カントール集合

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ファイル:Cantors dust in seven iterations.png
上から下に3等分した真中を抜くという操作を繰り返す。その極限がカントール集合である。

カントール集合(カントールしゅうごう、cantor set)は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないようなもの全体からなる集合である。マンデルブロは当初、カントール集合のことを「カントールの塵」(cantor dust)とも呼んでいた[1]1874年イギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミスHenry John Stephen Smith)により発見され[2][3][4][5]1883年ゲオルク・カントールによって紹介された[6][7]

幾何学的には、線分を3等分し、得られた3つの線分の真ん中のものを取り除くという操作を、帰納的に繰り返すことで作られる集合である。ハウスドルフ次元は log(2)/log(3) (=0.6309297...) で、1 よりも小さい値を持つ。カントール集合は、ルベーグ測度は 0 で、しかも非可算集合であるような集合の有名な例である。

関連項目

出典

  1. Measure, Topology, and Fractal Geometry 1-4ページ pdfにて無料ダウンロード可能
  2. Henry J.S. Smith (1874) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
  3. The “Cantor set” was also discovered by Paul du Bois-Reymond (1831–1889). See footnote on page 128 of: Paul du Bois-Reymond (1880) “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung,” Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128. The “Cantor set” was also discovered in 1881 by Vito Volterra (1860–1940). See: Vito Volterra (1881) “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue” [Some observations on point-wise discontinuous functions], Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86.
  4. José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.
  5. Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos
  6. Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)], Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
  7. H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.