幾何学単位系

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幾何学単位系（きかがくたんいけい）とは、物理学、特に一般相対性理論において用いられる単位系である。

概要

幾何学単位系では、全ての物理量を幾何学的な量（例えば面積、長さ、無次元数、経路曲率、断面曲率）と同一視して物理単位系を構成する。この単位系では、光速度と万有引力定数が下記のように 1 になるように基本単位が選ばれている。

c = 1
G = 1
k = 1
kC = 1/(4πε0) = 1

ここで、下記のようにディラック定数も 1 にすると自然単位系になる。

<math>\hbar = 1</math>

幾何学単位系で表現すると、全ての G や c が数式から消えるので、相対性理論の多くの方程式が非常に単純な形になる。例えば、質量 m で、非回転、非帯電のブラックホールのシュヴァルツシルト半径 r は、単純に r = 2m と表すことができる。したがって、相対性理論に関するほとんどの書籍や論文では、幾何学単位系だけが使用されている。しかし、実用的な数値の計算をするために、SI 単位を使用する必要もある。幸いにも、幾何学単位系で記述された数式から SI 単位による数式への変換は、単純な規則で行える。

定義

幾何学単位系において、全ての時間間隔は光がその時間間隔に移動した距離として解釈される。つまり、秒を光秒と解釈し、時間は長さの次元を持つとする。これは、特殊相対性理論の運動法則においては、時間と距離は同じ基盤の上にあるという概念によるものである。

エネルギーと運動量は4元運動量ベクトルの構成要素と解釈され、質量はこのベクトルの大きさであるので、幾何学単位系では、これらは長さの次元を持つことになる。キログラムで表された質量は、G/c2 をかけることによってメートルで表された同じ質量に換算することができる。例えば、太陽の質量は SI 単位では 2.0×1030 kg であるが、幾何学単位系では 1.5 km となる。これは、太陽と同じ質量を持つブラックホールのシュヴァルツシルト半径の半分である。他の物理量についての換算率は、G と c を組み合わせることによって導出することができる。

よく使われる換算率を以下に示す。SI から幾何学単位系への換算を行うには、下表の換算率を与えられた数値に掛ける。逆を行うときは割る。

変換 kg, s, C, K に m :

  • G/c2 [m/kg]
  • c [m/s]
  • ((G/(4πε0))0.5)/c2 [m/C]
  • (Gk)/c4 [m/K]

変換 m, s, C, K に kg :

  • c2/G [kg/m]
  • c3/G [kg/s]
  • 1/(G×4πε0)0.5 [kg/C]
  • k/c2 [kg/K]

変換 m, kg, C, K に s :

  • 1/c [s/m]
  • G/c3 [s/kg]
  • ((G/(4πε0))0.5)/c3 [s/C]
  • (Gk)/c5 [s/K]

変換 m, kg, s, K に C :

  • c2/((G/(4πε0))0.5) [C/m]
  • (G×4πε0)0.5 [C/kg]
  • c3/((G/(4πε0))0.5) [C/s]
  • (k×(G×4πε0)0.5)/c2 [C/K]

変換 m, kg, s, C に K :

  • c4/(Gk) [K/m]
  • c2/k [K/kg]
  • c5/(Gk) [K/s]
  • c2/(k×(G×4πε0)0.5) [K/C]

換算率の値が非常に小さいということは、大きな質量または高速度でないと相対論的な影響が現れないという事実を反映している。

幾何学単位系の次元

アインシュタインのテンソルのような「曲率テンソル」の構成要素は、幾何学単位系では断面曲率の次元を持つ。ストレス－エネルギー・テンソルの構成要素も同様である。したがって、アインシュタインの場の方程式は、断面曲率の次元で次元的に一貫している。

「経路曲率」は曲線の曲率ベクトルの大きさの逆数なので、幾何学単位系では、それは「長さの逆数」の次元を持つ。経路曲率は nongeodesic な曲線が時空において曲がる率を測定し、時間的曲線をある観測者の世界線と解釈するならば、その経路曲率はその観測者が経験する加速度の大きさと解釈することができる。経路曲率と同一視することができる物理量には、電磁場テンソルの構成要素を含む。

幾何学単位系においては、全ての速度は曲線の傾きと解釈することができる。傾きは明らかに無次元量である。 無次元量と同一視することができる物理量には、電磁気ポテンシャルの 4 元ベクトルと電磁流の 4 元ベクトルの構成要素を含む。

質量や電荷のような時間的ベクトルの大きさと同一視することのできる物理量は、「長さ」の次元を持つ。角運動量のような bivector の大きさと同一視することができる物理量は、「面積」の次元を持つ。

幾何学単位系の次元で表したいくつかの重要な物理量を下表に示す。それらは換算率と共に示してある。

物理量 SI単位 単位 換算率
長さ [L] [L] 1
時間 [T] [L] c-1
質量 [M] [L] G c-2
速度 [L T-1] 1 c-1
角速度 [T-1] [L-1] c-1
加速度 [L T-2] [L-1] c-2
エネルギー [M L2 T-2] [L] G c-4
エネルギー密度 [M L-1 T-2] [L-2] G c-4
角運動量 [M L2 T-1] [L2] G c-3
力 [M L T-2] 1 G c-4
仕事率 [M L2 T-3] 1 G c-5
圧力 [M L-1 T-2] [L-2] G c-4
密度 [M L-3] [L-2] G c-2
電荷 [I T] [L] G1/2 c-2 (4πε0)-1/2
電位 [M L2 T-3 I-1] 1 G1/2 c-2 (4πε0)1/2
電場 [M L T-3 I-1] [L-1] G1/2 c-2 (4πε0)1/2
磁場 [M T-2 I-1] [L-1] G1/2 c-1 (4πε0)1/2
ポテンシャル [M L T-2 I-1] 1 G1/2 c-1 (4πε0)1/2

関連項目

参考文献

  • Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2. See Appendix F
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