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'''積分方程式'''(せきぶんほうていしき、Integral equation)は、[[数学]]において、未知の[[関数 (数学)|関数]]が[[積分]]の中に現れるような[[方程式]]である。積分方程式と[[微分方程式]]には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。 積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。 # 積分の上限および下限が固定の場合、'''フレドホルム積分方程式'''と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、'''ヴォルテラ積分方程式'''と呼ばれる。 # 未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、'''第一種積分方程式'''と呼ばれ、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、'''第二種積分方程式'''と呼ばれる。 # 既知の関数 ''f'' (下記参照)が恒等的に 0 の場合、'''同次積分方程式'''と呼ばれ、''f'' が 0 でない場合、'''非同次積分方程式'''と呼ばれる。 4種類の積分方程式(同次・非同次方程式をまとめた)の例として以下のように書ける。 ただし φ は未知の関数、''f'' は既知の関数、''K'' は既知の2変数関数で'''積分核'''と呼ばれる。λ は未知の係数で、[[線型代数学]]における[[固有値]]と同じ役割をする。 ;第一種フレドホルム積分方程式: :<math> f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt </math> ;第二種フレドホルム積分方程式: :<math> \phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt </math> ;第一種ヴォルテラ積分方程式: :<math> f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt </math> ;第二種ヴォルテラ積分方程式: :<math> \phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt </math> 積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や[[振動]]などが挙げられる。振動問題は[[微分方程式]]によって解かれることもある。 ==固有値問題の一般化としての積分方程式== ある種の斉次線型積分方程式は、[[固有値|固有値問題]]の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、<math>\mathbf{M}</math> を行列、<math>\mathbf{v}</math> を固有ベクトル、<math>\lambda</math> を対応する固有値として、 :<math> \sum _j M_{i,j} v_j = \lambda v_i^{}</math> と書くことができる。 添字 <math>i</math>、<math>j</math> を連続変数 <math>x</math>、<math>y</math> で置き換えて連続極限を取ると、<math>j</math> に関する総和は <math>y</math> に関する積分、行列 <math>M_{i,j}</math> とベクトル <math>v_i</math> はそれぞれ積分核 <math>K(x,y)</math> と[[固有関数]] <math>\varphi(y)</math> に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式 :<math> \int \mathrm{d}y\, K(x,y)\varphi(y) = \lambda \varphi(x)</math> が得られる。 一般に、<math>K(x,y)</math> は[[シュワルツの超関数|超関数]]であってもよい。超関数 <math>K</math> が <math>x=y</math> でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。 ==参考文献== *日本数学会 『岩波数学辞典(第3版)』 岩波書店、1985年。ISBN 4000800167 *吉田耕作『積分方程式論』岩波全書、1950。ISBN 4000212834 ==関連項目== *[[ヒルベルト空間]] {{DEFAULTSORT:せきふんほうていしき}} [[Category:解析学]] [[Category:関数解析学]] [[Category:数学に関する記事]]
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