数学 (教科)

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教科「数学」（すうがく、テンプレート:Lang-en-short）は、中等教育の課程（中学校の課程、高等学校の課程、中等教育学校の課程など）における教科の一つである。

本項目では、主として現在の学校教育における教科「数学」について取り扱う。関連する理論・実践・歴史などについては「算数・数学教育」を参照。

概要

教科「数学」においては、学問などにおける数学の基礎が学ばれる。初等教育（小学校など）課程における算数を引き継ぎ、さらに高度な数理的な考え方を身に付けることを目的とした教科である。教科「数学」は、「英語」、「国語」と共に主要3教科と呼ばれ、大変重視されている。

ちなみに算数との違いは、計算式において文字および負の数を扱うか否かの違いである。それに伴い教科「数学」では方程式を本格的に扱うことになる[1]。また、前期中等教育課程では無理数[2]が、後期中等教育課程では虚数と複素数が登場し、数の概念がさらに拡大される。その他、代数・幾何ともに説明や証明のウェイトが大きくなるのも教科「数学」の特色である。

学習内容

以下に、現行の日本における教科「数学」における学習範囲を示すが、その具体的な内容は、各記事を参照されたい。

前期中等教育（中学校、中等教育学校の前期課程など）

※本項での「公立中学（校）」は前期中等教育のみを行う3年制の市区町村立中学校のみを指し、公立中等教育学校・中高一貫校は含まないことを始めに断っておく。

学習指導要領により、前期中等教育では以下のことが学習される（詳細は中学校数学(Wikibooks)を参照）。2012年度より新しい学習指導要領が完全実施されている。[3]

  1. 数と式（初等代数学）
  2. 図形（初等幾何学）
  3. 関数
  4. 資料の活用（確率・統計）

なお、すべての前期中等教育課程の内容がこのとおりというわけではない。学校や教員によっては学習指導要領に明記されていないが教科書に記載されている「発展内容」や後期中等教育内容の一部[5]を先取りして扱うことが多い。また、学校によっては代数・関数・確率・統計を「代数」、図形・計量を「幾何」と分け、並行して授業が行なわれることがある。これは主に中高一貫校に見られる傾向であるが、三鷹市のように一部地域では公立中学でも行なわれている[6]。

後期中等教育（高等学校、中等教育学校の後期課程など）

後期中等教育の課程において学習される数学分野としては、普通教育に関する各教科（普通教科）として設定されている「数学」に含まれているものと、専門教育に関する各教科（専門教科）として設定されている「理数」に含まれるものがある。また、国公私立中高一貫校では数学I及び数学Aの内容の一部を前期課程で既習することも多い。詳細は高等学校数学(Wikibooks)を参照。

なお、後期中等教育「数学」の内容は学習指導要領の改訂時に何度かその名称を変えてきた。戦後間もない頃や1978年告示、および1982年度から1993年度入学生に対して実施のものでは具体的な内容表記（「代数・幾何」「基礎解析」など）だったが、1956年告示、1960年告示[7]、1971年告示[8]、1989年告示[9]、1999年告示[10]、2009年告示[11]のようにすべてローマ数字とアルファベットの組み合わせの科目名（「数学II[12]」「数学III」など）になっている。また、「応用数学」（71年告示）「数学基礎」（99年告示）のように新設・廃止されたものもある。

現在（2010年）は解析学を中心に学ぶ（特に関数がメインだが、「数学I、II」は代数学の内容も一部含む）「数学I、II、III」と幾何学・代数学・確率・統計・コンピュータを学ぶ「数学A、B、C」が中心となっている。大体において、高校1年次に「数学I」「数学A」を、2年次に「数学II」「数学B」、3年次に「数学III」「数学C」を履修する[13]。

以下に示す内容は、2003年度～2011年度に入学した場合のものである。「前課程」とは1994年度～2002年度に入学した場合、「次課程」とは2012年度以降に入学した場合である。

普通教科「数学」における学習内容

  1. 「数学基礎」[14]
    1. 数学と人間の活動
      • 数と人間
      • 図形と人間
    2. 社会生活における数理的な考察
      • 社会生活と数学
      • 身近な事象の数理的な考察
    3. 身近な統計
      • 資料の整理
      • 資料の傾向の把握
  2. 「数学I」（初等代数学・解析幾何学）
    1. 方程式と不等式
      • 数と式 - 実数（有理数と無理数、分数と循環小数）、指数法則の一部、式の展開、因数分解（前課程では数学Aで学習）
      • 不等式 - 一次不等式（2000年度までは中学2年で学習）、連立一次不等式
      • 二次方程式 - 判別式
    2. 二次関数
      • 二次関数とそのグラフ
      • 二次関数の値の変化 - 二次関数の移動、最大・最小
      • 二次不等式
      • いろいろな事象を表す関数（次課程では中学3年に戻される）
    3. 図形と計量
  3. 「数学II」（初等代数学・解析幾何学・微分積分学）
    1. 式と証明・高次方程式
      • 式と証明 - 多項式の除法、分数式、因数定理、等式と不等式の証明（前課程では数学Aで学習）
      • 高次方程式 - 複素数と二次方程式、高次方程式（前課程では数学Bで学習、複素数平面も扱っていた。なお、複素数平面は次課程において数学IIIで復活）
    2. 図形と方程式
      • 点と直線 - 点の座標、直線の方程式
      • 円- 円の方程式、円と直線
    3. いろいろな関数
    4. 微分・積分の考え（多項式関数に限る）
  4. 「数学III」（関数・微分積分学）
    1. 関数と極限
    2. 微分法
      • 導関数 - 関数の和・差・積・商の導関数、合成関数の導関数、三角関数・指数関数・対数関数の導関数、高次導関数
      • 導関数の応用 - 接線・法線、関数値の増減、第二次導関数の応用（グラフの凹凸）、速度、加速度
    3. 積分法
      • 不定積分と定積分 - 積分とその基本的な性質、簡単な置換積分法・部分積分法、いろいろな関数の積分
      • 積分の応用 - 面積、体積（前課程では曲線の長さも扱っていた。これは次課程で復活）
  5. 「数学A」（論理学・初等幾何学・確率論）
    1. 平面図形
      • 三角形の性質 - 重心、円に内接・外接する三角形（以前は重心を中学2年、円に内接・外接する三角形を中学3年で学習）
      • 円の性質（2001年度までは方べきの定理を除き中学3年で学習） - 円と接線、二つの円の接線・中心同士の距離、円周角の定理の逆、円に内接する四角形、方べきの定理
    2. 球の表面積と体積（2001年度までは中学3年で，2009年度以降は中学1年で学習）
    3. 集合と論理
      • 集合と要素の個数
      • 命題と証明
    4. 場合の数と確率（前課程では数学Iで学習）
      • 順列・組合せ
      • 二項定理（前課程では数学A、次課程では数学IIで学習）
      • 確率とその基本的な性質
      • 独立な試行と確率
      • 期待値（次課程で数学Bの確率分布に編入）
  6. 「数学B」（初等代数学・線形代数・統計学・コンピュータ）[15]
    1. 数列（前課程では数学Aで学習）
    2. ベクトル
    3. 統計とコンピュータ（前課程では小学6年（1999年度まで），中学2年（2000年度まで），数学C、次課程では小学6年（2011年度以降），中学1年（2009年度以降），数学Iで「データの分析」として学習）
    4. 数値計算とコンピュータ（前課程では数学Cで学習、次課程で削除）
      • 簡単なプログラム
      • いろいろなプログラム - 整数の計算、近似値の計算
  7. 「数学C」（線形代数・確率論・統計学）[16]
    1. 行列とその応用（次課程では数学活用でのみ登場）
      • 行列 - 行列とその演算、行列の積と逆行列
      • 行列の応用 - 連立一次方程式、点の移動
    2. 式と曲線（次課程では数学IIIで「平面上の曲線」として学習）
    3. 確率分布（前課程では数学Bで学習）
      • 確率の計算（次課程では数学A）
      • 確率分布 - 確率変数と確率分布、二項分布（次課程では数学B）
    4. 統計処理（次課程では数学B）
      • 正規分布 - 連続型確率変数、正規分布
      • 統計的な推測 - 母集団と標本、統計的な推測の考え

専門教科「理数」における学習内容

  1. 理数数学I
    1. 方程式と不等式
    2. 二次関数
    3. 図形と計量
    4. 場合の数と確率
  2. 理数数学II
    1. 整式と高次方程式
    2. 数列
    3. 命題と論理
    4. 図形と方程式
    5. いろいろな関数
    6. 極限
    7. 微分法
    8. 積分法
  3. 理数数学探究
    1. ベクトル
    2. 統計とコンピュータ
    3. 数値計算とコンピュータ
    4. 行列とその応用
    5. 式と曲線
    6. 確率分布
    7. 統計処理
    8. 課題研究

入試などへの影響

大学入試における数学

  • 大学受験において、文系学部では数学は不要か数学I,A(+II,B)と地理歴史の選択ができる場合がほとんどである。一方、理系学部では大多数の大学で必須I,II,III,A,B（,C）又は理科と選択をしなければならない。そのため、大学入試を考慮した上で文系と理系の区別がなされる高等学校においては、通常文系が数学I,II,A,Bを学習し、理系はそこから更にIII（,C）を学習する。
  • 数学B及び数学C（次課程では数学A及び数学B）は、内容を選択して履修する科目である。教科書で設定されている授業時間どおりに履修する場合、各3～4分野のうち2分野を履修するとちょうど規定の授業時間に相当するようになっている。大学入試センター試験の「数学II・数学B」でも、数学Bについては2分野を履修していることを想定した出題となっている（4分野それぞれの問題を出題し、2分野を選択解答する）。ただし多くの高等学校では生徒が自由に選択するのではなく、あらかじめ履修する分野が指定されて開講される。大学入試を目標とする進学校の場合、大学入試では数学Bの「統計とコンピュータ」「数値計算とコンピュータ」、数学Cの「確率分布」「統計処理」が出題範囲から外されるか、他の分野との選択となっている場合が多く、この分野の授業を行わない高等学校もある。参考書でも、多くのものがこれらの分野を省いたかたちで販売している。
  • 京都大学は2005年より文系学部において数学Cの「行列とその応用」を入試に課していたが、2008年より再び課されないことになった。ただし、数学Cの「確率分布」のうち「確率の計算」（含、条件付き確率）については、他の幾つかの大学と同様、引き続き文系・理系を問わず出題範囲に含まれている。

備考

  • 1994年度～2002年度に高校に入学した場合の課程では複素数平面を数学Bで扱っていた。この内容は、次課程において数学IIIで再登場する。

参考文献･URL

注釈・引用

  1. ↑ 未知数xを求めるのに方程式では移項を行う。しかし、これは負の数の演算を伴うことがあるので、負の数を学習しない算数では逆算するよりほかない。また、算数では文字同士の演算を習わないため未知数同士の加法と減法が原則不可能である（分配法則を活用することでこれを計算できるため、「小学生には絶対にできない」ということはないが、一般の小学生はほとんど習わない）。したがって、算数では逆算可能で未知数同士の演算がない、ごく簡単な一次方程式の考え方を学ぶにとどまる。
  2. ↑ 初等教育課程でも無理数である円周率が出る。しかし、これは近似値を用い、事実上有理数として扱うため、結局無理数は登場しないに等しい。
  3. ↑ 前課程では「数と式」「図形」「数量関係（内容は関数と確率）」の三つにカテゴライズされていたが、2009年度からの移行措置から統計学の内容が全面的に復活したことに伴い、「数量関係」が「関数」と「資料の活用」に分けられた。
  4. ↑ x2+4x+4=5のように左辺をそのまま因数分解すると(ax+p)2=qとなる形のものは現行過程でも習得するが、どのようなax2+bx+c=0でも平方完成を用いて実数解を出せるようにするのは2010年度から復活している。
  5. ↑ 主に不等式や円の性質など。これらは以前、公立中学校でも学習されていた
  6. ↑ 公立中学では「代数」「幾何」ではなく「数量」「図形」とよばれることもある。また、中高一貫校の場合は「代数」「幾何」ごとに定期考査と評価を実施することがあるが、公立中学校の場合「数学」の時間に「数量」と「図形」を両方実施し、評価は「数学」で統一されることが一般的。
  7. ↑ 1963年度～1972年度入学生に対して実施
  8. ↑ 1973年度～1981年度入学生に対して実施
  9. ↑ 1994年度～2002年度入学生に対して実施
  10. ↑ 2003年度～2011年度入学生に対して実施
  11. ↑ 2012年度以降入学生に対して実施
  12. ↑ 80年代のものにも「数学II」という科目はあり、大学入試センター試験（「共通一次試験」時代を含む）の科目でもあったが、内容は「代数･幾何」「基礎解析」「確率・統計」の抜粋のようなものだった。このため、前述の3科目を学べば「数学II」に対応できた上、二次試験に文系でも数学を課す難関国公立大学では「数学II」ではなく3科目からの出題が多く、進学校では文系でも「数学II」を扱うことは少なかった（理系学部の入試では国公私立問わず先の分野からの出題に加え、現在の「数学III」に大体相当する「微分・積分」が加わった。よって、「数学II」を学ぶメリットは無かった）。また、「数学I」は名称の導入以来、科目名としての変更は無いが、内容面の変更は度々行われている。
  13. ↑ これはあくまで目安であり、学校やコースによってペースは異なる。例えば「大学入試における数学」で述べたように文系では「数学III」「数学C」は扱わない学校も多い。また、中高一貫校では2年の終わりか、遅くとも3年生の夏ごろには「数学III」「数学C」まで終わらせ、受験対策に入ることも珍しくない。
  14. ↑ 次課程で廃止、代わりに同趣旨の科目として「数学活用」が登場。
  15. ↑ 3分野のうち、標準単位数では2分野を履修。
  16. ↑ 3分野のうち、標準単位数では2分野を履修。次課程で廃止、多くの内容は単位数とともに数学IIIに統合。

関連項目

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