最小公倍数

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最小公倍数(さいしょうこうばいすう、テンプレート:Lang-en-short)とは、<math>0</math>ではない複数の整数公倍数のうち最小のものをさす。たびたび、L.C.M.等の省略形で記述される。

定義

2つ以上の整数<math>a_1,\ldots, a_n</math>の最小公倍数とは、<math>a_1,\ldots, a_n</math>の公倍数のうち最小の正整数である。

つまり、<math>a_1,\ldots, a_n</math>を テンプレート:Indentp^{e_p(j)}\ \ \ (e_p(j)\ge 0,\ \ \varepsilon_j=\pm 1) </math>}} と素因数分解したとき、<math>a_1,\ldots, a_n</math>の最小公倍数は テンプレート:Indentp^{\max\{e_p(1),\ldots,e_p(n)\}} </math>}} で与えられる。

例えば、<math>30</math>と<math>42</math>の最小公倍数は<math>210</math>である。

諸概念

正整数<math>a,\ b</math>に対して、<math>a</math>と<math>b</math>の最大公約数<math>\mathrm{gcd}(a,\ b)</math>と最小公倍数<math>\mathrm{lcm}(a,\ b)</math>との間には テンプレート:Indent という関係がある。

しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、<math>a = 2,\ b = 6,\ c = 15</math>とすると、<math>\mathrm{gcd}(a,\ b,\ c) = 1,\ \mathrm{lcm}(a,\ b,\ c) = 30</math>であるが、<math>abc = 180</math>である。

多項式の最小公倍数

多項式の<math>0</math>でない公倍数のうち、最も次数の低いものを最小公倍数という。例えば、<math>x^3-x</math>と<math>x^3+x^2-x-1</math>の最小公倍数は<math>x(x+1)^2(x-1)</math>である。

多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。

参考文献

関連項目