扁平率

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曖昧さ回避 この項目では、回転楕円体の扁平率について説明しています。タイヤの偏平率については「タイヤ#表示」をご覧ください。

扁平率（へんぺいりつ、扁率、扁平度とも、flattening, oblateness）とは、楕円もしくは回転楕円体が、円もしくは球に比べてどれくらい扁平か（つぶれているか）を表す値である。変数記号は f で表すことが多い。円もしくは球では値が 0 である。つぶれるに従って値は 1 に近づく。

楕円または回転楕円体の長半径を a、短半径を b とすると、扁平率は

<math>f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}</math>

で定義される。(a - b) : a のように比の形で表すこともある。

自転する天体の場合、遠心力によって赤道半径が極半径に比べて大きい扁球となる。したがって a が赤道半径、b が極半径となる。地球楕円体のモデルは陸域の測地系ではGRS80のパラメータ値が用いられることが多い。

第二及び第三扁平率

冒頭で定義された扁平率 f は“第一扁平率”と称され、しばしば次のように定義される第二扁平率 f' 及び第三扁平率 f' ' も用いられる。

<math>f'=\frac{a-b}{b}=\frac{f}{1-f}, \quad f=\frac{a-b}{a+b}=\frac{f}{2-f}</math>

第三扁平率は、n と表記されることもある。古くはフリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルが n を子午線弧長の計算に使用している記述が1837年の論文中に認められる。

離心率との関係

楕円の扁平率は、長半径 a と短半径 b の比のみによって定まる値であり、離心率

<math>e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>

も同様であるため、扁平率と離心率の一方が与えられると、もう一方の値も定まる。実際、扁平率 f と離心率 e の間には関係式

<math>e^2=f(2-f)\,</math>

が成り立つ。例えば、扁平率が 0.1 の楕円の離心率はおよそ 0.43 である。離心率も扁平率と同様に、真円で 0 となり、つぶれるに従って 1 に近づくが、こちらは一般の円錐曲線に対する概念である。

天体の扁平率

地球の扁平率

テンプレート:Main 地球楕円体のモデルは陸域の測地系ではGRS80のパラメータ値が用いられることが多い。

赤道半径（＝長半径） a = 6 378 137m（正確に）

扁平率　:<math>f=\frac{1}{298.257\ 222\ 101}</math>（正確に）

この定義から、極半径 b = 6 356 752.314 140 356 m （近似値）となる。

ただし、WGS84測地系で用いられる地球楕円体は、赤道半径（＝長半径）は同一だが、扁平率はGRS80とはごく僅か異なる値を持っている。

<math>f=\frac{1}{298.257\ 223\ 563}</math>


太陽系の天体の扁平率

ファイル:Saturn during Equinox.jpg
土星は太陽系の惑星の中で最大の扁平率を持つ。

太陽は極めて球に近く、その扁平率はおよそ テンプレート:Valとされる。太陽系の惑星の扁平率は、水星が 0.0006 未満、金星が 0.0002 未満、地球が前述の通りおよそ 0.0033528、火星が 0.00589 ± 0.00015、木星が 0.06487 ± 0.00015、土星が 0.09796 ± 0.00018、天王星が 0.0229 ± 0.0008、海王星が 0.0171 ± 0.0013 である。地球型惑星で比較的小さく、木星型惑星で比較的大きい傾向にある。扁平率が大きい土星は、倍率がそれほど大きくない天体望遠鏡でも、扁平であることが視認できる。実際、土星の極半径が約 54,364km であるのに対し、赤道半径は約 60,268km である。

出典


関連項目

参考文献

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