第二量子化

第二量子化（だいにりょうしか, Second quantization）とは場の正準量子化のことである。

量子力学は、粒子の位置と運動量を基本変数に選んだ量子論である。 古典的に場であったもの（電磁場など）だけでなく、古典的には粒子とみなされてきた物理系であっても、場を基本変数にしたほうが良く、適用範囲も広いことが判っている。スピンが関わるような物理系がその典型である。「位置と運動量」を基本変数としてもスピンを記述することができないため、量子力学でスピンが関わるような状況では、スピンを新たな基本変数としてつけ加えることをする。しかし「位置と運動量」ではなく「場」を基本変数として電子を扱うとスピンを自然に記述できる。

場を基本変数とする量子論を場の量子論と呼ぶ。量子力学は、場の量子論を低エネルギー状態に限った場合の近似理論である。

また量子論をフォック空間で考えることを第二量子化と呼ぶこともある。

名前の由来について

場の量子化は、決して「二度目の」量子化ではない。「第二量子化」という言葉は、場の量子論が作られていく歴史的過程において、量子化の本質が見えず、「一度目の量子化が有限自由度の量子力学で、これをもう一度量子化したものが場の量子論である」という誤解に由来するものである。

「古典的には粒子であるもの(例えば電子)に対して、場を基本変数にしてみよう」という動機が、「座標表示の波動関数が場のようにも見えたから」だった。しかし言うまでもなく、「基本変数である場」と「状態ベクトルの座標表示である波動関数」とは全くの別物である。

スカラー場の量子化

テンプレート:Main 例としてスカラー場の量子化を考える。 スカラー場<math>\phi(\mathbf{r})</math>と、それに共役な運動量<math>\pi(\mathbf{r})</math>を基本変数に選ぶと、これは正準変数である。系の物理量（オブザーバブル）は

<math>A=A(\{\phi(\mathbf{r}), \pi(\mathbf{r})\})</math>

と表せる。 場の正準量子化では、<math>\phi,\pi \ </math>を以下の正準交換関係を満たすエルミート演算子<math>\hat{\phi},\hat{\pi} \ </math>に置き換える。

<math>\big[ \hat{\phi}(\mathbf{r}), \hat{\pi}(\mathbf{r}) \big] = i\hbar\delta^{(3)}(\mathbf{r}-\mathbf{r'})\ </math>

<math>\big[ \hat{\pi}(\mathbf{r}), \hat{\pi}(\mathbf{r'}) \big] = \big[ \hat{\phi}(\mathbf{r}), \hat{\phi}(\mathbf{r'}) \big] = 0 \ </math>

なお、基本変数の場がオブザーバブルでない場合は、場についての交換関係は、必ずしもこのような交換関係でなくてもよくなる。 実際、粒子はボース粒子とフェルミ粒子に大別されるが、フェルミ粒子の場合は、この交換関係を全て反交換関係に置き換えて正準量子化する。

複数の同種粒子の量子論

N個の同種粒子から成る系は、等価であるが一見異なった2つの方法で記述できる。

第一の方法では、状態空間を構成するために、1粒子の状態空間のN個のテンソル積を考え、それを粒子の入れ替えに対しボゾン系では完全対称なもの、フェルミオン系では非対称なものへ制限する。このような多体系の取り扱いを第一量子化とよぶ。

第二の方法では、粒子の生成消滅演算子を考え、粒子が1つもない状態に生成演算子をN個作用させた状態としてN体系を記述する。このような多体系の取り扱いを第二量子化と呼ぶ。

同種粒子

量子論では同種の粒子は全く区別がつかない。そのため、同種粒子を含む系の状態ベクトルや物理量は一定の対称性を持つものに限られる。 その対称性は、基本変数を粒子の「位置と運動量」にとった量子論では少し不自然にも見える形で現れる（波動関数の対称性、反対称性など）。 この不自然さは、個々の粒子に別々の「位置と運動量」を割り当てるのは粒子が区別できることが大前提であるのに、区別ができない粒子にそれをやってしまったことによる。 そこで基本変数を「場」とその共役運動量にとれば、同種粒子の区別がつかないことや、状態ベクトルや物理量の対称性なども自動的に理論に組み込まれ、すっきりしたものになる。

n 個の多粒子系を考える。これを記述する多体波動関数は、系の粒子がフェルミ粒子なら任意に選んだ 2 粒子の交換により多体波動関数の符号が変わる（反対称）。一方、系の粒子がボース粒子なら同様な 2 粒子の交換に対し符号は変わらない（対称）。

占有数表示

ここで、多体波動関数が <math>n \ </math>個の一体の波動関数（一粒子波動関数）から構成されるとして、個々の一体波動関数の占有数を <math>N_1, N_2, \cdots, N_n \ </math>と表現する。

フェルミ粒子では占有数<math>N_i \ </math>（i は 0 ～ n の間の任意の整数）は、 0 または 1 の値のみを取り得る。 ボース粒子なら 0 以上の任意の整数（∞ まで）となる。

この占有数<math>N_i \ </math>を 1 増やすような演算子（生成演算子あるいは創成演算子）<math>\hat{a}^\dagger \ </math>、及び <math>N_i \ </math> を 1 減らすような演算子（消滅演算子）を <math>\hat{a} \ </math>とする。 これら生成・消滅演算子 <math>\hat{a}^\dagger \ </math>, <math>\hat{a} \ </math> を使って、一粒子演算子、二粒子演算子などが定義できる。

生成・消滅演算子 <math>\hat{a}^\dagger \ </math>, <math>\hat{a} \ </math> は、フェルミ粒子系においては、反交換関係

<math>\{ \hat{a}_i, \hat{a}^\dagger_j \} = \delta_{ij}</math>

を満たし、ボース粒子系においては、交換関係

<math>[ \hat{a}_i, \hat{a}^\dagger_j ] = \delta_{ij}</math>

を満たす。

数演算子は生成消滅演算子を用いて以下のように定義する。

<math>\hat{N_i} \equiv \hat{a}^\dagger \hat{a}</math>

数演算子の規格直交化された固有ベクトルで張られる空間をフォック空間という。

この生成・消滅演算子 <math>\hat{a}^\dagger \ </math>, <math>\hat{a} \ </math> を導入した形式を第二量子化と言う。これは、もとの一体波動関数が、ハミルトニアン <math>\hat{H} \ </math> の固有関数であり、この段階で既に量子化がなされている。この一体波動関数を更に、生成・消滅演算子 <math>\hat{a}^\dagger \ </math>, <math>\hat{a} \ </math> を導入して記述し直すため第二量子化と言う。

場の演算子

生成消滅演算子の線形結合を作っておくことはしばしば便利である。

<math>\hat{\psi}(\bold{r},t) = \sum_k \psi_k(\bold{r})\hat{a}_k(t)</math>

<math>\hat{\psi}^{\dagger}(\bold{r},t) = \sum_k \psi^*_k(\bold{r})\hat{a}^{\dagger}_k(t)</math>

ここで係数は1粒子ハミルトニアンの固有状態(1粒子波動関数)である。これらの量<math>\hat{\psi}, \hat{\psi}^{\dagger}</math>は場の演算子と呼ばれている。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 量子力学
• 物性物理学
• 場の量子論
• 調和振動子
• ブラケット記法

外部リンク

• テンプレート:Spedia