実際の[[物体]]が[[原子]]で構成されているのと同様に、多数の質点のような粒子から成る離散系として説明する。

;並進運動
:代表点の運動を剛体の'''並進運動（併進運動）'''という。剛体の[[質量]]を''M''、代表点の位置を<math>\vec{s}</math>、各部に働く[[運動の第3法則|外力]]を<math>\vec F_i</math>、剛体に働く全外力を<math>\vec{F}</math>とすると、代表点についての[[ニュートンの運動方程式]]('''並進の運動方程式''')は
:<math> M \frac{d^2\vec s}{dt^2} = \vec{F} \,\,\,\,\, ( \vec{F} = \sum \vec F_i ) </math>
:例を挙げると、投げられた棒の運動は、重心の[[軌跡]]が放物線を描く(→[[放物線#物理学的な導出]])。並進運動は重心といった代表点の運動なので記事[[質点#質点系の力学]]に詳しい。
;[[回転運動]]
:代表点を中心とした回転の[[角運動量]]を<math>\vec{L}</math>、外力による[[力のモーメント]]の総和を<math>\vec{N}</math>とすると、剛体の回転運動の[[オイラーの運動方程式]]('''回転の運動方程式''')は
:<math> \frac{d\vec L}{dt} = \vec{N} \,\,\,\,\, ( \vec{N} = \sum(\vec{r}_i\times\vec{F}_i) ) </math>
:例を挙げると、投げられた棒の運動は、重心の放物運動と、重心を中心にしての回転に分けられる。
剛体の運動は上の2つの運動方程式を満たす。[[自転]]しながら[[公転]]している場合等、並進運動が回転運動の場合もある。その場合は並進運動も回転運動専用の式の方が適している。

剛体に働く力の合力が0で[[力#力の釣り合い|力がつり合っている]]とき、並進と回転の2つの運動方程式の右辺が0になり、剛体は等速回転しながら等速直線運動をしている。（それぞれ静止を含む。）

下の表について説明する。左半分は、並進運動と回転運動で扱われる運動量について比較しているが、同じ段にある物理量は相当すると考えると解り易い。その例が表の右半分である。それぞれ、一方の関係式の記号に、対応する記号を代入するともう一方の関係式になることが判る。
{| class="wikitable"
!!!並進運動!![[SI単位]]!!回転運動!!SI単位!![[法則]]!!並進運動!!回転運動
|-
! rowspan="9" style="width:1em" |[[物理量]]
|[[位置]]||[[メートル|m]]
|[[角度]]||[[ラジアン|rad]]=m/m
! rowspan="2" |[[慣性の法則]]
| rowspan="2" |物体は力を加えられない限り、[[等速直線運動]]または静止を続ける
| rowspan="2" |物体がトルクを加えられない限り、[[回転運動#等速円運動|等速円運動]]または静止を続ける
|-
|[[速度]]||m/s
|[[角速度]]||rad/s
|-
|[[加速度]]||m/s2
|[[角加速度]]||rad/s2
! rowspan="3" |[[運動の第2法則|運動の法則]]
| rowspan="2" |物体に力が加わると、質量(慣性質量)に比例した加速度を生じる。
<math> \vec{F} = m \vec{a} </math>
| rowspan="2" |物体にトルクが加わると、慣性モーメントに比例した角加速度を生じる。
<math> \vec{N} = I \dot{\omega} </math>
|-
|[[質量]](慣性質量)||[[キログラム|kg]]
|[[慣性モーメント]]||kg･m2
|-
|[[力]]
|[[ニュートン|N]]
=kg･m/s2
|[[トルク]]
|N･m
=kg･m2rad/s2
|運動量の時間的変化率が力に相当する
<math> \tfrac{d\vec p}{dt} = \vec{F} </math>
|角運動量の時間的変化率がトルクに相当する
<math> \tfrac{d\vec L}{dt} = \vec{N} </math>
|-
|[[運動量]]||kg･m/s
|[[角運動量]]
|kg･m2/s
=kg･m2rad/s
! rowspan="4" |[[ベクトル量]]に関する保存則
| rowspan="4" |[[運動量保存の法則]]
<math> \frac{d\vec P}{dt} = \sum \vec{F}_i </math>
| rowspan="4" |[[角運動量保存の法則]]
<math> \frac{d\vec L}{dt} = \sum \vec{N}_i </math>
|-
|並進[[運動エネルギー]]
|[[ジュール|J]]
=kg･m2/s2
|回転運動エネルギー
|J
=kg･m2rad2/s2
|-
|[[仕事_(物理学)|仕事]]||J=N･m
|仕事||J=N･m･rad
|-
|[[仕事率]]
|[[ワット|W]]=J/s
=N･m/s
|仕事率
|W=J/s
=N･m･rad/s
|}

=== 剛体の運動エネルギー ===
剛体の運動エネルギーは、並進運動と回転運動の、それぞれの運動エネルギー(並進運動エネルギーと回転運動エネルギー)の和である。

並進運動エネルギーは、<math> \frac{1}{2} M \left( \frac{d\vec s}{dt} \right) ^2 </math>となる。

回転運動エネルギー''K''は各粒子の運動エネルギーの和であるから、各粒子の質量を''mi''、代表点に対する速度を''vi''とすると、
{{Indent|<math> K = \frac{1}{2} \sum m_iv_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_ir_i^2\omega^2 = \frac{1}{2} I \omega^2</math>}}
である。このとき、''ω''は[[角速度]]、''I''は慣性モーメント（下記参照）である。

== 剛体の慣性モーメント ==
ここでは、剛体の並進運動を棚に上げ、重心を通る軸の周りの回転運動についてだけ記述する。軸とz軸を重ね、軸に沿っての運動はないものと考える。この場合に重要になる物理量が'''慣性モーメント'''I(一般的な慣性モーメントについて→[[慣性モーメント]])である。慣性モーメントは、
{{Indent|<math>I=\sum_{k} m_kr_k^2</math>}}
が定義であり、剛体を構成する各粒子の、質量と軸からの距離の2乗の積であり、決して変形しない剛体にとって固有に定められた定数である。

一般に剛体では粒子が連続的に分布している(連続体)ので、慣性モーメントは次のような[[積分]]として計算される。
{{Indent|<math>I\longrightarrow \int_{V} r^2\, dm=\int_{V} r^2\rho (r)\, dV</math> 
<math>{}=\iiint_{V} r^2\rho (r)\, dx\,dy\,dz</math>}}
ここで、積分領域のVは剛体の[[体積]]を表す。

慣性モーメントは'''慣性能率'''とも呼ばれ、次のような重要性がある。
*角運動量の大きさLと[[角速度]]ωは[[比例]]するが、Iはこのときの[[比例#定義|比例定数]]である。また、[[トルク]]の大きさNは[[角加速度]]<math>\dot{\omega}</math>と比例し、このときの比例定数もIである。
剛体の、質量が<math>\mathrm{m_k}</math>であるk番目の質点が軸から垂直方向に座標<math>\mathrm{r_k}</math>で外力によって質点が受ける運動量を<math>\mathrm{p_k}</math>とし、角速度ωをとすると、Lは
{{Indent|<math>L=\sum_{k} r_kp_k=\sum_{k} r_km_kv_k=\sum_{k} m_kr_k^2\omega</math>}}
したがって、
{{Indent|<math>L=I\omega\cdots (1)</math>}}
となる。

また、<math>\tfrac{dL}{dt}=N</math>から、
{{Indent|<math>N=I\frac{d\omega}{dt}</math>}}

ところで、Iは、剛体の全質量をMとすると、
{{Indent|<math>I=M\,k^2</math>}}
と表すこともできる。このとき、kは'''剛体の回転半径'''という。この式の意味は、剛体の慣性モーメントは、考えている軸にkだけ離れた位置に全質量Mが集中している回転体として求めた量とみなすことができることである。

ここで慣性モーメント自体の力学的意義について説明する。(1)から、トルクNを一定にしたとき、角加速度は慣性モーメントIに反比例することがわかる。慣性モーメントを大きくしたとき、すなわち剛体の質量か回転半径を大きくしたとき、角加速度は小さくなる。すなわち回転の速度を変えるのに時間が懸かることになり、これは例えば、その剛体が回転しにくいが、一度回り始めると止めにくいことを表す。慣性モーメントIとは、回転の慣性の大きさを表す量、すなわち回転の(あるいは回転の速度を変える)難易性の目安を表している。ある回転の安定性、永続性の尺度とも言える。この理を利用して、安定した回転を保つために、大きな[[弾み車]]が[[発電機]]や各種の[[エンジン]]に取り付けられている。

=== 慣性モーメントの計算法 ===
慣性モーメントは剛体の質量や形状に依存するが、ここでその計算方法を示す。

==== 直交軸の定理 ====
直交軸の定理とは、''剛体が薄い平板の時、この平面での互いに直交する軸の周りの慣性モーメントの和は、2つの軸の交点で面に直交する軸の周りの慣性モーメントに等しくなる''という定理である。

ここで、平面内の２つの軸をx軸、y軸とすると、これらの軸の周りの慣性モーメントは次のようになる。ここでσは面密度であり、積分領域は剛体上の全平面をとる。
{{Indent|<math>I_x=\int \rho y^2\, dx\,dy,I_y=\int \rho x^2\, dx\,dy\,\,\,\,\,(dm=\rho \,dx\,dy)</math>}}
この和は、
{{Indent|<math>I_x+I_y=\int \rho (x^2+y^2)\, dx\,dy=\int \rho r^2\, dx\,dy</math>}}
となるが、rはz軸からの距離でありちょうどz軸の周りの慣性モーメントとなっている。
{{Indent|<math>I_x+I_y\,=\,I_z</math>}}

==== 平行軸の定理 ====
平行軸の定理あるいはスタイナーの定理とは、''質量がMの剛体の重心を通る任意の軸の周りの慣性モーメント''<math>\mathrm{I}_\mathrm{G}</math>''が既知であるとき、この軸と平行な軸の周りの慣性モーメント''<math>\mathrm{I}</math>''は、2軸間の距離を''<math>\mathrm{h}</math>''とすると、次のように表される''
{{Indent|<math>I=I_G+M\,h^2</math>}}
という定理である。

== 脚注 ==
<references/>

== 関連項目 ==
* [[弾性]]
* [[RigidChips]]
* [[ヨーイング]]
* [[ローリング]]
* [[ピッチング]]
* [[剛床]] - 建築物の構造計算で用いられる、水平荷重に対して剛体とみなされる床。

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|title=建築構造力学図説・演習１
|author=中村恒善他
|publisher=丸善
|year=1994
|isbn=978-4-621-03965-6
|ref=nakamura
}}

{{DEFAULTSORT:こうたいのりきかく}}
[[Category:力学]]

行列式

2014-08-09T04:48:24Z

124.110.222.82: /* 行列式の性質 */

{{wikibooks|線形代数学}}
[[Image:Determinant parallelepiped.svg|200px|right|thumb|この[[平行六面体]]の[[体積]]は[[ベクトル]] ''r''1, ''r''2, and ''r''3 の成す 3 × 3 行列の行列式の[[絶対値]]に一致する。]]

[[数学]]における'''行列式'''（ぎょうれつしき、''{{Lang-en-short|determinant}}''）とは、[[正方行列]]に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には[[ベクトル空間|線型空間]]上の自己[[準同型]]に対して定義され、[[線型写像|線型変換]]によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を[[抽象化]]したものと見なすことができる。行列の可逆性を判定する指標として[[線型代数学]]における最も重要な指標の一つと見なされている。

== 概要 ==
''X'' を成分が[[実数]]である2次の[[正方行列]]
: <math>X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>
とするとき、これは
: <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}</math>
という平面上の線型変換を定めている。一方で平面における二つのベクトル ''u'' = (''u''0, ''u''1), ''v'' = (''v''0, ''v''1) について、これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は
: ''A''(''u'', ''v'') = ''u''0''v''1 − ''u''1''v''0
によって指定される数だと考えることができる。このとき ''A''(''X''.''u'', ''X''.''v'') = (''ad'' − ''bc'')''A''(''u'', ''v'') が成り立っているが、これは ''X'' の定める線型変換によって平面内の図形の面積が (''ad'' − ''bc'') 倍される、と解釈できる。

したがって各2次正方行列 ''X'' に対し（上の記号の下で）det ''X'' = ''ad'' − ''bc'' を対応させると、det(''XY'') = (det ''X'')(det ''Y'') であることや、det ''X'' > 0 であるとき ''X'' の定める変換は図形の向きを保ち、反対に det ''X'' < 0 であるとき図形の向きは反転させられることがわかる。det の乗法性から ''X'' が可逆ならば det ''X'' は逆数を持つ数であることが従うが、反対に ''X'' が退化した行列であるとき、つまり ''X'' の定める変換の像が1次元の部分空間になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0 になることから det ''X'' = 0 となることがいえる。こうして行列 ''X'' が正則になることと ''X'' の行列式が可逆になることが同値であるということがわかる。

同様にして一般の次数の[[正方行列]] ''X'' に対し、''X'' の定める線型変換が図形の体積を何倍にしているかという量を ''X'' の行列式として定義することができる。これは行列の成分を変数とする多項式の形でかけ、2次の場合と同様にこれは[[正則行列|正則性]]など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。[[線型方程式|一次方程式系]]が与えられるとき、方程式の係数行列に対してその行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態をある程度知ることができる。特に[[クラメルの公式]]により、[[方程式|根]]が一意に決まるような[[線型方程式系]]の公式が行列式を用いて表示される。

== 定義 ==
=== 抽象的な定義 ===
''A'' を[[環 (数学)|可換環]]とし、''E'' を階数 ''n'' の ''A'' 上の[[アーベル群#環上の加群|自由加群]]とする。''E'' の[[多重線型代数|''n'' 次外冪]] &and;''n'' ''E'' は ''A'' 上の一次元自由加群である。''E'' 上の ''A''-[[線型写像]] φ について、&and;''n''''E'' 上に引き起こされる ''A''-[[準同型]] &and;''n''(φ) は一意的に定まるある ''a'' ∈ ''A'' に関する定数倍写像と一致するが、この ''a'' は φ の行列式 det φ と呼ばれる。

=== 明示的な定義 ===
''n'' 次正方行列 ''X'' の ''i'' 行 ''j'' 列成分を ''x''''ij'' で表せば、''X'' の行列式とは、
: <math>\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}
\sgn(\sigma) x_{\sigma(1)1} x_{\sigma(2)2} \cdots x_{\sigma(n)n} = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}
\sgn(\sigma) x_{1\sigma(1)} x_{2\sigma(2)} \cdots x_{n\sigma(n)}
</math>
で与えられる[[斉次多項式|斉 ''n''-次の多項式]]（''n''-次形式）である（[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]の公式）。ただし、<math>\mathfrak{S}_n</math> は ''n'' 次の置換全体で、sgn は置換の符号と呼ばれるものである（[[対称群]]を参照）。したがって、''n'' 次正方行列の行列式は [[階乗|''n''!]] 個の項を持つ。

正方行列 ''A'' の行列式は、|''A''| あるいは det(''A'') と表記される。行列の成分を明示する場合は
: <math>\left|\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right|</math>
を単に
: <math>\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}</math>
と書く。

=== 二つの定義の同値性 ===
''K''''n'' の標準的な基底を (''e''1, ..., ''e''''n'') とする。行列 ''X'' の各列を表す縦ベクトル ''v''1, ..., ''v''''n'' とすると、''v''''j''とは ''Xe''''j'' にほかならない。
: <math>\left({\bigwedge\nolimits\!}^n X\right)(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = v_1 \wedge \cdots \wedge v_n</math>
であるが、ここで
: <math>v_1 \wedge \cdots \wedge v_n = \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}
\sgn(\sigma) v_{\sigma(1)}^1 v_{\sigma(2)}^2 \cdots v_{\sigma(n)}^n\right) e_1 \wedge \cdots \wedge e_n </math>
である。ただし、 ''v''''i'' の第 ''j'' 成分を ''v''''i''''j'' と表した）。これは ''K''''n'' 上 &and;''n''''X'' が
{{Indent|<math>\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}
\sgn(\sigma) v_{\sigma(1)}^1 v_{\sigma(2)}^2 \cdots v_{\sigma(n)}^n</math>}}
倍写像として作用していることを示している。

''n'' 次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する ''n'' 重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。

== 複線型交代形式 ==
''n''-次行列に関する行列式は列に関して ''n''-重[[交代線型性]]をもつ。つまり、行列を ('''x'''1, '''x'''2, ..., '''x'''''n'') のように[[列ベクトル]]の組の形に書くことにすれば
*<math>\det(\ldots,\mathbf{x}_{i} + \mathbf{x}'_{i},\ldots) =
\det(\ldots,\mathbf{x}_{i},\ldots) + \det(\ldots,\mathbf{x}'_{i},\ldots)
</math>
*<math>\det(\ldots,c\mathbf{x}_{i},\ldots) = c \cdot \det(\ldots,\mathbf{x}_{i},\ldots)</math>
*<math>\det(\ldots,\mathbf{x}_{i},\ldots,\mathbf{x}_{j},\ldots) =
- \det(\ldots,\mathbf{x}_{j},\ldots,\mathbf{x}_{i},\ldots)
</math>
が成り立っている。例えば、線型性によって
: <math>\begin{vmatrix}
\lambda a_{11} + \mu a_{11}' & a_{12} & a_{13} \\
\lambda a_{21} + \mu a_{21}' & a_{22} & a_{23} \\
\lambda a_{31} + \mu a_{31}' & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} \, =\, \lambda \, \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} \, +\, \mu \, \begin{vmatrix}
a_{11}' & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}' & a_{22} & a_{23} \\
a_{31}' & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}</math>
が成立しており、さらに交代性によって
: <math>\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} \, =\, -\, \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{11} & a_{13} \\
a_{22} & a_{21} & a_{23} \\
a_{32} & a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix}</math>
も成り立っている。特に、どれか二つの列が全く同一の成分を持つような行列の行列式は 0 である。

''A'' の行列式と、''A'' の[[転置行列]]の行列式は等しい。これによって、行列式が列に関してある性質を持てば、行に関しても同様の性質を持つことが分かる。つまり、'''上記の性質は全て行に対するものにも書き直せる'''。

二つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい： ''A'', ''B'' を ''n'' 次正方行列とするとき、|''A''||''B''| = |''AB''| である。これより特に行列式が[[基底]]の取り替えによって不変であることが従う。

== 歴史 ==
西洋で行列式が考えられるようになったのは16世紀であり、これは19世紀に導入された行列そのものよりも遥かに昔に導入されていたことになる。また、数を表の形に並べたものや、現在[[ガウスの消去法|ガウス（・ジョルダン）消去法]]と呼ばれているアルゴリズムは最も古くには中国の数学者たちによって考えられていたことにも注意する必要がある。

=== 行列式に関する最初期の計算 ===
[[楊輝]](中国、1238年?～1298年)は『詳解九章算術』で数字係数の二元連立一次方程式の解をクラメルの公式の形で、行列式的なものを含んだ形で与えている。
また1545年に[[ジェロラモ・カルダノ]]は、 ''Ars Magna'' の中で同じく2×2の場合のクラメルの公式を与えている。この公式は ''regula de modo'' と呼ばれている。
彼らは「行列式」を定義したわけではないが、その概念の萌芽をみてとることができる。

===高階の行列に関する行列式===
高階の行列に関する行列式の定義はそれから百年ほどたって日本で[[和算]]の[[関孝和]]、田中由真、そしてドイツの[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]によりほとんど同時にかつ独立に与えられた。

ライプニッツは数多くの線型方程式系を研究していたが、その頃は行列記法がまだなかったので、彼は未知数の係数を、現在のような ''a''''i'',''j'' のかわりに ''ij'' のように添字の対によって表現していた。1678年に彼は3つの未知数に関する3つの方程式に興味を抱き、列に関する行列式の展開式を与えている。同じ年に彼は4次の行列式についても(符号の間違いを別にすれば)正しい式を与えている。ちなみにライプニッツはこの成果を公表しなかったので、50年後に彼とは独立に再発見されるまでこの成果は人々に認識されていなかった。

同じ時期に[[関孝和]]は『'''解伏題之法'''』で行列式について述べている。本手稿のテーマは多変数の高次方程式から変数を消去して一変数の方程式に帰着することで、変数消去の一般的方法、つまり終結式の理論を提示している。本手稿では3次と4次に関しては行列式の正しい表示を与えているが、より５次の場合はつねに０になってしまい、あきらかに間違っている。これが単純な誤記の類であるか否かは不明である。また、次節で述べるように、関西で活躍していた田中由真や井関知辰らの研究も同様の問題を考えており、類似の結果にたどり着いている。これらの研究では、いずれも行列式は終結式を表すための手段にすぎず、行列式そのものを意味のある対象として捉えていたかについては異論がある。実際、それをあらわす用語すら提案されていない。
また、日本が鎖国によって外界から遮断されていたこともあり、西洋数学に影響を与えることはなかった。

=== 一般的な行列式 ===
関孝和は、最初の手稿からやや後の『大成算成』（建部賢明、建部賢弘と共著、執筆は[[1683年]]（天和3年）－ [[1710年]]（宝永7年）頃）で、第一列についての余因子展開を一般の場合について正しく与えている。また、田中由真は『算学紛解』（[[1690年]]（元禄3年）ごろ）で 5次までの行列式を、井関知辰は『算法発揮』（[[1690年]]（元禄3年）刊）で第一行についての余因子展開を一般の場合で与えている。ちなみに関や田中の著作は写本のみであるが、井関の著作は出版がなされている。

ヨーロッパにおいても、行列式の理論は日本の場合と同じく（一次ではなく）高次の代数方程式の変数消去の研究のために発展した。1748年に[[コリン・マクローリン|マクローリン]]の（死後に刊行された）代数学の著作において4つの未知数に関する4つの方程式の系の解が正しい形で述べられ、行列式の研究が再開されることになった。1750年に[[ガブリエル・クラメール|クラメル]]は（証明抜きで）N個の変数に関するN個の方程式からなる方程式の解を求める規則を定式化した。この行列式の計算方法は順列の符号にもとづく繊細なものだった。

ベズー（1764年）やファンデルモント（1771年、[[ファンデルモンド行列式]]の計算）などがそれに続き、1772年には[[ピエール＝シモン・ラプラス|ラプラス]]によって余因子展開の公式が確立された。さらに翌年には[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ|ラグランジュ]]によって行列式と体積との関係が発見されている。

今日の determinant（決定するもの）にあたる言葉が初めてあらわれたのは[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]による1801年の ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' である。そこで彼は[[二次形式]]の判別式（今日的な意味での行列式の特別な例と見なせる）を用いている。彼はさらに行列式と積の関係についても後少しのところまでいっている。

=== 現代的な行列式の概念の確立 ===
現代的な意味での行列式という用語は[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー|コーシー]]によって初めて導入された。彼はそれまでに得られていた知識を統合し、1812年には積と行列式の関係を発表している（同じ年にビネも独立に証明をあたえていた）。コーシーは平行して準同型の簡約化についての基礎付けの研究も行っている。

1841年に「[[クレレ誌]]」で発表された[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコビ]]の3本の著作によって行列式の概念の重要性が確立された。ヤコビによって初めて行列式の計算の系統的なアルゴリズムが与えられ、またヤコビアンの概念によって写像の行列式も同様に考察できるようになった。行列の枠組みは[[アーサー・ケイリー|ケイリー]]と[[ジェームス・ジョセフ・シルベスター|シルベスター]]によって導入された。ちなみにケイリーは逆行列の公式を確立させており、行列式の記号として縦棒を導入したのも彼である。

行列式の理論は様々な対称性を持つような行列についての行列式の研究や、線型微分方程式系の[[線型微分方程式#ロンスキーの行列式|ロンスキアン]]など数学の様々な分野にあらたに行列式を持ち込むことが追求されている。

== いくつかの行列式 ==
<math>\mathfrak{S}_2</math> は恒等置換 id（id(1) = 1, id(2) = 2）と互換 σ = (1,2)（σ(1) = 2, σ(2) = 1）の 2 つの置換からなるので
: <math>
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}=
a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}.
</math>
となる（第 1 項が id, 第 2 項が (1,2) に対応する項である）。

[[ファイル:Det (mod1).GIF|thumb|300px|'''サラスの方法''']]
2 次あるいは 3 次の正方行列については、左上から右下へ向かう方向に「+」、右上から左下へ向かう方向に「-」の符号を付けて積を取りそれらの和を取ると行列式が求められる。これを「'''サラス({{Lang|en|Sarrus}})の方法'''」または「'''サラス展開'''」、「'''たすきがけの法'''」と言う。''n'' 次正方行列に対して、サラスの方法で取り出せる項の数は高々 2''n'' であり、一般には行列式の総項数 ''n''! に比べてはるかに少ないため、'''4次以上の正方行列にはこの方法は使えない'''。

[[三角行列]]の行列式は、主対角成分の総乗をとることで求まる。三角行列の主対角成分には[[固有値]]が並ぶから、行列式の値は固有値の総乗である。このことは、基底の取替えによる行列の三角化可能性と行列式の乗法性によって、一般の正方行列に対しても正しい。つまり、与えられた行列の行列式の値は、その行列の固有値の総乗に等しい。

== 発展的な話題 ==
=== 小行列式 ===
正方行列とは限らない一般の行列 ''A'' = (''a''''ij'') が与えられたとき、その行と列を一定の数 ''k'' 個選んで正方行列をつくって、その行列式を考えることができる：
: <math>\begin{vmatrix}
a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2}& \cdots & a_{i_1 j_k}\\
a_{i_2 j_1} & a_{i_2 j_2}& \cdots & a_{i_2 j_k}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i_k j_1} & a_{i_k j_2}& \cdots & a_{i_k j_k}
\end{vmatrix}</math>
これを ''A'' から作られる'''小行列式'''（しょうぎょうれつしき、''{{Lang|en|minor determinant}}''）という。行列が一つ与えられたとき、その値が 0 でないような小行列式の最大サイズは[[行列の階数]]に一致する。とくに同じ番号の行と列を選んで
: <math>\begin{vmatrix}
a_{i_1 i_1} & a_{i_1 i_2}& \cdots & a_{i_1 i_k}\\
a_{i_2 i_1} & a_{i_2 i_2}& \cdots & a_{i_2 i_k}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i_k i_1} & a_{i_k i_2}& \cdots & a_{i_k i_k}
\end{vmatrix}</math>
の形に書かれる（対角線上にある）小行列式を'''主小行列式'''（しゅしょうぎょうれつしき、''{{Lang|en|principal minor}}''）と呼ぶ。

また、正方行列から行と列を 1 つずつ取り去って作られる小行列式
: <math>\begin{vmatrix}
a_{11} &\cdots &a_{1,j-1} &a_{1,j+1} &\cdots &a_{1n}\\
\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\
a_{i-1,1} &\cdots &a_{i-1,j-1} &a_{i-1,j+1} &\cdots &a_{i-1,n}\\
a_{i+1,1} &\cdots &a_{i+1,j-1} &a_{i+1,j+1} &\cdots &a_{i+1,n}\\
\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\
a_{n1} &\cdots &a_{n,j-1} &a_{n,j+1} &\cdots &a_{nn}
\end{vmatrix}</math>
あるいはこれに (−1)''i''+''j'' を乗じたものを (''i'', ''j'')-'''余因子'''（よいんし、''cofactor''）という。

=== 余因子展開 ===
列（あるいは行）に関する線型性から、正方行列の行列式は、ある列（あるいはある行）の変数に関して斉 1 次である。''n'' 次正方行列 ''X'' = (''x''''ij'') の行列式は ''j'' 列に関して
: <math>\det(X) =
\Delta_{1j}x_{1j} + \Delta_{2j}x_{2j} +\cdots+\Delta_{nj}x_{nj}
</math>
と展開される。ただし、係数 Δ''ij'' は (''i'', ''j'')-余因子。また同様に ''i'' 行に関して
: <math>\det(X) =
\Delta_{i1}x_{i1} + \Delta_{i2}x_{i2} +\cdots+\Delta_{in}x_{in}
</math>
と展開される。余因子は次数が 1 少ない行列式であるから、展開を繰り返すことで元の行列の行列式を小さなサイズの行列式の計算に帰着させることができる。基本変形に対する行列式の性質をうまく組み合わせると展開の効率を高めることができる。

=== 余因子行列と逆行列 ===
''n'' 次正方行列 ''A'' = (''a''''ij'') に対し、(''i'', ''j'')-余因子を (''j'', ''i'')-成分に持つ行列
: <math>\tilde{A} := \begin{pmatrix}
\Delta_{11} & \Delta_{21} & \cdots & \Delta_{n1} \\
\Delta_{12} & \Delta_{22} & \cdots & \Delta_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\Delta_{1n} & \Delta_{2n} & \cdots & \Delta_{nn}
\end{pmatrix}</math>
を ''A'' の'''余因子行列'''という。余因子行列については、余因子展開を逆に用いると
: <math>\tilde{A}A = A\tilde{A} = \det(A)I_n</math>
となることが確かめられる。ただし、''I''''n'' は ''n'' 次[[単位行列]]である。またここから、''A'' の行列式 det(''A'') の値が 0 でない場合には
: <math>\frac{1}{\det(A)}\tilde{A} = \begin{pmatrix}
\cfrac{\Delta_{11}}{\det(A)} & \cfrac{\Delta_{21}}{\det(A)} & \cdots & \cfrac{\Delta_{n1}}{\det(A)} \\
\cfrac{\Delta_{12}}{\det(A)} & \cfrac{\Delta_{22}}{\det(A)} & \cdots & \cfrac{\Delta_{n2}}{\det(A)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\cfrac{\Delta_{1n}}{\det(A)} & \cfrac{\Delta_{2n}}{\det(A)} & \cdots & \cfrac{\Delta_{nn}}{\det(A)}
\end{pmatrix}</math>
は ''A'' の[[正則行列|逆行列]] ''A''−1 に一致する ('''[[クラメルの公式]]'''、{{Lang|en|cramer's fomula}}))。

なお、余因子行列としてここでの余因子行列の転置行列、すなわち (''i'', ''j'')-余因子を (''i'', ''j'')-成分に持つ行列を採用する流儀もあるので、単に「余因子行列」といったときにはどちらの流儀であるか注意が必要である。

==行列式の性質==
基本的な行列式の性質を以下に示す。
: <math>\det(I) = 1</math>
: <math>\det(AB) = \det(A) \det(B)</math>
: <math>\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.</math>
: <math>\det(A^T) = \det(A)</math>
: <math>\det(\overline{A}) = \overline{\det(A)}</math>

=== 固有値との関係 ===
行列 ''A'' の[[固有値]]を ''λ''''i'' (''i'' = ''1 ... n'') と置くと、
: <math>\det(A) = \prod_{k=1}^n \lambda_k</math>
となる。このことは、''A'' を三角化すると、固有値の並んだ行列が作られること、すなわち
: <math>\left(
\begin{matrix}
\lambda_1 & & & * & \\
& \lambda_2 & & &\\
& & \lambda_3 & &\\
& & & \ddots &\\
& & & & \lambda_n
\end{matrix}
\right) = P^{-1} A P</math>
の両辺の det を取ることで導かれる。

=== 特異値との関係 ===
正方行列 ''A'' の[[特異値]]を ''σ''''i''(''A'') (''i'' = ''1 ... n'') と置くと、
: <math>|\det(A)| = \prod_{k=1}^n \sigma_k(A)</math>
となる。このことは、[[特異値分解]]を用いて示される。
:(証明) <math> |\det(A)| = |\det(U \Sigma V)| = |\det(U) \det(\Sigma) \det(V)| = |\det(\Sigma)| = \prod_k \Sigma_{kk} = \prod_k \sigma_k(A) \;</math> 　(対角行列Σの対角成分は非負)

正方行列 An に関して行列式と固有値および特異値の間には次の関係が成り立つ。
: <math>|\det(A_n)| = \prod_{k=1}^n |\lambda_k(A_n)| = \prod_{k=1}^n \sigma_k(A_n) </math>

=== 跡との関係 ===
[[跡 (線型代数学)|跡]] (trace) は、正方行列の対角成分の総和である。それは固有値の総和に一致する。
そのため、固有値の積である行列式とは[[指数関数]] (exponential) を介してつながっている。
行列に対する指数関数は
: <math>\exp(A) = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}</math>
と書けるが、''A'' の固有値 ''λ''''i'' とそれに属する固有ベクトル ''x''''i'' に対して、
: <math>x_i \exp(A) = x_i \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} = x_i \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda_i^k}{k!}=x_i \exp(\lambda_i)</math>
となることより、exp(''A'') は固有値 exp(λ''i'') と固有ベクトル ''x''''i'' を持つことがわかる。よって、関係式
: <math>\det(\exp(A)) = \exp(\mathrm{tr}(A))</math>
が成立する。

=== 微分 ===
行列式は多項式であり、微分が可能である。余因子展開の式から、''A'' の行列式 det(''A'') の微分として次の関係が成り立つ。
: <math>\frac{\partial\det (A)}{\partial a_{ij}} =\Delta_{ij}</math>
: <math>d\det (A) = \sum_{i,j=1}^n \Delta_{ij} da_{ij}
= \mathrm{tr}(\tilde{A} dA)=\det(A)\, \mathrm{tr}(A^{-1}\, dA)</math>

== 関連項目 ==
* [[線型代数学]]
* [[ケイリー・ハミルトンの定理]]
* [[ヤコビアン]]
* [[シルベスター行列]]（シルベスター行列式・終結式）
* [[固有多項式]]
* [[ファンデルモンド行列#ファンデルモンドの行列式]]

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|last=ブルバキ|first=ニコラ|translator=銀林浩, 清水達雄ほか|year=1968|title=代数|publisher=東京図書|location=東京}}
* [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html 行列と行列式の歴史に関する解説（英語）]
*[http://hdl.handle.net/2433/25865 後藤武史，小松彦三郎，17世紀日本と18-19世紀西洋の行列式、終結式及び判別式 (数学史の研究)，数理解析研究所講究録]

{{DEFAULTSORT:きようれつしき}}
[[Category:行列式|*]]
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]

{{Link FA|fr}}
{{Link FA|zh}}
{{Link FA|ca}}

ラグランジュ力学

2014-08-07T15:49:31Z

124.110.222.82: /* 一般相対性理論 */

{{出典の明記|date=2011年7月}}
{{古典力学}}
'''ラグランジュ力学'''（[[英語]]：{{lang|en|Lagrangian mechanics}}）は、[[一般化座標]]とその[[微分]]を基本変数として記述された[[古典力学]]である。フランスの物理学者[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]が創始した。後の[[ハミルトン力学]]と同様に[[ニュートン力学]]を再定式化した[[解析力学]]の一形式である。

== 概要 ==
ラグランジュ形式の解析力学は'''[[最小作用の原理]]'''によって構成される。
元々はニュートン的な力学の分野において成立したが、[[電磁気学]]や[[相対性理論]]でも応用することが出来て、これらの分野における基礎方程式（[[マクスウェル方程式]]、[[アインシュタイン方程式]]）を導き出すことが出来る。
また、[[量子力学]]においても、[[経路積分]]の方法は最小作用の原理に関連して考え出された方法である。

ラグランジュ形式では[[一般化座標]]によって記述されており、変数の取り方が任意である。
ニュートンの運動方程式はベクトルの方程式であり、[[デカルト座標]]以外では煩雑な[[座標変換]]が必要となるが、ラグランジュ形式においてはラグランジアンはスカラーであり座標変換が簡単である。

実際の計算上でも、例えば長さが一定の[[振り子]]などで[[円周]]上を運動する場合には、平面内の運動なのでニュートンの運動方程式では2つの方向の2変数が必要となるが、ラグランジュ形式では一般化座標として角度を選ぶことにより1変数の方程式が得られる。
もちろんニュートンの運動方程式はラグランジュ形式と等価なので適当な変換により同じ式が得られるが、ラグランジュ形式では直接得られる点で便利である。

== 定式化 ==
'''一般化座標''' <math>\boldsymbol{q}(t)=(q_1(t),\ldots)</math> として、'''作用積分'''
{{Indent|
<math>S[\boldsymbol{q}] = \int_{t_I}^{t_F}
L(\boldsymbol{q}(t), \dot{\boldsymbol{q}}(t), t)\, dt</math>
}}
を考える(上付きのドットは, 時刻tに関する微分（偏微分ではない）を意味する)。
一般化座標とその微分（一般化速度）、及び時間の関数として書かれる作用積分の被積分関数
{{Indent|
<math>L(\boldsymbol{q}(t), \dot{\boldsymbol{q}}(t), t)</math>
}}
は'''ラグランジアン'''と呼ばれ、系を特徴付ける量である。

一般化座標は実際には起こらない運動の値も取りうるが、現実の運動は'''[[最小作用の原理]]'''に従い、作用積分が最小値をとるように運動する<ref>実際は極小値。計算上は停留条件が用いられる。</ref>。

作用の停留条件 <math>\delta S[\boldsymbol{q}]=0</math> から、'''ラグランジュの運動方程式'''（[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]<ref>運動方程式以外にも用いられ、少し広い用法である。</ref>）
{{Indent|
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}
-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0</math>
}}
が得られる。
これは[[ニュートンの運動方程式]]と同等である。

=== ラグランジアン ===
'''ラグランジアン'''（{{lang|en|Lagrangian}}）は物理的な[[力学系]]の[[動力学]]を記述するために用いられる関数である。ラグランジュ関数とも呼ばれる。

ラグランジアン <math>L(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},t)</math> は一般に[[運動エネルギー]] T と[[ポテンシャル]] V の差
{{Indent|
<math>L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) = T -V</math>
}}
の形をしている。
ラグランジアンは[[エネルギー]]の[[次元]]を持つ[[スカラー]]であるが、観測可能な[[物理量]]ではなく、その値自体に物理的な意味があるわけではない。
また、座標と時間の任意関数 <math>f(\boldsymbol{q},t)</math> の時間による微分を加えた
{{Indent|
<math>L'(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) = L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) +\frac{d}{dt}f(\boldsymbol{q},t)</math>
}}
の形でも全く同じ力学系を表す。

=== 運動量 ===
一般化[[運動量]]はラグランジアンの一般化速度による微分
{{Indent|
<math>p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}</math>
}}
によって定義される。
これは併進対称性から導かれる[[保存量]]である。

一般化運動量を用いると、ラグランジュの運動方程式は
{{Indent|
<math>\dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}</math>
}}
となる。ニュートンの運動方程式との比較から、右辺は一般化された[[力]]と見ることも出来る。

ハミルトン形式では一般化座標と一般化運動量によって記述されている。
一般化運動量は正準共役量であり、共役運動量や正準運動量と呼ばれることもある。

== ハミルトン形式との関係 ==
[[ハミルトン形式]]とラグランジュ形式は[[ルジャンドル変換]]を通して等価である。
但し、ラグランジアンが退化している場合は、ルジャンドル変換が[[位相同型|微分同相写像]]ではなくなり、ラグランジュ系からハミルトン系へ移行することができなくなる。この退化している場合の処方としてディラックの拘束理論が知られている。

== ラグランジュ形式による場の理論 ==
特に[[相対性理論|相対論]]的な場の理論の場合では、ラグランジュ形式から出発するのが一般的である。その方が相対論的[[不変量 (物理学)|不変性]]などの[[対称性]]が見やすいからである<ref>[[#shimizu|清水(2004)]]</ref>。

力学変数としては場 <math>\phi(x)</math> を考える。
作用積分は
{{Indent|
<math>S[\phi] = \int d^dx\, \mathcal{L}(\phi, \partial\phi, x)</math>
}}
で、被積分関数
{{Indent|
<math>\mathcal{L}(\phi, \partial\phi, x)</math>
}}
は特に'''ラグランジアン密度'''と呼ばれる。
ラグランジュの運動方程式は
{{Indent|
<math>\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}
-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} =0</math>
}}
となる。

== 具体例 ==
=== 相対論的な粒子系 ===
[[特殊相対性理論|相対論的]]な系では、時間は位置と共に[[4元ベクトル]]となるので、時間は力学変数となり、積分の変数ではなくなる。パラメータを λ とし、
{{Indent|
<math>q=q_i^\mu(\lambda)=(ct_i(\lambda), \boldsymbol{x}_i(\lambda)),~
\dot{q} = \frac{dq}{d\lambda}</math>
}}
とする。μ は時空の添え字で i は粒子を区別する添え字である。
自由粒子系を考えると、作用積分は
{{Indent|
<math>S[q] = \int L(q, \dot{q}, \lambda)\, d\lambda
= -\int \sum_i \left(
m_ic \sqrt{\eta_{\mu\nu}\, \dot{q}_i^\mu \dot{q}_i^\nu}
\right)\, d\lambda</math>
}}
である。η は平坦な[[時空]]の[[計量]]で <math>\eta = \mathrm{diag}(1, -1, \ldots, -1)</math> である。
平方根の中が正である為に、作用積分の段階で運動は時間的なものに限定されている。

ラグランジュの運動方程式は
{{Indent|
<math>\frac{\delta S[q]}{\delta q_i^\mu(\lambda)}
= -\dot{p}_{i\mu}(\lambda)
= 0</math>
}}
となる。
ここで、一般化運動量は
{{Indent|
<math>p_{i\mu}(\lambda)
= \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i^\mu}
= -m_ic \frac{\eta_{\mu\nu}\,\dot{q}_i^\nu(\lambda)}
{\sqrt{\eta_{\rho\sigma} \dot{q}_i^\rho \dot{q}_i^\sigma}}</math>
}}
である。
[[固有時間]] <math>c^2d\tau_i^2 = \eta_{\rho\sigma}dq_i^\rho dq_i^\sigma</math> を使うと、
{{Indent|
<math>p_{i\mu}(\lambda)
= -m_i \eta_{\mu\nu} \frac{dq_i^\nu}{d\tau_i}
= \left( -m_ic\frac{dt_i}{d\tau_i}, m_i\frac{d\boldsymbol{x}_i}{d\tau_i}
\right) </math>
}}
となる。

==== 補助場の導入 ====
この作用は平方根の中に微分を含む形のため扱いが困難である。
補助場を導入して別の形に書くことが出来る。
{{Indent|
<math>S[q,\gamma] = -\frac{1}{2}\int \sum_i \left(
\frac{1}{\gamma_i}\eta_{\mu\nu}\dot{q}_i^\mu \dot{q}_i^\nu
+\gamma_i m_i^2c^2 \right) d\lambda</math>
}}
ここで補助場 <math>\gamma_i(\lambda)</math> の微分は含まれておらず、非物理的な量である。
この作用積分は一般化速度の二次形式で書かれている。作用積分の段階では運動は時間的なものに限定されない。

補助場の運動方程式は
{{Indent|
<math>\frac{\delta S[q,\gamma]}{\delta\gamma_i(\lambda)}
= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{\gamma_i^2}
\eta_{\mu\nu}\dot{q}_i^\mu\dot{q}_i^\nu
-m_i^2c^2 \right) = 0</math>
}}
となる。m が 0 でないときには
{{Indent|
<math>\gamma_i^2
= \frac{\eta_{\mu\nu}\dot{q}_i^\mu\dot{q}_i^\nu}{m_i^2c^2}</math>
}}
となって上の作用積分と等価であることが確認される。
q の運動方程式は
{{Indent|
<math>\frac{\delta S[q,\gamma]}{\delta q_i^\mu(\lambda)}
= -\dot{p}_{i\mu}(\lambda)
= 0</math>
}}
であり、一般化運動量は
{{Indent|
<math>p_{i\mu}(\lambda) = -\frac{1}{\gamma_i(\lambda)}
\eta_{\mu\nu}\dot{q}_i^\nu(\lambda)</math>
}}
である。

=== 電磁気学 ===
電磁場の力学変数は[[電磁ポテンシャル]] A である。
[[マクスウェルの方程式]]は
{{Indent|
<math>S[q,A] =S_q[q] +S_A[A] +S_\mathrm{int}[q,A]</math>
}}
の形の作用積分により導かれる。
Sq は物質の項、SA は電磁場の項、Sint は[[電磁場と物質の相互作用]]項であり、電磁場の項は
{{Indent|
<math>S_A[A] = -\frac{1}{4\mu_0} \int F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} d^4x</math>
}}
と書かれる。ここで F は[[電磁場テンソル]]である。
{{Main|電磁ポテンシャル#ラグランジュ形式}}

==== 電磁場中の粒子系 ====
物質場として相対論的な粒子系を考え、相互作用項
{{Indent|
<math>S_\mathrm{int}[q,A]
= \int d\lambda\, \int d^4x\,
\mathcal{L}_\mathrm{int}(q, \dot{q}, \lambda; A, \partial A, x)</math>
}}
{{Indent|
<math>\mathcal{L}_\mathrm{int}(q, \dot{q}, \lambda; A, \partial A, x)
=-\sum_i \left(
e_i \dot{q}_i^\mu(\lambda) \delta^4(x-q_i(\lambda))
\right) A_\mu(x)</math>
}}
を考える。

このとき、物質 q に関する運動方程式は
{{Indent|
<math>\frac{\delta S_q[q]}{\delta q_i^\mu(\lambda)}
+\frac{\delta S_\mathrm{int}[q,A]}{\delta q_i^\mu(\lambda)}
= -\dot{p}_{i\mu} +e_i \dot{q}_i^\nu F_{\nu\mu}(q_i)
= 0</math>
}}
となり、[[ローレンツ力]]を再現する。

また、[[4元電流密度]]は
{{Indent|
<math>j^\mu(x)
= -\frac{\delta S_\mathrm{int}[q,A]}{\delta A_\mu(x)}
= \int \sum_i \left( e_i \dot{q}_i^\mu(\lambda) \delta^4(x-q_i(\lambda))
\right)\, d\lambda</math>
}}
となる。

=== 一般相対性理論 ===
[[一般相対性理論]]においては、平坦な時空の計量は曲がった時空の計量 g に置き換えられ、これが力学変数となる。
作用積分は
{{Indent|
<math>S[g,q] = S_q[g,q] +S_g[g]</math>
}}
と書かれる。
重力場の項は
{{Indent|
<math>S_g[g] = \frac{1}{2\kappa} \int R \sqrt{-g}\,d^4x</math>
}}
である。
ここで R は[[スカラー曲率]]である。
[[アインシュタイン方程式]]は時空の計量 g の運動方程式として導かれる。
{{Main|アインシュタイン・ヒルベルト作用}}

== 関連記事 ==
* [[オイラー＝ラグランジュ方程式]]
* [[最小作用の原理]]
* [[解析力学]] - [[ハミルトン力学]]
* [[ネーターの定理]]

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author=[[レフ・ランダウ|L.D.ランダウ]]、[[エフゲニー・リフシッツ|E.M.リフシッツ]]
|title=力学
|publisher=[[東京図書出版]]
|series=[[理論物理学教程]]
|year=1974
|isbn=4-489-01160-1
}}
* {{Cite book|和書
|author=[[レフ・ランダウ|L.D.ランダウ]]、[[エフゲニー・リフシッツ|E.M.リフシッツ]]
|title=場の古典論
|publisher=[[東京図書出版]]
|series=[[理論物理学教程]]
|year=1978
|isbn=4-489-01161-X
}}
* {{Cite book|和書
|author=[[清水明]]
|title=新版量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―
|publisher=[[サイエンス社]]
|year=2004
|isbn=4-7819-1062-9
|ref=shimizu
}}
* {{Cite book|和書
|author=[[江沢洋]]
|title=解析力学
|publisher=[[培風館]]
|series=新物理学シリーズ
|year=2007
|isbn=978-4-563-02436-9
}}

== 外部リンク ==
* {{Spedia|Lagrangian_mechanics|Lagrangian mechanics}}

{{Physics-stub}}

{{DEFAULTSORT:らくらんしゆりきかく}}
[[Category:力学]]

角運動量

2014-08-06T10:01:35Z

124.110.222.82: /* 円運動 */

{{出典の明記|date=2011年10月}}
{{物理量
| 名称 =
| 英語 = angular momentum
| 画像 =
| 記号 = ''L''
| 次元 = [[質量|M]] [[長さ|L]]{{sup|2}} [[時間|T]]{{sup-|1}}
| 階 = [[擬ベクトル]]
| SI = [[ニュートンメートル秒]] (N·m·s)
| プランク = 有理化された[[プランク定数]] (ℏ)
}}
{{古典力学}}
'''角運動量'''（かくうんどうりょう、{{Lang-en|angular momentum}}）とは、'''[[運動量]]の[[モーメント]]'''を表す[[力学]]の概念である。

== 定義 ==
位置 '''r''' において、運動量 '''p''' を持つ[[質点]]の角運動量 '''L''' は
{{Indent|
<math>\boldsymbol{L} \equiv \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}</math>
}}
で定義される。
ここで、× は[[クロス積|外積]]である。
従って、角運動量の大きさ L は
{{Indent|<math>L=rp\,\sin \theta</math>}}
と表される。
ここで、θ は '''r''' と '''p''' のなす角を、r,p はそれぞれ '''r''', '''p''' の大きさを表す。

質点が質量 m、速度 '''v''' のとき、運動量は '''p'''=m'''v''' であり、角運動量は
{{Indent|
<math>\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times m\boldsymbol{v}
= m \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}</math>
}}
となる。

また、[[角速度]]が '''ω''' のとき、角運動量は
{{Indent|
<math>\boldsymbol{L}=I \boldsymbol{\omega}</math>
}}
と表すことができる。ここで I は[[慣性モーメント]]である。

=== 座標原点の移動 ===
角運動量は、その定義から[[座標|座標原点]]の選択に依存する。
原点を位置 '''a''' へ移動した座標系を考える。
新たな座標系における量を ' を付けて表すものとすれば、
'''r''''='''r'''-'''a''', '''p''''='''p''' であり
{{Indent|
<math>\boldsymbol{L}' =\boldsymbol{r}'\times \boldsymbol{p}'
=\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p} -\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{p}
=\boldsymbol{L} -\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{p}</math>
}}
となる.
{{See also|ガリレイ変換|回転座標系}}

== 運動方程式 ==
質点の角運動量の時間変化は
{{Indent|
<math>\frac{d\boldsymbol{L}}{dt}
=\boldsymbol{r}\times \frac{d\boldsymbol{p}}{dt}
+\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\times \boldsymbol{p}</math>
}}
となる。
ここで、[[ニュートンの運動方程式]] d'''p'''/dt='''F''' を用いれば、第一項は[[力のモーメント]] '''N'''='''r'''×'''F''' となる。
また、第二項は (d'''r'''/dt)×'''p'''=m'''v'''×'''v'''='''0''' となる。
したがって、角運動量はニュートンの運動方程式と同様な[[オイラーの運動方程式]]
{{Indent|
<math>\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N}</math>
}}
を満たす。

力のモーメントはその定義から座標原点の選択に依存する。
しかし、座標原点の移動による力のモーメントの変化と角運動量の変化が相殺され、運動方程式は常に成り立つ。

== 角運動量の保存 ==
{{main|角運動量保存の法則}}
力のモーメントが0であるとき、角運動量は時間とともに変化せず一定となる。このことを角運動量保存の法則（角運動量の保存則）という。
力のモーメントが0となるのは、力が0であるか、力が位置ベクトルと平行であるときである。

力が作用していないときは[[等速直線運動]]となる。等速直線運動においては運動量と角運動量はともに保存する。
これに対し[[等速円運動]]においては、運動量の大きさは一定であるが向きが時間により変化するため運動量は保存せず、角運動量のみが保存する。

力が位置ベクトルと平行であるときは
{{Indent|
<math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = f(r)\, \boldsymbol{r}</math>
}}
と表すことができる。この形の力は中心力と呼ばれる。

== 質点系の角運動量 ==
角運動量は加法的な量であり、系の全角運動量は、部分の角運動量の和であらわされる。
質点系の全角運動量 '''L''' は、質点 i の角運動量を '''l'''i とすれば
{{Indent|
<math>\boldsymbol{L} =\sum_i \boldsymbol{l}_i =\sum_i \boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{p}_i</math>
}}
である。
[[質量中心]] '''r'''g に全質量 M があると考えたときの角運動量は
{{Indent|
<math>\boldsymbol{L}_g =M\boldsymbol{r}_g \times \frac{d\boldsymbol{r}_g}{dt}</math>
}}
となる。
全角運動量と '''L'''g の差は、質量中心からみた[[相対運動]]の角運動量とみなすことができる。
{{Indent|
<math>\boldsymbol{L}_r=\boldsymbol{L} -\boldsymbol{L}_g</math>
}}

質点 i の角運動量の時間変化は、質点 i に作用する力のモーメント '''N'''i='''r'''i×'''F'''i に等しく
{{Indent|
<math>\frac{d\boldsymbol{l}_i}{dt}=\boldsymbol{N}_i =\boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{F}_i</math>
}}
を満たす。
ここで質点 i に作用する力 '''F'''i を、外力 '''f'''i と、質点 j が及ぼす内部相互作用 '''f'''ij に分ると、力のモーメントは
{{Indent|
<math>\boldsymbol{N}_i=\boldsymbol{r}_i\times (\boldsymbol{f}_i+\sum_j \boldsymbol{f}_{ij})</math>
}}
と表される。
全角運動量の時間変化を考えると
{{Indent|
<math>\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} =\sum_i \frac{d\boldsymbol{l}_i}{dt}
=\sum_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_i
+\sum_{i,j} \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_{ij}</math>
}}
となる。
[[運動の第3法則]]から '''f'''ji=-'''f'''ij なので、内力のモーメントの和は
{{Indent|
<math>\sum_{i,j} \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_{ij}
=\frac{1}{2}\sum_{i,j}( \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_{ij}
-\boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_{ji})
=\frac{1}{2}\sum_{i,j}( \boldsymbol{r}_i -\boldsymbol{r}_j) \times \boldsymbol{f}_{ij}</math>
}}
と変形できる。

ここで、'''内力が中心力であるならば'''、内力 '''f'''ij は質点 i の質点 j から見た相対位置 '''r'''i-'''r'''j と平行で、内力のモーメントの和は 0 となる。
このとき
{{Indent|
<math>\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} =\sum_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_i</math>
}}
となり、質点系の全角運動量の時間変化は作用する外力のモーメントの総和と等しくなる。
{{-}}

== 回転運動と角運動量 ==
[[File:Torque_animation.gif|frame|right|固定された回転軸をもつ系に対して、力を作用させた時の物理量の関係。力のモーメント '''τ''' と、位置 '''r''' と力 '''F''' との関係（上の式）、および角運動量 '''L''' と位置 '''r''' と運動量 '''p''' との関係（下の式）。]]
角運動量は回転運動と深く関係している物理量である。ただし、角運動量自体は回転運動をしていなくとも定義される物理量である。

惑星間に働く万有引力は中心力であり、したがって、惑星の角運動量は保存される。保存則は、[[ケプラーの法則|ケプラーの第2法則]]の「面積速度一定」と密接な関わりがある。
時刻 t における位置ベクトル '''r'''(t) と、微小な時間 dt が経った後の位置ベクトル '''r'''(t+dt) が作る微小な三角形の面積は
{{Indent|
<math>d\boldsymbol{S} =\frac{1}{2}\boldsymbol{r}(t)\times \boldsymbol{r}(t+dt)</math>
}}
である。
従って、面積速度は
{{Indent|
<math>\frac{d\boldsymbol{S}}{dt} = \frac{1}{2}\boldsymbol{r}(t)\times \boldsymbol{v}(t)
=\frac{1}{2m} \boldsymbol{L}(t)</math>
}}
となり、面積速度が一定ならば、角運動量も一定となる。

=== 角速度 ===
角速度 '''ω''' は
{{Indent|
<math>\boldsymbol{\omega} =\frac{2}{r^2} \frac{d\boldsymbol{S}}{dt}
=\frac{1}{r^2} \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}</math>
}}
と表される。
従って、質点の慣性モーメントは
{{Indent|
<math>I =mr^2</math>
}}
となる。

原点を中心とした[[円運動]]をしている[[質点]]の速度 '''v''' は次のように表される。
{{Indent|
<math>\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}</math>
}}

== 量子力学での角運動量 ==
[[量子力学]]では、角運動量は以下の[[交換関係]]を満たす[[演算子]] <math>\hat{\boldsymbol{J}}</math> として定義される。
{{Indent|
<math>[\hat{J}_x, \hat{J}_y] = i\hat{J}_z,~
[\hat{J}_y, \hat{J}_z] = i\hat{J}_x,~
[\hat{J}_z, \hat{J}_x] = i\hat{J}_y</math>
}}
あるいは、3つの式をまとめて
{{Indent|
<math>[\hat{J}_i, \hat{J}_j] = i\epsilon_{ijk}\hat{J}_k</math>
}}
<math>\epsilon_{ijk}</math> は[[完全反対称テンソル]]である。これらの交換関係は角運動量代数と呼ばれる。

この角運動量の性質を調べると、
{{Indent|
<math>\hat{\boldsymbol{J}} = \hat{\boldsymbol{L}} + \hat{\boldsymbol{S}}</math>
}}
の二つの部分に分けられ、それぞれが角運動量代数を満たす。
{{Indent|
<math>[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\epsilon_{ijk}\hat{L}_k,~
[\hat{S}_i, \hat{S}_j] = i\epsilon_{ijk}\hat{S}_k,~
[\hat{L}_i, \hat{S}_j] = 0</math>
}}

[[軌道角運動量]] <math>\hat{\boldsymbol{L}}</math> は、 <math>\hat{\boldsymbol{L}} = \hat{\boldsymbol{r}} \times \hat{\boldsymbol{p}}</math> のように位置と運動量の外積で表すことができ、その固有値が整数のみに限られる。{{main|軌道角運動量}}

[[スピン角運動量]] <math>\hat{\boldsymbol{S}}</math> は、位置と運動量では表現することができず、その固有値が整数に加えて半整数も許される。{{main|スピン角運動量}}

== 対称性との関係 ==
角運動量は空間の等方性（回転対称性）に対応する保存量である。
空間の一様性（併進対称性）に対応する保存量である運動量、時間の一様性に対応する保存量であるエネルギーとともに、基本的な物理量である<ref>[[#landau|ランダウ=リフシッツ物理学小教程]]</ref>。それぞれ「角運動量保存の法則」、「運動量保存の法則」、「エネルギー保存の法則」に関連づけられる。
{{see also|ネーターの定理|ポアンカレ対称性}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}
== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author=[[レフ・ランダウ|L.D.ランダウ]]
|coauthors=[[エフゲニー・リフシッツ|E.M.リフシッツ]]
|translator=[[水戸巌]]・[[恒藤敏彦]]・[[廣重徹]]
|title=力学・場の理論 : ランダウ=リフシッツ物理学小教程
|origyear=
|year=2008
|publisher=[[筑摩書房]]
|series=[[ちくま学芸文庫]]
|page=
|isbn=978-4-480-09111-6
|ref=landau
}}

== 関連項目 ==
* [[角運動量保存の法則]]
* [[力のモーメント]]
* [[トルク]]（回転軸の周りの力のモーメント）
* [[ジャイロスコープ]]

{{DEFAULTSORT:かくうんとうりよう}}
[[Category:物理量]]
[[Category:回転]]

ウィークボソン

2014-07-12T06:14:08Z

124.110.222.82: 不確かさ, 相互作用

{{Infobox particle
| 名前 = Wボソン
| 組成 = [[素粒子]]
| グループ = [[ゲージ粒子]]
| 相互作用 = [[弱い相互作用]] [[電磁相互作用]] [[重力相互作用]]
| 反粒子 = Wボソン
| 理論化 = [[ジュリアン・シュウィンガー]]
| 発見 = [[欧州原子核研究機構|CERN]](1983年)
| 記号 = {{粒子の記号|link=yes|Wボソン+-}}
| 質量 = {{val|80.385|0.015|ul=GeV/c2}}<ref>[[#pdgW|Particle Data Group]]</ref>
| 電荷 = ±[[電気素量|e]]
| スピン = 1
}}
{{Infobox particle
| 名前 = Zボソン
| 組成 = [[素粒子]]
| グループ = [[ゲージ粒子]]
| 相互作用 = [[弱い相互作用]] [[重力相互作用]]
| 反粒子 = Zボソン
| 理論化 = [[シェルドン・グラショー]]、[[スティーヴン・ワインバーグ]]、[[アブドゥッサラーム]]
| 発見 = [[欧州原子核研究機構|CERN]](1983年)
| 記号 = {{粒子の記号|link=yes|Zボソン}}
| 質量 = {{val|91.1876|0.0021|ul=GeV/c2}}<ref>[[#pdgZ|Particle Data Group]]</ref>
| 電荷 = 0
| スピン = 1
}}
'''ウィークボソン''' ({{lang|en|weak boson}}) は[[素粒子物理学]]において、[[弱い相互作用]]を媒介する[[素粒子]]である。'''弱ボソン'''とも言う。
ウィークボソンは[[スピン角運動量|スピン]]1の[[ベクトル]][[ボソン]]で、WボソンとZボソンの二種類が存在する。Wボソンは[[陽子]]の約80倍、Zボソンは約90倍と他の素粒子に比べて大きな[[質量]]をもち、ごく短時間のうちに別の粒子に[[崩壊]]してしまうという特徴を持つ。
Wボソンは電荷 ±1 （W+,W−）をもち、両者は互いに反粒子の関係にある。
Zボソンは電荷 0 で、反粒子は自分自身である。

1968年に理論で存在が予言され、1983年に[[欧州原子核研究機構|欧州合同原子核研究所]]にてその存在が確認された<ref>[[#nakamura|中村 (1988)]] 297頁</ref>。

== 概要 ==
[[弱い相互作用]]は[[ベータ崩壊]]に代表される、粒子の種類を変える相互作用である。
{{Indent|
<math>n \to p^+ +e^- +\bar{\nu}_e</math>
}}
ベータ崩壊では4つの[[フェルミオン]]が関わっており、[[フェルミ相互作用]]と呼ばれる。
[[湯川秀樹|湯川]]はこの反応を
{{Indent|
<math>n \to p^+ +W^-,~
W^- \to e^- +\bar{\nu}_e</math>
}}
のように2段階で起きているとした。それぞれの反応では2つのフェルミオンと1つのボソンが関わっており、[[湯川相互作用]]と呼ばれる。

[[ジュリアン・シュウィンガー|シュウィンガー]]は弱い相互作用と[[電磁相互作用]]の共通性から両者には関係があると考え、Wボソンと[[光子]]を合わせて [[特殊ユニタリ群|SU(2)]] の三重項（[[特殊ユニタリ群#随伴表現|随伴表現]]）とする模型を考えた。
この模型には、光子は質量をもたないがWボソンが質量をもつ理由や、Wボソンが質量をもつ故に相互作用の[[くりこみ]]が不可能であるなどの困難があった。

[[シェルドン・グラショー|グラショウ]]は対称性を SU(2)×U(1) に拡張する必要性に気付いた<ref>[[#glashow|Glashow (1961)]]</ref>。
[[スティーヴン・ワインバーグ|ワインバーグ]]と[[アブドゥッサラーム|サラム]]は[[ヒッグス機構]]により[[自発的対称性の破れ|対称性が自発的に破れ]]て質量を与える理論を考えた<ref>[[#weinberg|Weinberg (1967)]]</ref>。
この理論によりZボソンの存在と、Zボソンが関わる中性カレントというそれまでに無かった相互作用が予言された。
この予言によりグラショウ、サラム、およびワインバーグは1979年に[[ノーベル物理学賞]]を受賞した<ref>[[#nobel|1979年ノーベル物理学賞]]</ref>。

WボソンとZボソンは1983年に[[欧州原子核研究機構|CERN]]のスーパー陽子シンクロトロン（SPS）によって発見された。

ウィークボソンの質量程度のエネルギースケール（100GeV程度）は通常'''ウィークスケール'''と呼ばれる。
WボソンとZボソンの質量はCERNの[[大型電子反電子衝突型加速器]]（[[w:Large Electron–Positron Collider|{{Lang|en|Large Electron–Positron Collider}}]], LEP）により精度良く測定されている。
特に、ヒッグス機構によって破れた電弱対称性がウィークスケールにおいてどの程度の量子補正を受けられるかはLEPによる精密測定から厳しい制限がつけられており素粒子模型の構築の指針となっている。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
; 論文
* {{Cite journal
|author=S. L. Glashow
|title=Partial Symmetries of Weak Interactions
|journal=Nucl. Phys.
|volume=22
|year=1961
|pages=579
|doi=10.1016/0029-5582(61)90469-2
|ref=glashow
}}
* {{Cite journal
|author=S. Weinberg
|title=A Model of Leptons
|journal=Phys. Rev. Lett.
|volume=19
|year=1967
|pages=1264
|doi=10.1103/PhysRevLett.19.1264
|ref=weinberg
}}

; 書籍
* {{Cite book|和書
|author=中村誠太郎
|title=現代物理学の世界
|publisher=講談社
|series=講談社学術文庫
|year=1988
|isbn=4-06-158849 C0142
|ref=nakamura
}}
* {{Cite book|和書
|author=[[南部陽一郎]]、他
|title=大学院素粒子物理１
|publisher=[[講談社]]
|year=1997
|isbn=4-06-153224-3
|ref=nambu et al.
}}

== 関連項目 ==
* [[ワインバーグ＝サラム理論]]
* [[ベータ崩壊]]
* [[ニュートリノ]]
* [[弱い相互作用]]
* [[ゲージ粒子]]
* [[素粒子物理学]]

== 外部リンク ==
* [http://pdg.lbl.gov/ Particle Data Group]
** {{Cite web
|url=http://pdg8.lbl.gov/rpp2013v2/pdgLive/Particle.action?node=S043
|title=pdgLive （Wボソン）
|accessdate=2013-08-03
|ref=pdgW
}}
** {{Cite web
|url=http://pdg8.lbl.gov/rpp2013v2/pdgLive/Particle.action?node=S044
|title=pdgLive （Zボソン）
|accessdate=2013-08-03
|ref=pdgZ
}}
* {{Cite web
|url=http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1979/
|title=The Nobel Prize in Physics 1979
|accessdate=2014-07-12
|ref=nobel
}}

{{粒子の一覧}}
{{DEFAULTSORT:ういくほそん}}
[[Category:素粒子物理学]]
[[Category:素粒子]]
[[Category:ゲージ粒子]]
[[Category:標準模型]]
{{physics-stub}}