正規部分群

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テンプレート:Hatnote テンプレート:Groups 数学、とくに抽象代数学における正規部分群(せいきぶぶんぐん、テンプレート:Lang-en-short)は、群の任意の元による内部自己同型のもとで不変な部分群である。正規部分群は、与えられたから剰余群を構成するのに用いることができる。

正規部分群の重要性は、エヴァリスト・ガロアによって最初に明らかにされた。

定義

テンプレート:Math部分群 テンプレート:Math正規部分群であるとは、テンプレート:仮リンクによって不変、すなわち テンプレート:Math の任意の元 テンプレート:Mathテンプレート:Math の任意の元 テンプレート:Math に対して、元 テンプレート:Math が再び テンプレート:Math に属するときにいう。これを

<math>N \triangleleft G \quad(\iff \forall n\in{N},\,\forall g\in{G},\, gng^{-1}\in{N})</math>

で表す。任意の部分群について、以下の条件はいずれも今上げた正規性の条件に同値である。このため、これらの条件のどれかを正規部分群の定義としてもよい。

最後の条件は正規部分群の重要性の一端を示すもので、ある群の上で定義される準同型写像全体の内部的に分類する方法を与えている。たとえば、単位群でない有限群が単純となるための必要十分条件はその群がその上の恒等的でない準同型像の全体に同型となることであり、有限群が完全群となるための必要十分条件はそれが素数指数の正規部分群を持たないことであり、また群が不完全群となるための必要十分条件は、その導来部分群がいかなる真の正規部分群をも補群として持たないことである。

性質

正規部分群の束

テンプレート:Math の正規部分群全体の成す集合は、集合の包含関係に関して テンプレート:Math} を最小元、テンプレート:Math を最大元として持つを成す。テンプレート:Math の正規部分群 テンプレート:Mathテンプレート:Math が与えられたとき、テンプレート:Mathテンプレート:Math の「交わり」が

<math>N \wedge M := N \cap M</math>

で定義され、「結び」が

<math>N \vee M := N M = \{nm \mid n \in N \,, m \in M\}</math>

で定義される。この束は完備かつモジュラーである。

正規部分群と準同型

テンプレート:Mathテンプレート:Math の正規部分群ならば、剰余類の間の乗法を

テンプレート:Math

によって定義することができる。これにより、剰余類の全体を剰余群 テンプレート:Math とよばれる群とすることができる。群 テンプレート:Math と剰余群 テンプレート:Math との間には、テンプレート:Math で定義される(射影、あるいは商写像と呼ばれる)自然な全射準同型 テンプレート:Math が存在する。自然な準同型 テンプレート:Math による テンプレート:Math の像 テンプレート:Math は、テンプレート:Math の単位元である剰余類 テンプレート:Math のみを含む一元集合 {N} である。

一般に、準同型 テンプレート:Mathテンプレート:Math の部分群を テンプレート:Math の部分群に写す。また、テンプレート:Math の任意の部分群の原像(逆像)は テンプレート:Math の部分群となる。テンプレート:Math の自明な部分群 テンプレート:Math} の準同型 テンプレート:Math による逆像 テンプレート:Math を、準同型 テンプレート:Mathと言い、記号 テンプレート:Math で表す。さらに、核はつねに正規部分群であり、テンプレート:Math テンプレート:Math と、商群 テンプレート:Math はつねに同型である(テンプレート:仮リンクを参照)。実は、この同型対応は テンプレート:Math の剰余群全体の成す集合と テンプレート:Math の準同型像の同型類全体の成す集合との間の全単射を与えている。これと、商写像 テンプレート:Math の核が テンプレート:Math それ自身であることはすぐにわかるから、まとめると テンプレート:Math の正規部分群はすべて テンプレート:Math を定義域とするなんらかの群準同型の核として確かに得られることが示せる。

関連項目

テンプレート:Multicol

部分群から正規部分群を作る操作

正規性の逆の性質をもつ部分群

正規性よりも強い制約で決まる部分群

テンプレート:Multicol-break

正規性よりも弱い条件で決まる部分群

環論における類似概念

テンプレート:Multicol-end

参考文献

  • I. N. Herstein, Topics in algebra. Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.
  • David S. Dummit; Richard M. Foote, Abstract algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1991. pp. xiv, 658 ISBN 0-13-004771-6

外部リンク